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长安教育中心教研室主编 长安教育中心全等三角形复习知识要点一、全等三角形1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边(SAS)、角边角(ASA)角角边(AAS)、边边边(SSS)具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等(HL)性质对应边相等,对应角相等对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等注: 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; 全等三角形面积相等2证题的思路:性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 运用 1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。以及等角,用于工业和军事。有一定帮助。 5、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧 一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等,则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件,求出有关信息。然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。(二)实例点拨例1 (2010淮安) 已知:如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,ACD=BCE。求证:AE=BD。EBCAD 解析:此题可先证三角形全等,由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下:证明:点C是线段AB的中点 AC=BC ACD=BCE ACD+DCE=BCE+DCE 即ACE=BCD 在ACE和BCD中, AC=BC ACE=BCD CE=CD ACEBCD(SAS) AE=BD 反思:证明两边相等是常见证明题之一,一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等,或者若要证边在同一个三角形中,也常先证角相等,再用“等角对等边”来证明边相等。例2 已知:AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,试证明:BD=CD 解析:此题若直接证BD、CD所在的三角形全等,条件不够,所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下: 证明:在ABE和ACE中 AB=AC, EB=EC, AE=AE ABEACE (SSS)BAECAE在ABD和ACD中 AB=AC BAE= CAE AD=AD ABD ACD (SAS ) BD = CD 反思:通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理,逐步找出解题的思路,再书写规范过程。例3.(2009洛江中考)如图,点C、E、B、F在同一直线上,ACDF,ACDF,BCEF,求证:AB=DE.【证明】ACDF,在 ,AB=DE.17、(2010潼南中考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,1=2 , 3=4.(1)证明:ABEDAF;(2)若AGB=30,求EF的长.【解析】(1)四边形ABCD是正方形, AB=AD,在ABE和DAF中,ABEDAF.(2)四边形ABCD是正方形,1+4=90o3=4,1+3=90oAFD=90o在正方形ABCD中, ADBC,1=AGB=30o在RtADF中,AFD=90o AD=2 , AF= , DF =1,由(1)得ABEADF,AE=DF=1,EF=AF-AE=.例4、(2009吉林中考)如图, ,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明 【解析】(1)、 (写出其中的三对即可). (2)以为例证明证明:在Rt和Rt中, RtRt.要点二、角平分线的性质与应用例5、(2009温州中考)如图,OP平分,垂足分别为A,B下列结论中不一定成立的是( )A. B.平分C. D.垂直平分【解析】选D.由OP平分,可得,由HL可得RtAOPRtBOP,所以可得平分,.例6、(2009厦门中考)如图,在ABC中,C=90,ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,则点D到直线AB的距离是_厘米。【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得答案:6.【实弹射击】CABDE第1题图1、 如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE,求证:AEB ADC。2、如图:AC与BD相交于O,ACBD,ABCD,求证:CBOACDB第2题图3、如图,已知AB=CD,AD=CB,E、F分别是AB,CD的中点,ADBCFE第3题图且DE=BF,说出下列判断成立的理由.ADECBF A=C 4、已知:BECF在同一直线上, AB DE,ACDF,并且BE=CF。第4题图 求证: ABC DEF5、 如图, 已知:ABBC于B , EFAC于G , DFBC于D , BC=DF求证:AC=EF6、 如图,ABC的两条高AD、BE相交于H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由。(1)DBH=DAC;(2)BDHADC。7、 如图,已知为等边三角形,、分别在边、上,且也是等边三角形i. 除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;ii. 你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程8、 已知等边三角形中,与相交于点,求的大小。9、 如图所示,P为AOB的平分线上一点,PCOA于C,OAP+OBP=180,若OC=4cm,求AO+BO的值10、 如图:四边形ABCD中,ADBC ,AB=AD+BC ,E是CD的中点,求证:AEBE 。11.如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,于E,交AG于F求证: DCBAEFG 知识是人类进步的阶梯
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