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长安教育中心教研室主编 长安教育中心全等三角形复习知识要点一、全等三角形1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注： 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形面积相等2证题的思路：性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 运用 1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。 5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧 一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。（二）实例点拨例1 （2010淮安） 已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，ACD=BCE。求证：AE=BD。EBCAD 解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下：证明：点C是线段AB的中点 AC=BC ACD=BCE ACD+DCE=BCE+DCE 即ACE=BCD 在ACE和BCD中， AC=BC ACE=BCD CE=CD ACEBCD（SAS） AE=BD 反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。例2 已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD 解析：此题若直接证BD、CD所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下： 证明：在ABE和ACE中 AB=AC， EB=EC， AE=AE ABEACE (SSS)BAECAE在ABD和ACD中 AB=AC BAE= CAE AD=AD ABD ACD (SAS ) BD = CD 反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。例3.（2009洛江中考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，ACDF，ACDF，BCEF，求证：AB=DE.【证明】ACDF，在 ，AB=DE.17、（2010潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，1=2 ， 3=4.(1)证明：ABEDAF；（2）若AGB=30，求EF的长.【解析】（1）四边形ABCD是正方形， AB=AD，在ABE和DAF中，ABEDAF.（2）四边形ABCD是正方形，1+4=90o3=4,1+3=90oAFD=90o在正方形ABCD中， ADBC,1=AGB=30o在RtADF中，AFD=90o AD=2 , AF= , DF =1,由(1)得ABEADF,AE=DF=1,EF=AF-AE=.例4、（2009吉林中考）如图， ，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明 【解析】（1）、 （写出其中的三对即可）. （2）以为例证明证明：在Rt和Rt中， RtRt.要点二、角平分线的性质与应用例5、（2009温州中考）如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（ ）A. B.平分C. D.垂直平分【解析】选D.由OP平分，可得，由HL可得RtAOPRtBOP，所以可得平分，.例6、（2009厦门中考）如图，在ABC中，C=90,ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_厘米。【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得答案：6.【实弹射击】CABDE第1题图1、 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。2、如图：AC与BD相交于O，ACBD，ABCD，求证：CBOACDB第2题图3、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，ADBCFE第3题图且DE=BF，说出下列判断成立的理由.ADECBF A=C 4、已知：BECF在同一直线上， AB DE，ACDF，并且BE=CF。第4题图 求证： ABC DEF5、 如图, 已知：ABBC于B , EFAC于G , DFBC于D , BC=DF求证：AC=EF6、 如图，ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。（1）DBH=DAC；（2）BDHADC。7、 如图，已知为等边三角形，、分别在边、上，且也是等边三角形i. 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；ii. 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程8、 已知等边三角形中，与相交于点，求的大小。9、 如图所示，P为AOB的平分线上一点，PCOA于C，OAP+OBP=180，若OC=4cm，求AO+BO的值10、 如图：四边形ABCD中，ADBC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AEBE 。11.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，交AG于F求证： DCBAEFG 知识是人类进步的阶梯
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