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基础梳理一、导数的概念(1)定义:f(x0) (2)几何意义:k=f(x0) 3.基本初等函数的导数公式(C)0; (ax)_; (logax)_; (sin x)_; (xn)nxn1; ( ex)ex; (ln x). (cos x)_; 4. 导数四则运算法则(1) f(x)g(x)=_ (2) =_(3) 复合函数的求导法则: 复合函数yf(g(x),则yx=_考向一导数的定义【例1】1. 若,则_2. 设,则_3. 曲线在点处的切线的倾斜角为_4. 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是_【例2】求下列各函数的导数:(1)y; (2)y(x1)(x2)(x3); (3)ysin; (4)y;(5)y(2x3)5; (6)y; (7)ysin2; (8)yln(2x5)考向二导数的几何意义及应用【例3】1.曲线方程为yx311,求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程(3xy130)2.直线yxb与曲线yxln x相切,则b的值为_(-1)3. 已知曲线y3xx3及点P(2,2),则过点P的切线条数为_(3)【例4】1. 【2013.广东】若曲线在点处的切线平行于轴,则_.(-1)2. 【2013.江西卷】设函数在内可导,且则=_.(2)3. 【2013.全国I】已知函数f(x)x2axb,g(x)ex(cxd),若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y4x+2.求a,b,c,d的值(4,2,2,2)4.【2013.北京】函数.若曲线在点处与直线相切,求a,b值.(0,1)5. 2012.北京函数(),若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值(3,3)导数的应用(单调性、最值、极值)基础梳理1. 函数的单调性:在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递增; f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递减f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f(x),令f(x)0,求出它在定义域内的一切实数根;(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;(4)确定f(x)在各个开区间内的符号,根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性3. 函数的极值:(1)当函数f(x)在点x0处连续且f(a)0时,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值4. 求函数极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求方程f(x)0的根;(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格;(4)由f(x)0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件5. 函数的最值: 求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较考向一利用导数判断函数的单调性【例1】1.函数f(x)x3ax在1,)上是单调增函数,则a的最大值是_(3)2. 【2013.全国】若函数在是增函数,则的取值范围是_3. 已知函数f(x) (a1),试求其单调区间考向二利用单调性求参数,解不等式【例2】1.若函数f(x)在区间(1,4)上为减函数,区间6,)上为增函数,试求实数a的取值范围2.设a为实数,函数f(x)ex2x2a,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当aln 21且x0时,exx22ax1.3. 已知mR,函数f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点,求实数m的取值范围;(2)当m0时,求证f(x)x2x3.考向三函数的极值与导数【例3】1.设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x),若函数yf(x)的图象关于直线x对称,且f(1)0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值2. 已知函数f(x),讨论何时f(x)有两个极值,何时没有极值。考向四 函数的最值与导数【例4】1.已知a为实数,且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数f(x);(2)若f(1)0,求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值2. 已知函数f(x),是否存在实数a,b,使得f(x)在1,2上取得最大值3,最小值29?若存在求出a,b的值,若不存在说明理由。【高考真题】例1(2012山东)已知函数f(x)(k为常数),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间 (k=1,递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,))例2【2013广东卷】设函数(其中). () 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.例3 (2012新课标)已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.例4(2012重庆)已知函数在处取得极值为(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值. 例5 (2012广东)设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.例6 (2012天津)已知函数(I)求函数的单调区间;(II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.例2例例4.(1)a=1,b=-12 (2)f(2)=-4例5. ,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 例6:【解析】() 或, 得:函数的单调递增区间为,单调递减区间为8
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