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概率论与数理记录习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)浙大第四版(高等教育出版社)第一章 概率论的基本概念1.一 写出下列随机实验的样本空间(1)记录一种小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一 1),n表小班人数(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。(一 2)S=10,11,12,n,(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如持续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的成果。查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,持续浮现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。(一 (3))S=00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,2.二 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表达下列事件。(1)A发生,B与C不发生。表达为:或A (AB+AC)或A (BC)(2)A,B都发生,而C不发生。表达为:或ABABC或ABC(3)A,B,C中至少有一种发生表达为:A+B+C(4)A,B,C都发生,表达为:ABC(5)A,B,C都不发生,表达为:或S (A+B+C)或(6)A,B,C中不多于一种发生,即A,B,C中至少有两个同步不发生相称于中至少有一种发生。故 表达为:。(7)A,B,C中不多于二个发生。相称于:中至少有一种发生。故 表达为:(8)A,B,C中至少有二个发生。相称于:AB,BC,AC中至少有一种发生。故 表达为:AB+BC+AC6.三 设A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB)取到最小值,最小值是多少?解:由P (A) = 0.6,P (B) = 0.7即知AB,(否则AB = 依互斥事件加法定理, P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31与P (AB)1矛盾).从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB)(*)(1)从0P(AB)P(A)知,当AB=A,即AB时P(AB)取到最大值,最大值为 P(AB)=P(A)=0.6,(2)从(*)式知,当AB=S时,P(AB)取最小值,最小值为 P(AB)=0.6+0.71=0.3 。7.四 设A,B,C是三事件,且,. 求A,B,C至少有一种发生的概率。解:P (A,B,C至少有一种发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 8.五 在一原则英语字典中具有55个由二个不相似的字母新构成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?记A表“能排成上述单词” 从26个任选两个来排列,排法有种。每种排法等也许。字典中的二个不同字母构成的单词:55个 9. 在电话号码薄中任取一种电话号码,求背面四个数全不相似的概率。(设背面4个数中的每一种数都是等也许性地取自0,1,29)记A表“后四个数全不同” 后四个数的排法有104种,每种排法等也许。后四个数全不同的排法有10.六 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A 10人中任选3人为一组:选法有种,且每种选法等也许。又事件A相称于:有一人号码为5,其他2人号码不小于5。这种组合的种数有(2)求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有种,且每种选法等也许,又事件B相称于:有一人号码为5,其他2人号码不不小于5,选法有种11.七 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一种定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有种,且每种取法等也许。获得4白3黑2红的取法有故12.八 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。(1)求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A 在1500个产品中任取200个,取法有种,每种取法等也许。200个产品恰有90个次品,取法有种(2)至少有2个次品的概率。记:A表“至少有2个次品”B0表“不具有次品”,B1表“只具有一种次品”,同上,200个产品不含次品,取法有种,200个产品含一种次品,取法有种 且B0,B1互不相容。13.九 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?记A表“4只全中至少有两支配成一对”则表“4只人不配对” 从10只中任取4只,取法有种,每种取法等也许。要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。取法有15.十一 将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少?记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等也许对A1:必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法432种。 (选排列:好比3个球在4个位置做排列)对A2:必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。放法有种。(从3个球中选2个球,选法有,再将此两个球放入一种杯中,选法有4种,最后将剩余的1球放入其他的一种杯中,选法有3种。对A3:必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种)16.十二 50个铆钉随机地取来用在10个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一种部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一种部件强度太弱的概率是多少?记A表“10个部件中有一种部件强度太弱”。法一:用古典概率作:把随机实验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后顺序。但10组钉铆完10个部件要分先后顺序)对E:铆法有种,每种装法等也许对A:三个次钉必须铆在一种部件上。这种铆法有10种法二:用古典概率作把实验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完。(铆钉要计先后顺序)对E:铆法有种,每种铆法等也许对A:三支次钉必须铆在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,或“28,29,30”位置上。这种铆法有种17.十三 已知。解一: 注意. 故有P (AB)=P (A)P (A)=0.70.5=0.2。再由加法定理,P (A)= P (A)+ P ()P (A)=0.7+0.60.5=0.8于是18.十四 。解:由由乘法公式,得由加法公式,得19.十五 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种措施)。解:(措施一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间,求事件A发生的概率)。掷两颗骰子的实验成果为一有序数组(x, y)(x, y=1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种成果(x, y)等也许。A=掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点。故措施二:(用公式S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种成果均也许A=“掷两颗骰子,x, y中有一种为“1”点”,B=“掷两颗骰子,x,+y=7”。则,故20.十六 据以往资料表白,某一3口之家,患某种传染病的概率有如下规律:P(A)=P孩子得病=0.6,P (B|A)=P妈妈得病|孩子得病=0.5,P (C|AB)=P爸爸得病|妈妈及孩子得病=0.4。求妈妈及孩子得病但爸爸未得病的概率。解:所求概率为P (AB)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而P (AB)= P (AB) P(|AB)=0.30.6=0.18.21.十七 已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。(1)二只都是正品(记为事件A)法一:用组合做 在10只中任取两只来组合,每一种组合看作一种基本成果,每种取法等也许。法二:用排列做 在10只中任取两个来排列,每一种排列看作一种基本成果,每个排列等也许。法三:用事件的运算和概率计算法则来作。记A1,A2分别表第一、二次获得正品。(2)二只都是次品(记为事件B)法一:法二:法三:(3)一只是正品,一只是次品(记为事件C)法一:法二:法三: (4)第二次取出的是次品(记为事件D)法一:由于要注意第一、第二次的顺序。不能用组合伙,法二:法三: 22.十八 某人忘掉了电话号码的最后一种数字,因而随机的拨号,求她拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一种数字是奇数,那么此概率是多少?记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。 如果已知最后一种数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下,求H再发生的概率。 24.十九 设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?(此为第三版19题(1))记A1,A2分别表“从甲袋中获得白球,红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中获得白球”。B=A1B+A2B且A1,A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =十九(2) 第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。记C1为“从第一盒子中获得2只红球”。 C2为“从第一盒子中获得2只白球”。 C3为“从第一盒子中获得1只红球,1只白球”,D为“从第二盒子中获得白球”,显然C1,C2,C3两两互斥,C1C2C3=S,由全概率公式,有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 26.二十一 已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,正好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解:A1=男人,A2=女人,B=色盲,显然A1A2=S,A1 A2=由已知条件知由贝叶斯公式,有二十二 一学生接连参与同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为(1)若至少有一次及格则她能获得某种资格,求她获得该资格的概率。(2)若已知她第二次已经及格,求她第一次及格的概率。解:Ai=她第i次及格,i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P,(1)B=至少有一次及格因此 (2)(*)由乘法公式,有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式,有 将以上两个成果代入(*)得28.二十五 某人下午5:00下班,她所积累的资料表白:到家时间5:355:395:405:445:455:495:505:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05某日她抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,成果她是5:47到家的,试求她是乘地铁回家的概率。解:设A=“乘地铁”,B=“乘汽车”,C=“5:455:49到家”,由题意,AB=,AB=S已知:P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由贝叶斯公式有29.二十四 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只,其中10只一等品;第二箱30只,其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。解:设Bi表达“第i次取到一等品” i=1,2Aj表达“第j箱产品”j=1,2,显然A1A2=SA1A2=(1)(B1= A1B +A2B由全概率公式解)。(2) (先用条件概率定义,再求P (B1B2)时,由全概率公式解)312LR32.二十六(2) 如图1,2,3,4,5表达继电器接点,假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器闭合与否互相独立,求L和R是通路的概率。54记Ai表第i个接点接通记A表从L到R是构成通路的。 A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种状况不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1,A2, A3, A4,A5互相独立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p5二十六(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4。它们的可靠性分别为P1,P2,P3,P4,将它们按图(1)的方式联接,求系统的可靠性。记Ai表达第i个元件正常工作,i=1,2,3,4,2413A表达系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4两种状况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4独立)34.三十一 袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币,(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少?解:设“浮现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A由全概率公式,有 (条件概率定义与乘法公式)35甲、乙、丙三人同步对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必然被击落。求飞机被击落的概率。解:高Hi表达飞机被i人击中,i=1,2,3。B1,B2,B2分别表达甲、乙、丙击中飞机,三种状况互斥。 三种状况互斥又 B1,B2,B2独立。 + 0.40.50.7+0.60.50.7=0.41P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.40.50.7=0.14又因:A=H1A+H2A+H3A三种状况互斥故由全概率公式,有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.360.2+0.410.6+0.141=0.45836.三十三设由以往记录的数据分析。某船只运送某种物品损坏2%(这一事件记为A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05,现从中随机地独立地取三件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)(这里设物品件数诸多,取出第一件后来不影响取第二件的概率,因此取第一、第二、第三件是互相独立地)B表获得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三种状况互斥由全概率公式,有P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.862437.三十四 将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为,而输出为其他一字母的概率都是(1)/2。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1),已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传播每个字母的工作是互相独立的。)解:设D表达输出信号为ABCA,B1、B2、B3分别表达输入信号为AAAA,BBBB,CCCC,则B1、B2、B3为一完备事件组,且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再设A发、A收分别表达发出、接受字母A,其他类推,依题意有P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=,P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) =,同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式,得由Bayes公式,得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = =二十九 设第一只盒子装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二只盒子装有2只蓝球,3只绿球,4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。(1)求至少有一只蓝球的概率,(2)求有一只蓝球一只白球的概率,(3)已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率。解:记A1、A2、A3分别表达是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球,B1、B2、B3分别表达是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。(1)记C=至少有一只蓝球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1,5种状况互斥由概率有限可加性,得(2)记D=有一只蓝球,一只白球,并且知D= A1B3+A3B1两种状况互斥(3)三十 A,B,C三人在同一办公室工作,房间有三部电话,据记录知,打给A,B,C的电话的概率分别为。她们三人常因工作外出,A,B,C三人外出的概率分别为,设三人的行动互相独立,求(1)无人接电话的概率;(2)被呼喊人在办公室的概率;若某一时间断打进了3个电话,求(3)这3个电话打给同一人的概率;(4)这3个电话打给不同人的概率;(5)这3个电话都打给B,而B却都不在的概率。解:记C1、C2、C3分别表达打给A,B,C的电话 D1、D2、D3分别表达A,B,C外出注意到C1、C2、C3独立,且 (1)P(无人接电话)=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =(2)记G=“被呼喊人在办公室”,三种状况互斥,由有限可加性与乘法公式(3)H为“这3个电话打给同一种人”(4)R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥状况构成,每种状况为打给A,B,C的三个电话,每种状况的概率为于是(5)由于是懂得每次打电话都给B,其概率是1,因此每一次打给B电话而B不在的概率为,且各次状况互相独立于是 P(3个电话都打给B,B都不在的概率)=第二章 随机变量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同步取三只,以X表达取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律解:X可以取值3,4,5,分布律为 也可列为下表X: 3, 4,5P:3.三 设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X表达取出次品的只数,(1)求X的分布律,(2)画出分布律的图形。解:任取三只,其中新含次品个数X也许为0,1,2个。Px12O再列为下表X: 0, 1, 2P: 4.四 进行反复独立实验,设每次成功的概率为p,失败的概率为q =1p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 9.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯,能将甲种酒所有挑出来,算是实验成功一次。(1)某人随机地去猜,问她实验成功一次的概率是多少?(2)某人声称她通过品尝能辨别两种酒。她持续实验10次,成功3次。试问她是猜对的,还是她确有辨别的能力(设各次实验是互相独立的。)解:(1)P (一次成功)=(2)P (持续实验10次,成功3次)= 。此概率太小,按实际推断原理,就觉得她确有辨别能力。九 有一大批产品,其验收方案如下,先做第一次检查:从中任取10件,经验收无次品接受这批产品,次品数不小于2拒收;否则作第二次检查,其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受这批产品,若产品的次品率为10%,求(1)这批产品经第一次检查就能接受的概率(2)需作第二次检查的概率(3)这批产品按第2次检查的原则被接受的概率(4)这批产品在第1次检查未能做决定且第二次检查时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解:X表达10件中次品的个数,Y表达5件中次品的个数, 由于产品总数很大,故XB(10,0.1),YB(5,0.1)(近似服从)(1)P X=0=0.9100.349(2)P X2=P X=2+ P X=1=(3)P Y=0=0.9 50.590(4)P 0X2,Y=0(0X2与 Y=2独立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.343(5)P X=0+ P 010)=P (X 11)=0.002840(查表计算)十二 (2)每分钟呼唤次数不小于3的概率。十六 以X表达某商店从上午开始营业起直到第一顾客达到的等待时间(以分计),X的分布函数是求下述概率:(1)P至多3分钟;(2)P 至少4分钟;(3)P3分钟至4分钟之间;(4)P至多3分钟或至少4分钟;(5)P正好2.5分钟解:(1)P至多3分钟= P X3 = (2)P 至少4分钟 P (X 4) = (3)P3分钟至4分钟之间= P 3X4= (4)P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟 = (5)P正好2.5分钟= P (X=2.5)=018.十七 设随机变量X的分布函数为,求(1)P (X2), P 0X3, P (2X);(2)求概率密度fX (x).解:(1)P (X2)=FX (2)= ln2, P (0X3)= FX (3)FX (0)=1,(2)20.十八(2)设随机变量的概率密度为(1)(2)求X的分布函数F (x),并作出(2)中的f (x)与F (x)的图形。解:当1x1时:当1x时:故分布函数为:解:(2)故分布函数为(2)中的f (x)与F (x)的图形如下f (x)x0F (x)21x01222.二十 某种型号的电子的寿命X(以小时计)具有如下的概率密度: 既有一大批此种管子(设各电子管损坏与否互相独立)。任取5只,问其中至少有2只寿命不小于1500小时的概率是多少?解:一种电子管寿命不小于1500小时的概率为令Y表达“任取5只此种电子管中寿命不小于1500小时的个数”。则,23.二十一 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为:某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟她就离开。她一种月要到银行5次。以Y表达一种月内她未等到服务而离开窗口的次数,写出Y的分布律。并求P(Y1)。解:该顾客“一次等待服务未成而拜别”的概率为因此 24.二十二 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程有实根的概率 K的分布密度为:要方程有根,就是要K满足(4K)244 (K+2)0。解不等式,得K2时,方程有实根。25.二十三 设XN(3.22)(1)求P (2X5),P (4)2,P (X3)若XN(,2),则P (X)=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=1P (X3)=1=10.5=0.5(2)决定C使得P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =326.二十四 某地区18岁的女青年的血压(收缩区,以mm-Hg计)服从在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X。求(1)P (X105),P (100x) 0.05.解:27.二十五 由某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数为=10.05,=0.06的正态分布。规定长度在范畴10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少?设螺栓长度为XPX不属于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12X10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为=160,(未知)的正态分布,若规定P (120X200=0.80,容许最大为多少? P (120X200)=又对原则正态分布有(x)=1(x) 上式变为 解出 再查表,得30.二十七 设随机变量X的分布律为: X:2, 1, 0,1,3P:, , , ,求Y=X 2的分布律 Y=X 2:(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 P: 再把X 2的取值相似的合并,并按从小到大排列,就得函数Y的分布律为: Y: 0 1 4 9 P: 31.二十八 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布(1)求Y=eX的分布密度 X的分布密度为:Y=g (X) =eX是单调增函数又X=h (Y)=lnY,反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为:(2)求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是单调减函数又 反函数存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度为:32.二十九 设XN(0,1)(1)求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是单调增函数又X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为:(2)求Y=2X2+1的概率密度。在这里,Y=2X2+1在(+,)不是单调函数,没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FY(y),则FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =当y1时,( y)= FY ( y) = =(3)求Y=| X |的概率密度。Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)当y0时:( y)= FY ( y) =33.三十 (1)设随机变量X的概率密度为f (x),求Y = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X单调增函数,又X=h (Y ) =,反函数存在,且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为: ( y)= f h ( h )| h ( y)| = (2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,求Y=X 2的概率密度。xOy=x2y法一: X的分布密度为: Y=x2是非单调函数当 x0时 y=x2 反函数是当 x0时 y=x2 & Y fY (y) = =法二: Y fY (y) =34.三十一 设X的概率密度为求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)当y0时:FY ( y)=0当0y1时:FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX) =当1y时:FY ( y)=1 Y的概率密度( y )为:y0时,( y )= FY ( y) = (0 ) = 00y1时,( y )= FY ( y) = =1y时,( y )= FY ( y) = = 036.三十三 某物体的温度T (oF )是一种随机变量,且有TN(98.6,2),试求()的概率密度。已知法一: T的概率密度为 又 是单调增函数。 反函数存在。 且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= + 的概率密度()为 法二:根据定理:若XN(1, 1),则Y=aX+bN (a1+b, a2 2 )由于TN(98.6, 2)故 故的概率密度为:第三章 多维随机变量及其分布1.一 在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。考虑两种实验:(1)放回抽样,(2)不放回抽样。我们定义随机变量X,Y如下:试分别就(1)(2)两种状况,写出X和Y的联合分布律。解:(1)放回抽样状况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或写成XY0101(2)不放回抽样的状况P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =或写成XY01013.二 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表达取到黑球的只数,以Y表达取到白球的只数,求X,Y的联合分布律。XY01230001020解:(X,Y)的也许取值为(i, j),i=0,1,2,3, j=0,12,i + j2,联合分布律为P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三 设随机变量(X,Y)概率密度为(1)拟定常数k。(2)求P X1, Y3(3)求P (X1.5(4)求P (X+Y4分析:运用P (X, Y)G=再化为累次积分,其中解:(1),(2)(3)y(4)6(1)求第1题中的随机变量(X、Y )的边沿分布律。 (2)求第2题中的随机变量(X、Y )的边沿分布律。2解:(1) 放回抽样(第1题)XY0x+y=4110xo1边沿分布律为X01Y01PiPj 不放回抽样(第1题)XY0101边沿分布为X01Y01PiPj(2)(X,Y )的联合分布律如下XY0123000300解: X的边沿分布律 Y的边沿分布律X0123 Y13Pi Pj7 设二维随机变量(X,Y )的概率密度为解:8.六 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为x=yy求边沿概率密度。xo解: 10七 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)试拟定常数c。(2)求边沿概率密度。解: l=yo y=x2x15. 第1题中的随机变量X和Y与否互相独立。解:放回抽样的状况P X=0, Y=0 = P X=0P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽样的状况下,X和Y是独立的不放回抽样的状况:P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0= P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =P X=0P Y=0 =P X=0, Y=0 P X=0P Y=0 X和Y不独立16.十四 设X,Y是两个互相独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布。Y的概率密度为(1)求X和Y的联合密度。(2)设具有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解:(1)X的概率密度为y=x2Y的概率密度为1xDyo且知X, Y互相独立,于是(X,Y)的联合密度为(2)由于a有实跟根,从而鉴别式 即: 记 23 设某种商品一周的需要量是一种随机变量,其概率密度为并设各周的需要量是互相独立的,试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度。解:(1)设第一周需要量为X,它是随机变量 设第二周需要量为Y,它是随机变量且为同分布,其分布密度为Z=X+Y表达两周需要的商品量,由X和Y的独立性可知:z0 当z0时,由和的概率公式知 (2)设z表达前两周需要量,其概率密度为 设表达第三周需要量,其概率密度为:z与互相独立= z +表达前三周需要量则:0,当u0时因此的概率密度为30 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,20)分布。随机地选用4只求其中没有一只寿命不不小于180小时的概率。解:设X1,X2,X3,X4为4只电子管的寿命,它们互相独立,同分布,其概率密度为:设N=minX1,X2,X3,X 4 P N180=P X1180, X2180, X3180, X4180 =P X1804=1pX1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八 设随机变量(X,Y)的分布律为XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05(1)求P X=2|Y=2,P Y=3| X=0(2)求V=max (X, Y )的分布律(3)求U = min (X, Y )的分布律解:(1)由条件概率公式P X=2|Y=2= = =同理P Y=3|X=0=(2)变量V=maxX, Y 显然V是一随机变量,其取值为 V:0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1,Y=0+ P X=1,Y=1+ P X=0,Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2,Y=0+ P X=2,Y=1+ P X=2,Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3,Y=0+ P X=3,Y=1+ P X=3,Y=2+ P X=3,Y=3 +P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2
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