高三数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理课件理.ppt

理数课标版 第五节定积分与微积分基本定理 1 定积分的定义如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式f i x f i 当n 时 上述和式无限接近于某个常数 教材研读 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 f x dx 即f x dx f i 这里a和b分别叫做积分下限和积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数f x 叫做被积函数 x叫做积分变量 f x dx叫做被积式 2 定积分的运算性质 1 kf x dx kf x dx k为常数 2 f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx 3 f x dx f x dx f x dx a c b 3 微积分基本定理一般地 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且F x f x 那么f x dx F b F a 这个结论叫做微积分基本定理 又叫牛顿 莱布尼茨公式 可以把F b F a 记为F x 即f x dx F x F b F a 4 定积分的几何意义如图 设阴影部分的面积为S 则 1 S f x dx 2 S f x dx 3 S f x dx f x dx 4 S f x dx g x dx f x g x dx 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 设函数y f x 在区间 a b 上连续 则f x dx f t dt 2 定积分一定是曲边梯形的面积 3 若f x dx 0 那么由y f x 的图象 直线x a 直线x b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方 4 若f x 是偶函数 则f x dx 2f x dx 1 2014陕西 3 5分 定积分 2x ex dx的值为 A e 2B e 1C eD e 1 答案C 2x ex dx x2 ex 1 e1 1 e 故选C 2 若dx 3 ln2 a 1 则a的值是 答案2解析由dx x2 lnx a2 lna 12 ln1 a2 lna 1 3 ln2 a 1 得a2 lna 4 ln2 所以a 2 3 e x dx的值为 答案2e 2解析 e x ex e0 e e e0 1 e e 1 2e 2 4 若 答案 2解析 1 1 2 考点一定积分的计算典例1计算下列定积分 1 dx 2 cosxdx 3 dx 4 dx 5 3x3 4sinx dx 解析 1 因为 lnx 所以dx 2dx 2lnx 2 ln2 ln1 2ln2 2 因为 sinx cosx 所以cosxdx sinx sin sin0 0 3 因为 x2 2x 所以dx 2xdx dx x2 考点突破 4 根据定积分的几何意义 可知dx表示的是如图所示的阴影部分的面积 即圆 x 1 2 y2 1的面积的 故dx 5 易知y 3x3 4sinx是R上的奇函数 所以 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 所以 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 0 方法技巧求定积分的常用方法1 利用定积分的几何意义 求定积分f x dx时 若被积函数的原函数不易求 而被积函数的图象与直线x a x b y 0所围成的曲边梯形的面积易求 则用定积分的几何意义求定积分 2 利用函数图象的对称性 设函数f x 在闭区间 a a 上连续 则由定积分的几何意义和奇偶函数图象的对称性可得 1 若f x 是偶函数 则f x dx 2f x dx 2 若f x 是奇函数 则f x dx 0 1 1计算定积分 3 2x dx 答案 解析因为 3 2x 所以 3 2x dx 3 2x dx 2x 3 dx 3x x2 x2 3x 1 2设函数f x ax2 c a 0 若f x dx f x0 0 x0 1 则x0的值为 答案解析由已知可得a c a c 又 0 x0 1 x0 考点二定积分几何意义的应用典例2 1 2016唐山统一考试 过点 1 0 的直线l与曲线y 相切 则曲线y 与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为 2 2015陕西 16 5分 如图 一横截面为等腰梯形的水渠 因泥沙沉积 导致水渠截面边界呈抛物线型 图中虚线所示 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 答案 1 2 1 2解析 1 因为y 的导数为y 设切点为P x0 y0 则切线的斜率为 解得x0 1 即切线的斜率为 所以直线l的方程为y x 1 所以所围成的封闭图形的面积为dx 1 2 建立直角坐标系 如图 过B作BE x轴于点E BAE 45 BE 2 AE 2 又OE 5 A 3 0 B 5 2 设抛物线的方程为x2 2py p 0 将点B的坐标代入 得p 故抛物线的方程为y x2 从而曲边三角形OEB的面积为x2dx 又S ABE 2 2 2 故曲边三角形OAB的面积为 从而图中阴影部分的面积为 又易知等腰梯形ABCD的面积为 2 16 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1 2 方法技巧利用定积分求平面图形面积的一般步骤 1 画出草图 2 分析围成平面图形的各曲线与直线 求出交点坐标 确定积分的上 下限 及被积函数 3 将平面图形的面积表示成一个定积分或若干个定积分的和 4 计算定积分 写出答案 2 1曲线y x2与直线y kx k 0 所围成的曲边图形的面积为 则k 答案2 解析由得或则曲线y x2与直线y kx k 0 所围成的曲边梯形的面积为 kx x2 dx k3 即k3 8 所以k 2 2 2若函数f x Asin A 0 0 的图象如图所示 则图中的阴影部分的面积为 答案1 解析由图象可知A 1 所以 1 则f x sin f x 的图象与x轴交点的横坐标为 所以图中的阴影部分的面积为dx cos 1 考点三定积分在物理中的应用典例3一辆汽车在高速公路上行驶 由于遇到紧急情况而刹车 以速度v t 7 3t t的单位 s v的单位 m s 行驶至停止 在此期间汽车行驶的路程 单位 m 是 A 1 25ln5B 8 25lnC 4 25ln5D 4 50ln2答案C解析由v t 0得t 4 故所求路程为s v t dt dt 4 25ln5 m 方法技巧定积分在物理中的两个应用 1 求变速直线运动的路程 如果变速直线运动物体的速度为v v t 那么从时刻t a到t b所经过的路程s v t dt 2 变力做功 一物体在变力F x 的作用下 沿着与F x 相同的方向从x a移动到x b时 力F x 所做的功是W F x dx 3 1一物体在力F x 单位 N 的作用下 沿与力F相同的方向 从x 0处运动到x 4 单位 m 处 则力F x 做的功为J 答案36解析由题意知 力F x 所做的功为 W 5 2 10 36 J