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第5练不等式明晰考情1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中高档难度考点一不等式的性质与解法要点重组不等式的常用性质(1)如果ab0，cd0，那么acbd.(2)如果ab0，那么anbn(nN，n2)(3)如果ab0，那么(nN，n2)方法技巧(1)解一元二次不等式的步骤一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集)(2)可化为0(或0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解1若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是()A若ab，则ac2bc2B若ab0，则a2abb2C若ab0，则D若ab0，则答案B解析B中，ab0，a2aba(ab)0，abb2b(ab)0.故a2abb2，B正确2(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0Babab0Cab0abDab0ab答案B解析alog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.log0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，01，abab0.3若ab0，且ab1，则下列不等式成立的是()Aalog2(ab)B.log2(ab)aCalog2(ab)Dlog2(ab)a答案B解析方法一ab0，ab1，log2(ab)log2(2)1.a12a，令f(a)a12a，又b，ab0，a，解得a1.f(a)a22aa12aln2a22a(1aln2)0，f(a)在(1，)上单调递减f(a)f(1)，即.aaa2aablog2(ab)，log2(ab)a.故选B.方法二ab0，ab1，取a2，b，此时a4，log2(ab)log2511.3，log2(ab)a.故选B.4关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于()A.B.C.D.答案A解析由条件知，x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，解得a，故选A.5若关于x的不等式axb0的解集是(，2)，则关于x的不等式0的解集为_答案x|x0或1x2解析关于x的不等式axb0的解集是(，2)，a0，2，b2a，0，即0，解得x0或1x2.考点二基本不等式要点重组基本不等式：(a0，b0)(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致6若正数x，y满足4xy10，则的最小值为()A12B10C9D8答案C解析由4xy10，得4xy1，则5529，当且仅当x，y时，等号成立，所以的最小值为9，故选C.7若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A.B.C.D.答案A解析由x26xy10，可得x26xy1，即x(x6y)1.因为x，y都是正数，所以x6y0.故2x(x6y)22，即3x6y2，故x2y(当且仅当2xx6y，即x6y0时等号成立)故选A.8.如图，在RtABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M，N在过点P的直线上，若， (，0)，则2的最小值为()A2B.C3D.答案B解析()，因为M，N，P三点共线，所以1，因此2(2)2，当且仅当，时“”成立，故选B.9若a，bR，ab0，则的最小值为_答案4解析a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即且a，b同号时取得等号故的最小值为4.10已知a0，b0，c1且ab1，则c的最小值为_答案42解析22，当且仅当ba时取等号，所以c2(c1)22242，当且仅当2(c1)，即c1时取等号，故c的最小值是42.考点三简单的线性规划问题方法技巧(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求(2)常见的目标函数截距型：zaxby；距离型：z(xa)2(yb)2；斜率型：z.11(2018天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A6B19C21D45答案C解析画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z3x5y，得yx.设直线l0为yx，平移直线l0，当直线yx过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax325321.故选C.12设x，y满足约束条件则z|x3y|的最大值为()A15B13C3D2答案A解析画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，设z1x3y，可化为yx，当直线yx经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z1取得最大值，当直线yx经过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z1取得最小值，由解得A(3,4)，此时最大值为z133415；由解得B(2,0)，此时最小值为z12302，所以目标函数z|x3y|的最大值为15.13若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4B9C10D12答案C解析满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x3，y1时，x2y2取最大值，最大值为10.故选C.14(2018浙江省金华市浦江县高考适应性考试)已知实数x，y满足则此平面区域的面积为_，2xy的最大值为_答案12解析它表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)则其围成的平面区域的面积为211；当x1，y0时，2xy取得最大值2.15设实数x，y满足约束条件则z的最大值是_答案1解析满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示z表示点(x，y)与(0,0)连线的斜率，由可行域可知，最大值为kOA1.考点四绝对值不等式要点重组(1)绝对值三角不等式|ab|a|b|，当且仅当ab0时等号成立；|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时等号成立(2)|axb|c(c0)caxbc.|axb|c(c0)axbc或axbc.16不等式的解集为()A(，2)(1，)B(，2)C(1，)D(2,1)答案D解析由，可得0，2x1.17已知x，yR，下列不等式成立的是()A若|xy2|x2y|1，则22B若|xy2|x2y|1，则22C若|xy2|x2y|1，则22D若|xy2|x2y|1，则22答案B解析因为|xy2|x2y|x2xy2y|22，所以22，因此B正确；取x，y，此时|xy2|x2y|1，但22，因此A错误；取x，y，此时|xy2|x2y|1，但22，因此C错误；取x，y，此时|xy2|x2y|1，但22，因此D错误，故选B.18已知f(x)x2，g(x)2x5，则不等式|f(x)|g(x)|2的解集为_；|f(2x)|g(x)|的最小值为_答案3解析由题意得|f(x)|g(x)|x2|2x5|所以|f(x)|g(x)|2等价于或或解得x3.|f(2x)|g(x)|2x2|2x5|f(2x)|g(x)|的图象如图，则由图象易得|f(2x)|g(x)|的最小值为3.19已知函数f(x)|x2axb|在0，c内的最大值为M(a，bR，c0为常数)，且存在实数a，b，使得M取最小值2，则abc_.答案2解析令x，0xc，c0，1t1，f(x)|x2axb|.函数f(x)|x2axb|在区间0，c上的最大值为M，M，又存在实数a，b，使得M取最小值2，而0，0，当0且0时，M有最小值2，又c0，解得c2，a2，b2，abc2.1若不等式(2)na3n1(2)n0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析当n为奇数时，要满足2n(1a)3n1恒成立，即1an恒成立，只需1a1，解得a；当n为偶数时，要满足2n(a1)3n1恒成立，即a1n恒成立，只需a12，解得a.综上，a，故选D.2设函数f(x)|2x1|，若不等式f(x)对任意实数a0恒成立，则x的取值范围是()A(，13，) B(，12，)C(，31，) D(，21，)答案B解析不等式f(x)对任意实数a0恒成立，仅需f(x)max.因为3，所以f(x)3，即|2x1|3，即2x13或2x13，即x2或x1，故选B.3已知实数x，y满足不等式组则(x3)2(y2)2的最小值为_答案13解析画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x3)2(y2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线xy2与y1的交点(1,1)时，(x3)2(y2)2取得最小值13.4已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当x2y时取等号)又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)综上可知，4x24y212.解题秘籍(1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式：a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号；ab2 (a0，b0)，当且仅当ab时取等号注意公式的变形使用和等号成立的条件(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义(4)含绝对值不等式的恒成立问题可以转化为求含绝对值函数的最值或利用绝对值三角不等式求最值1(2016浙江)已知a，b0，且a1，b1，若logab1，则()A(a1)(b1)0B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0D(b1)(ba)0答案D解析取a2，b4，则(a1)(b1)30，排除A；则(a1)(ab)20，排除B；(b1)(ba)60，排除C，故选D.2设实数a(1,2)，关于x的一元二次不等式x2(a23a2)x3a(a22)0的解集为()A(3a，a22) B(a22,3a)C(3,4) D(3,6)答案B解析x2(a23a2)x3a(a22)0，x(a22)(x3a)0，又a(1,2)，a223a，a22x0，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(含边界)则A(a，a)，B(a，a)，所以平面区域的面积Sa2a9，解得a3(舍负)，此时A(3,3)，B(3，3)，由图可得当z2xy过点A(3,3)时，z2xy取得最大值9，故选C.5已知正实数a，b满足3，则(a1)(b2)的最小值是()A.B.C.D6答案B解析3，2ab3ab，又2ab2，23ab，得ab，因此(a1)(b2)ab2ab24ab242，当且仅当2ab时，等号成立6设x，yR，下列不等式成立的是()A1|xy|xy|x|y|B12|xy|x|y|C12|xy|x|y|D|xy|2|xy|x|y|答案A解析当x1，y1时，12|xy|x|y|，故B错误；当x4，y时，12|xy|x|y|，故C错误；当x，y时，|xy|2|xy|x|y|，故D错误；故选A.7实数x，y满足且z2xy的最大值是最小值的4倍，则a的值是()A.B.C.D.答案B解析在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z2xy经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3，当目标函数z2xy经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由343a，得a.8若对任意的x，yR，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C1，) D(，1答案B解析不等式x2y2xy3(xya)对任意的x，yR恒成立等价于不等式x2(y3)xy23y3a0对任意的x，yR恒成立，所以(y3)24(y23y3a)3y26y912a3(y1)212(1a)0对任意的yR恒成立，所以1a0，即a1，故选B.9设函数f(x)，则不等式f(x)f的解集是_答案解析函数f(x)的定义域为(1,1)且在(1,1)上单调递增，f(x)f(x)，所以f(x)ff(x)fx1，解得x.10(2018诸暨模拟)若x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_，最小值为_答案610解析作出x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z3xy知，y3xz，所以动直线y3xz在y轴上的截距z取得最大值时，目标函数取得最大值由可行域得B(2，4)，A(2,0)，结合可行域可知当动直线经过点B时，目标函数取得最小值z32410.目标函数经过可行域的点A时，取得最大值6.11(2018绍兴模拟)若实数x，y，z满足x2y3z1，x24y29z21，则实数z的最小值是_答案解析x2y3z1，则x12y3z，据此可得(12y3z)24y29z21，整理可得4y2(6z2)y(9z23z)0，满足题意时上述关于y的一元二次方程有实数根，则(6z2)216(9z23z)0，整理可得(3z1)(9z1)0，则z.则实数z的最小值是.12已知a0，b0，则的最大值是_答案解析，.令t，则.a0，b0，t2，.又yt在上单调递增，min2，的最大值是8.
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