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张掖市20182019学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测数学（文科）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标【详解】由题意得抛物线的标准方程为，焦点在轴的负半轴上，且，抛物线的焦点坐标为故选B【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题2.若kR，则k3是方程x2k3+y2k+3=1表示椭圆的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】求出方程x2k-3+y2k+3=1表示椭圆时k的范围，然后根据充分必要条件的定义进行判断.【详解】若方程x2k-3+y2k+3=1表示椭圆，则k-30k+30,解得k3,故k3是方程x2k-3+y2k+3=1表示椭圆的充要条件，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判断，属于基础题.3.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x21”B. “x=1”是“x2x2=0”的必要不充分条件C. 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D. “tanx=1”是“x=4”的充分不必要条件【答案】C【解析】试题分析：对A，若x2=1，则x=1”的否命题是“若，则”；对B，当时，成立，但时，或，所以应为充分不必要条件；对D，则，反之，若x=4则tanx=1，所以为必要不充分条件，所以选C考点：1充分必要条件的判定；2四种命题4.已知x，y满足约束条件xy10x+y302y+10，则z=2x+y的最小值为（ ）A. 12 B. 1 C. 32 D. 2【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案详解：由变量x，y满足约束条件x-y-10x+y-302y+10，作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A（12，12）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为21212=12故选：A点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.在R上定义运算：ab=ab+2a+b，则满足x(x2)0的实数x的取值范围（ ）A. (0,2) B. (2,1) C. (,2)(1,+) D. (1,2)【答案】B【解析】试题分析：由定义运算可知不等式x（x2）0为x(x2)+2x+x2b0)的左、右焦点，点M在椭圆E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=12，则椭圆E的离心率为（ ）A. 33 B. 53 C. 233 D. 32【答案】A【解析】【分析】在直角MF2F1中，由tanMF2F1得到a,b,c的等量关系，结合a2=b2+c2计算即可得到离心率.【详解】由已知sinMF2F1=12，得MF2F1=6，则tanMF2F1=33,又在椭圆中MF1=b2a,F1F2=2c,故tanMF2F1=MF1F1F2=b2a2c=33,即a2-c22ac=a2c-c2a=12e-e2=33,解得e=33,故选：A【点睛】本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.11.已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 120【答案】B【解析】【分析】画出图形，由图形找到a,b,c的等量关系，然后得到渐近线的斜率，从而得到倾斜角.【详解】由已知可设双曲线的顶点A到渐近线y=bax的距离|AB|=1,焦点F2到渐近线的距离|F2C|=2，由AB/F2C得AB|F2C|=OAOF2=ac=12,则b2a2=c2-a2a2=c2a2-1=2-1=1,设渐近线倾斜角为，则tan=ba=1,所以=45故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，关键是构造a,b,c的等量关系，属于基础题.12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)为其导函数，当x0且g(3)=0，则不等式f(x)g(x)0，y0，且2x+1y=1，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】（-4，2）【解析】试题分析：因为x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy4+24yxxy=8当且仅当x=2y时取等号，所以m2+2m84m0,b0)与抛物线y2=8x有 一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线方程为 【答案】3xy=0【解析】设点P(m，n)，依题意得，点F(2，0)，由点P在抛物线y28x上，且PF5得m25，n28m，由此解得m3，n224.于是有a2b24，9a224b21，由此解得a21，b23，该双曲线的渐近线方程为ybax3x.三、解答题17.设p：实数x满足x2(3a+1)x+2a2+a0，q：实数x满足x30，且p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）2x3（2）32a2【解析】试题分析：（1）由x2(3a+1)x+2a2+a20182019.【答案】（1）an=2n1，nN* （2）n=1010【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）bn=2anan+1=12n-1-12n+1，运用裂项相消求和法求和，解不等式可得n的最小值【详解】（1）设等差数列an的公差为d，依题意有a22=a1a5a3+a4=12， 即a1+d2=a1a1+4d2a1+5d=12因为d0，所以解得a1=1，d=2， 从而an的通项公式为an=2n-1，nN*. （2）因为bn=2anan+1=12n-1-12n+1， 所以Sn=1-13+13-15+.+12n-1-12n+1 =1-12n+1 令1-12n+120182019，解得n1009，故n=1010【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，已知ctanC=3(acosB+bcosA).（1）求角C；（2）若点D在边BC上，且AD=CD=4，ABD的面积为83，求边的长.【答案】(1)C=3；(2)c=47.【解析】【试题分析】（1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得tanC=3，故C=3.（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.【试题解析】（1）由ctanC=3(acosB+bcosA)及正弦定理可得sinCtanC=3(sinAcosB+sinBcosA)，故sinCtanC=3sin(A+B)，而sinC=sin(A+B)0，所以tanC=3，即C=3（2）由AD=CD=4及C=3可得ACD是正三角形.由ABD的面积为83可得12ADBDsin23=83，即12BD432=83，故BD=8，在ABD中，由余弦定理可得c2=42+82-248cos23=112，即c=47.20.已知函数f(x)=x4+axlnx32，其中aR，且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y=12x.（1）求的值；（2）求函数f(x)的极值.【答案】（1）a=54（2）函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=ln5.无极大值【解析】【分析】（1）求导，利用导数几何意义可得k=f(1),又切线与y=12x垂直，即f1=-2，即可得a值；（2）根据导数判断函数的单调性，由单调性即可得到函数极值.【详解】（1）对f(x)求导得f(x)=14-ax2-1x， 由f(x)在点(1,f(1)处切线垂直于直线y=12x知f(1)=-34-a=-2， 解得a=54； （2）由（1）问知f(x)=x4+54x-lnx-32， 则f(x)=14-54x2-1x=x2-4x-54x2， 令f(x)=0，解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域0,+内，故舍去. 当x0,5时，f(x)0，故f(x)在(5,+)内为增函数 由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5.无极大值；【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，属于基础题.21.已知椭圆C的对称中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且F1F2=2，点1,32在该椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的面积为1227，求以F2为圆心且与直线相切的圆的方程.【答案】(1) x24+y23=1 (2) y=(x+1)【解析】（）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,(ab0)，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1(1,0)，F2(1,0). .1分2a=(1+1)2+(32)2+(11)2+(32)2=52+32=4. .3分a=2,又c=1 b2=41=3， 4分故椭圆的方程为x24+y23=1. .5分（）当直线x轴，计算得到：A(1,32),B(1,32)，SAF2B=12|AB|F1F2|=1232=3，不符合题意. .6分当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为：y=k(x+1)，由y=k(x+1)x24+y23=1，消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k212=0， .7分显然0成立，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2123+4k2,.8分又|AB|=1+k2(x1+x2)24x1x2=1+k264k4(3+4k2)24(4k212)3+4k2即|AB|=1+k212k2+13+4k2=12(k2+1)3+4k2， .9分又圆F2的半径r=|k10+k|1+k2=2|k|1+k2,.10分所以SAF2B=12|AB|r=1212(k2+1)3+4k22|k|1+k2=12|k|1+k23+4k2=1227,化简，得17k4+k218=0，即(k21)(17k2+18)=0，解得k=1所以，r=2|k|1+k2=2， .12分故圆F2的方程为：(x1)2+y2=2. .13分（）另解：设直线的方程为x=ty1，由x=ty1x24+y23=1，消去x得(4+3t2)y26ty9=0，0恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=6t4+3t2,y1y2=94+3t2,8分所以|y1y2|=(y1+y2)24y1y2=36t2(4+3t2)2+364+3t2 =12t2+14+3t2; .9分又圆F2的半径为r=|1t0+1|1+t2=21+t2， .10分所以SAF2B=12|F1F2|y1y2|=|y1y2|=12t2+14+3t2=1227，解得t2=1，所以r=21+t2=2， 12分故圆F2的方程为：(x1)2+y2=2. .13分22.已知函数f(x)=alnx+a+12x2+1.（1）当a=12时，求f(x)在区间1e,e上的最值；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）当1a1+a2lna恒成立，求的取值范围.【答案】（）；（）见解析；（）（1，0）【解析】【分析】（1）求出函数在区间1e,e上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当-1a0时，求出函数fx的最小值为fxmin=f-aa+1，故问题转化为当-1a1+a2ln-a恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围【详解】（1）当a=-12时，fx=-12lnx+x24+1,(x0)，fx=-12x+x2=x2-12x=(x+1)(x-1)2x当x0,1时，fx0,fx单调递增当x=1时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为f1=54又f1e=32+14e2，fe=12+e24，fxmax=12+e24所以函数在区间1e,e上的最小值为54，最大值为12+e24（2）由题意得fx=a+1x2+ax，x0,+当a+10，即a-1时，fx0恒成立，fx在0,+上单调递增当-1a0时，0a+11，由fx=0得x=-aa+1，或x=-aa+1（舍去），fx在0,-aa+1上单调递减，在-aa+1,+上单调递增综上可得，当a0，fx在0,+上单调递增；当-1a0时，fx在0,-aa+1上单调递减，在-aa+1,+单调递增；当时，在上单调递减（3）由（2）可得，当时，若不等式恒成立，则只需，即，整理得，解得，又，实数的取值范围为【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数
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