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第3课时深化提能与圆有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题解决此类问题的关键是数形结合思想的运用与圆有关的轨迹问题典例已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.方法技巧求与圆有关的轨迹问题的4种方法针对训练1(2019厦门双十中学月考)点P(4，2)与圆x2y24上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：选A设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x，y)，由题意得，则故(2x4)2(2y2)24，化简得，(x2)2(y1)21，故选A.2已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM，故POM的面积为.与圆有关的最值或范围问题例1(2019兰州高三诊断)已知圆C：(x1)2(y4)210和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MAMB，则实数t的取值范围是()A2,6 B3,5C2,6 D3,5解析法一：当MA，MB是圆C的切线时，AMB取得最大值若圆C上存在两点A，B使得MAMB，则MA，MB是圆C的切线时，AMB90，AMC45，且AMC90，如图，所以|MC|，所以16(t4)220，所以2t6，故选C.法二：由于点M(5，t)是直线x5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t的取值范围一定关于 t4对称，故排除选项A、B.当t2时，|CM|2，若MA，MB为圆C的切线，则sinCMAsinCMB，所以CMACMB45，即MAMB，所以t2时符合题意，故排除选项D.选C.答案C例2已知实数x，y满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看成是直线yxb在y轴上的截距当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，x2y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值因为圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，最小值是(2)274.与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型解题思路型转化为动直线斜率的最值问题taxby型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m(xa)2(yb)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题1(2019新余一中月考)直线xyt0与圆x2y22相交于M，N两点，已知O是坐标原点，若|，则实数t的取值范围是_解析：由|，两边平方，得0，所以圆心到直线的距离d1，解得t，故实数t的取值范围是， 答案：， 2已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则的最大值与最小值分别为_解析：设k，则k表示点P(x，y)与点A(2,1)连线的斜率当直线PA与圆相切时，k取得最大值与最小值设过(2,1)的直线方程为y1k(x2)，即kxy12k0.由1，解得k.答案：，3(2019大庆诊断考试)过动点P作圆：(x3)2(y4)21的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是_解析：由题可知圆(x3)2(y4)21的圆心N(3,4)设点P的坐标为(m，n)，则|PN|2|PQ|2|NQ|2|PQ|21，又|PQ|PO|，所以|PN|2|PO|21，即(m3)2(n4)2m2n21，化简得3m4n12，即点P在直线3x4y12上，则|PQ|的最小值为点O到直线3x4y12的距离，点O到直线3x4y12的距离d，故|PQ|的最小值是.答案：
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