函数极限与连续（高等数学）课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ppt课件,*,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,第一章 主要内容,1,ppt课件,（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念 第一章,函 数,的定义,反函数,隐函数,反函数与直接,函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数,的性质,奇偶性,单调性,有界性,周期性,2,ppt课件,函 数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函,1、函数的定义,3,ppt课件,1、函数的定义3ppt课件,函数的两要素:,定义域,与,对应法则.,自变量,因变量,对应法则,f,辨别下列各对函数是否相同,为什么?,不同,定义域不同,不同,对应关系不同,相同,定义域和对应关系,都相同,4,ppt课件,函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则 f辨,函数的定义域,在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。,用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：,(6),如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，,则其定义域应取各部分定义域的交集。,(1),在分式中，分母不能为零；,(2),在根式中，负数不能开偶次方根；,(3),在对数式中，真数必须大于零；,(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x-1,1,5,ppt课件,函数的定义域用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使,例：求下列函数的定义域,即,所以定义域为(-,-4)(-4,1)(1,+),即,解得,所以定义域为-1,1)(1,+),(2),要使函数有意义,必须有,且有,解:,(1),要使函数有意义，必须有分母,取其公共部分,6,ppt课件,例：求下列函数的定义域 即所以定义域为(-,-4,解,所以定义域为(-3,+),(4),要使函数有意义,必须有,所以定义域为,(-1,1),B.,(3)(4),(3),要使函数有意义，必须有,解得,练习：P9 2 3,7,ppt课件,解所以定义域为(-3,+)(4)要使函数有意义,必须有 所,例.设,求下列函数值,解:,解:,解：,1）,2）,3）,8,ppt课件,例.设 ,求下列函数值 解:解:解：1,(1)函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,y,x,o,2、函数的性质,9,ppt课件,(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质9pp,(2)函数的单调性:,设函数,f(x),的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上任意两点 及 ，当 时，恒有：,(1,),则称函数 在区间,I,上是,单调增加的,；,或(2),则称函数 在区间,I,上是,单调递减的,；,单调增加和单调减少的函数统称为,单调函数,。,10,ppt课件,(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，,(3)函数的有界性:,11,ppt课件,(3)函数的有界性:11ppt课件,设函数,f(x),的定义域为D，如果存在一个不为零的数,l,使得对于任一 ,有 .,且,f(x+l)=f(x),恒成立,则称,f(x),为,周期函数,l,称为,f(x),的,周期.,（通常说周期函数的周期是指其最小正,周期,）.,(4)函数的周期性:,o,y,x,12,ppt课件,设函数 f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数,13,ppt课件,13ppt课件,说明：反函数与直接函数之间的关系,3、反函数,14,ppt课件,说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数14ppt课件,6、基本初等函数,1）,幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,15,ppt课件,6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函,1.,幂函数,16,ppt课件,1.幂函数16ppt课件,2.指数函数,17,ppt课件,2.指数函数17ppt课件,3.对数函数,18,ppt课件,3.对数函数18ppt课件,4.三角函数,正弦函数,19,ppt课件,4.三角函数正弦函数19ppt课件,余弦函数,20,ppt课件,余弦函数20ppt课件,正切函数,21,ppt课件,正切函数21ppt课件,余切函数,22,ppt课件,余切函数22ppt课件,5.反三角函数,23,ppt课件,5.反三角函数23ppt课件,24,ppt课件,24ppt课件,25,ppt课件,25ppt课件,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,26,ppt课件,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角,7、复合函数,8、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用,一个式子表示,的函数,称为,初等函数.,练习：P10 11,27,ppt课件,7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运,左右极限,两个重要,极限,求极限的常用方法,无穷小,的性质,极限存在的,充要条件,判定极限,存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小,及其性质,唯一性,无穷小,两者的,关系,无穷大,28,ppt课件,左右极限两个重要求极限的常用方法无穷小极限存在的判定极限无穷,1、极限,29,ppt课件,1、极限29ppt课件,30,ppt课件,30ppt课件,左极限,右极限,31,ppt课件,左极限右极限31ppt课件,函数的极限与左、右极限有如下关系：,2.,常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在,例 判断函数,在 点处是否有极限.,解:,因为,所以,说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者,都存在但不相等，则函数的极限不存在。,32,ppt课件,函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在,左右极限存在但不相等,证,习题：P18 3,33,ppt课件,左右极限存在但不相等,证习题：P18 333ppt课件,定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中,有极限，则其极限是唯一的,定理(有界性定理)若函数,f,(,x,),当,x x,0,时极限存在，,则必存在,x,0,的某一邻域，使得函数,f,(,x,),在该邻域内有界,函数极限的性质,34,ppt课件,定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中定理(有界性定,定理(保号性),推论,35,ppt课件,定理(保号性)推论35ppt课件,无穷小:,极限为零的变量称为,无穷小,.,绝对值无限增大的变量称为,无穷大,.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2、无穷小与无穷大,36,ppt课件,无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无,性质3 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,性质1 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,性质2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,37,ppt课件,性质3 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质,一、无穷小量,二、无穷小的性质,三、极限与无穷小的关系,四、无穷大量,五、无穷小与无穷大的关系,六、小节,补充 无穷大与无穷小,38,ppt课件,一、无穷小量补充 无穷大与无穷小38ppt课件,定义 若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.,例1,例2,时的无穷小量.,时的无穷小量.,因为,所以,因为,所以,一、无穷小量,39,ppt课件,定义 若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下,例如函数 时的无穷小，但当,时不是无穷小。,当 时，的极限不为零，所以当 时，函数 不是无穷小，而当 时,是无穷小量。,应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是,绝对值很小,的数。因此应明确指出其变化过程。,40,ppt课件,例如函数,(4),有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.,(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.,(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小,.,二、无穷小的性质,定理 在自变量的同一变化过程中,41,ppt课件,(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小,例3,解,注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，,因为 不存在.,所以,时的无穷小量.,为有界变量,42,ppt课件,例3解 注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，所以时的,三、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,43,ppt课件,三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性43ppt课件,定义,在自变量,x,的某一变化过程中,若函数值的绝对值 无限增大，则称,f,(,x,)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作,四、无穷大量,44,ppt课件,定义 在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,45,ppt课件,特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1.无穷大是变量,不能与很,简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同,一,变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.,定理 在自变量的同一变化过程中，若,f,(,x,)为无穷大,则 为无穷小;反之,若,f,(,x,)为无穷小且,f,(,x,)不等于0,则 为无穷大.,例如：,五、无穷小与无穷大的关系,46,ppt课件,简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同 一变化过程中，无,以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.,例4,解,例5考察,当 时，为无穷大量；,当 时，为无穷小量；,47,ppt课件,以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察,六、小结,1、主要内容:,两个定义;定理.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）,无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,48,ppt课件,六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小,定理,推论1,推论2,3、极限的性质,49,ppt课件,定理推论1推论23、极限的性质49ppt课件,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限;,b.消去零因子法求极限;,c.无穷小因子分出法求极限;,d.利用无穷小运算性质求极限;,e.利用左右极限求分段函数极限.,50,ppt课件,4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;50p,求极限方法举例,例2,解,例1,解：原式,51,ppt课件,求极限方法举例例2解例1解：原式51ppt课件,小结:,52,ppt课件,小结:52ppt课件,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例3,53,ppt课件,解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例353ppt课件,解,例4,(消去零因子法),54,ppt课件,解例4(消去零因子法)54ppt课件,练习,解,解,55,ppt课件,练习解解55ppt课件,分母有理化，分子有理化,56,ppt课件,分母有理化，分子有理化56ppt课件,解：,57,ppt课件,解：57ppt课件,例5,解,(无穷小因子分出法),58,ppt课件,例5解(无穷小因子分出法)58ppt课件,例6,，然后再求极限，得,分母同时除以,分子,3,x,解,59,ppt课件,例6 ，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解59pp,小结:,无穷小分出法:,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,60,ppt课件,小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以,练习,解,61,ppt课件,练习解61ppt课件,例7,解,先变形再求极限.,62,ppt课件,例7解先变形再求极限.62ppt课件,例8,解,63,ppt课件,例8解63ppt课件,例9,解,左右极限存在且相等,64,ppt课件,例9解左右极限存在且相等,64ppt课件,说明：,1 什么情况下，需要分别求左右极限,（）求分段函数连接点处的极限,（）,被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等,.下列几个极限不存在,65,ppt课件,说明：1 什么情况下，需要分别求左右极限（）求分段函数连,一个重要的结论,则有,例题,练习：P1920 1,66,ppt课件,一个重要的结论则有例题练习：P1920 166p,5、判定极限存在的准则,(夹逼准则),67,ppt课件,5、判定极限存在的准则(夹逼准则)67ppt课件,(1),(2),6、两个重要极限,68,ppt课件,(1)(2)6、两个重要极限68ppt课件,=0,注意：,(1),69,ppt课件,=0注意：(1)69ppt课件,例1,解,1,cos,lim,0,此题中用到,x,x,=,例2,解,70,ppt课件,例1解1coslim0此题中用到 xx=例2解70ppt课,例3,解,71,ppt课件,例3解71ppt课件,练习：,解答：,72,ppt课件,练习：解答：72ppt课件,(2),注意：,73,ppt课件,(2)注意：73ppt课件,例4,解,练习：,或,74,ppt课件,例4解练习：或74ppt课件,例题,75,ppt课件,例题75ppt课件,例5,解,76,ppt课件,例5解76ppt课件,定义:,7、无穷小的比较,77,ppt课件,定义:7、无穷小的比较77ppt课件,定理(等价无穷小替换定理),8、等价无穷小的性质,78,ppt课件,定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质78ppt课件,几个重要的等价无穷小：,当,时，,79,ppt课件,几个重要的等价无穷小：当时，79ppt课件,例,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,80,ppt课件,例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换,例,解,解,错,81,ppt课件,例解解错81ppt课件,左右连续,在区间a,b,上连续,连续函数,的 性 质,初等函数,的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的,充要条件,连续函数的,运算性质,非初等函数,的连续性,振荡间断点,无穷间断点,跳跃间断点,可去间断点,第一类,第二类,82,ppt课件,左右连续在区间a,b连续函数初等函数间断点定义连 续,1、连续的定义,83,ppt课件,1、连续的定义83ppt课件,从而，,则一定满足以下条件,84,ppt课件,从而，则一定满足以下条件84ppt课件,例1,证,由定义2知,85,ppt课件,例1证由定义2知85ppt课件,86,ppt课件,86ppt课件,2.单侧连续,定理,3、连续的充要条件,87,ppt课件,2.单侧连续定理3、连续的充要条件87ppt课件,例2,解,右连续但不左连续,88,ppt课件,例2解右连续但不左连续,88ppt课件,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的,连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,通俗的说即一笔划过,89,ppt课件,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区,5、间断点的定义,90,ppt课件,5、间断点的定义90ppt课件,1.跳跃间断点,例,解,6、间断点的分类,91,ppt课件,1.跳跃间断点例解6、间断点的分类91ppt课件,2.可去间断点,例,92,ppt课件,2.可去间断点例92ppt课件,解,注意,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如上例中,93,ppt课件,解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则,跳跃间断点与可去间断点统称为,第一类间断点,.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,0,y,x,0,y,x,94,ppt课件,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类,3.第二类间断点,例,解,95,ppt课件,3.第二类间断点例解95ppt课件,例,解,96,ppt课件,例解96ppt课件,例,解,函数在,x,=-1,x,=0,x,=1处没有定义,所以,x,=-1,x,=0,x,=1是函数的间断点,所以,x,=,-,1是函数的无穷间断点,所以,x,=0是函数的跳跃间断点,(),(),97,ppt课件,例解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定,所以,x,=1是函数的可去间断点,(),98,ppt课件,所以x=1是函数的可去间断点()98ppt课件,解,分界点为,x,=1,x,=2,（i）当,x,=1时,所以,x,=1 是函数的跳跃间断点,练习,：考察函数,99,ppt课件,解分界点为 x=1,x=2（i）当 x=1时 所以 x=,（ii）讨论,x,=2,而,f,(2)=5,所以,x,=2是函数的连续的点,因此,分段函数的分界点是可能间断点,100,ppt课件,（ii）讨论 x=2 而f(2)=5 所以x=2是函数的,例,解,101,ppt课件,例解101ppt课件,7、闭区间的连续性,8、连续性的运算性质,定理,102,ppt课件,7、闭区间的连续性8、连续性的运算性质定理102ppt课件,定理,9、初等函数的连续性,定理,103,ppt课件,定理9、初等函数的连续性定理103ppt课件,定理,基本初等函数在定义域内是连续的.,定理,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,10、闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,104,ppt课件,定理 基本初等函数在定义域内是连续的.定理 一切初等函数,定义:,105,ppt课件,定义:105ppt课件,几何解释:,106,ppt课件,几何解释:106ppt课件,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意,1闭区间；2连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,107,ppt课件,四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意,例1,证,由零点定理,108,ppt课件,例1证由零点定理,108ppt课件,例2,证,由零点定理,109,ppt课件,例2证由零点定理,109ppt课件,补充：已知,，求k的值,解：因为,所以,即,因此,由,110,ppt课件,补充：已知，求k的值解：因为所以即因此由110ppt课件,