3.7：基本不等式的应用(答案版)

3 8 基本不等式的应用 知识点 1 利用均值不等式求最值时 必须同时满足三个条件 一正 二定 三相等 基本不等式的应用 最值问题 1 由基本不等式导出的几个结论 2 2 222 1 ababRababab 反 向 不 等 式 由 两 边 同 加 上得 开 方 即 得 R 由 两 边 平 方 即 得 2 利用 2 230 1ababba a 一 个 重 要 不 等 式 链 时 基本不等式求最值常用技巧 1 1 的代换 2 折项 3 添项 4 配凑因式 例题 分析下列各题的解题过程 有错误的加以更正 1 求函数 的值域 2sin 0 yxx 2 求 的最大值21x 3 已知 求 的最小值3a 43a 22 1 sinsinyxx 解 2 函 数 的 值 域 为 解析 1 此解答过程错误 错在忽视了应用基本不等式求最值时 等号成立的条件 正解 但 时 不符合正弦函数值域02x 0si1x sinxsinx 要求 故这里不符合基本不等式成立的条件 因此取不到最小值 22sin01 0 1 32 uxuyuy 令 可 利 用 在 上 是 减 函 数 得 出 此函数值域为 3 2 2 1yx 令 222 1 1 xyx 则2 等 号 在 即 时 成 立 所 求 最 大 值 为2 01 xyxx 此 解 答 过 程 错 误 当 时 忽 视 了 对 符 号 关 注 222 2 1 101 1xx 正 解 由 知 当 时 200 xx 等 号 在 即 时 成 立 当 时 200 x 当 时 21 x 的 最 大 值 为 4 3 0 3 aa 423 a 当 8 即 时 取 最 小 值 3 此解答过程错误 它没有找出定值条件 只是形式的套用公式 30a 正 解 444 32 37aa 435aa 等 号 在 即 时 成 立 变式 1 已知正数 x y 满足 求 的最小值 1y xy 分析 灵活应用 1 的代换 在不等式解题过程中 常常将不等式 乘以 1 除以 1 或将不等式中的某个常数用等于 1 的式子代替 本例中可将分子中的 1 用 代替 2xy 也可以将式子 乘以 1xy 2y1 解 为 正 数 且1 2 32yxxy 21x 当 且 仅 当 即 当 时 等 号 成 立 132xy 的 最 小 值 为 点评 1 本题若由 得yx 12y 则是错误的 因为此时等号取不到 前一个不等124xyxy 12xyxy 式 成 立 的 条 件 是 后 一 个 不 等 式 则 是 在 时 成 立 2 21xy 也 可 以 直 接 将 的 分 子 代 换 为 和 乘 以 是 相 同 的 变式 2 已知 且 求 的最小值 0 xy 19xy xy 分析 要求 的最小值 根据极值定理 应构建某个积为定值 这需要对条件进行 必要的变形 考虑条件式可进行 1 的代换 也可以 消元 等 19 xy 解 析 解 法 一 的 代 换 0 xy 9026 yxyo 3xy 当 且 仅 当 即 时 取 等 号 194126 xy 又 xy 当 时 取 最 小 值 9 1 9yxxy 解 法 二 消 元 法 由 得0 xy 91 10 9yy y 92 6 9y 124x 当 且 仅 当 即 时 取 等 号 此 时 4126 xyxy 当 时 取 最 小 值 9 19xy 解 法 三 配 凑 法 由 得 1 xy 0 9 102 916 xyxy 19xy 当 且 仅 当 时 取 等 号 19412 xyxy 又 6 当 时 取 最 小 值 点评 本题给出了三种解法 都用到了基本不等式 且都对式子进行了变形 配凑出基 本不等式满足的条件 这是经常使用的方法 要学会观察学会变形 另外解法二通过消元 化二元问题为一元问题 要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制 消去 x 后 原来 x 的限制条件 应当由代替它的 y 来 接班 此限制条件不会因 消 元 而凭空消失 变式 3 的值域为 24 1 xy 25 分析 分子是 x 的二次式 分母是一次式 适当将分子变形可化为 的表达式或由分1x 母构造平方差 则可化为 积为定值 的和式 224 1 5xyx 解 析 51 0 51xx 等 号 在 即 时 成 立 2 函 数 的 值 域 为 变式 4 若 求 的最小值 1x 21xy 0 解 析 2 1yx 42 02 1xxy 当 且 仅 当 即 时 函 数 取 最 小 值 变式 5 1 在面积为定值的扇形中 半径是多少时 扇形的周长最小 2 在周长为定值的扇形中 半径是多少时 扇形的面积最大 21 rslslrlr 解 析 设 扇 形 中 心 角 为 半 径 面 积 弧 长 则 2 1 ssr 为 定 值 则 24 splrr 扇 形 周 长 sr 等 号 在 即 时 成 立 半 径 是 时 扇 形 周 长 最 小 22 12 16prppsrrr 面 积 22 rpsrprr 面 积 变式 6 随着经济建设步伐的加快 汽车已步入家庭 公路上交通日益繁忙 为确保交 通安全 交通部门规定 某事故易发地段内的车距 正比于车速 平方与车身长 dm vkh 的积 且比例系数为 那么在交通繁忙时 该如何规定车速 才能保证此地段 sm1250 通过的车流量 Q 最大 单 位 时 间解 析 根 据 车 流 量 每 辆 车 经 过 所 需 时 间21010250 55vds ssvv 有 20kmh当 且 仅 当 即 时 等 号 成 立 0 在 交 通 繁 忙 时 应 规 定 车 速 为 才 能 保 证 此 地 段 的 车 流 量 最 大 变式 7 设 且 恒成立 则 m 的取值范围是 abc 1abca 4 00 分 析 由 知 mc因 此 不 等 式 等 价 于 acmb 要 使 原 不 等 式 恒 成 立 只 需 的 最 小 值 不 小 于 即 可 ac bcb 解 析 224 cab cab 当 且 仅 当 即 时 等 号 成 立 4 4 m 即 1 1 2 00 1 1 acmacbcbabccxycmabacxyxy 点 评 分 离 以 后 注 意 到 是 求 解 的 最 小 值 的关 键 注 意 到 及 式 子 中 分 母 都 是 多 项 式 略 嫌 复 杂 可 换元 简 化 令 则 恒 成 立 即 恒 成 立 即 恒 成 立 224 4yxxy xyabcacbm 等 号 在 即 也 就 是 时 成 立时 原 表 达 式 恒 成 立 这 样 我 们 通 过 换 元 简 化 了 表 达 式 暴 露 了 条 件 式 的 实 质 拓 展 了 解 题 的 思路 要 认 真 体 会 变式 8 3602 0 21 A xyxy zaxbyab 设 满 足 约 束 条 件 若 目 标 函 数 的 最大 值 为 则 的 最 小 值 为 A B C D 4568313 0 20360 4 6 0 1 axbyzbxyxy a 解 析 作 出 平 面 区 域 如 图 阴 影 部 分 所 示 当 直 线 过直 线 与 直 线 的 交 点 时 目 标 函 数 取 得 最 大 值 231132546 6abaababb 即 而 A 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 故 选 变式 9 求 的最值 225 log 01 lfxxx 2 225 l log2 l lf 错 解 5fx 有 最 小 值 无 最 大 值 辨 析 错 误 的 原 因 是 忽 视 了 各 项 必 须 全 为 正 数 的 条 件 201log0 xx 正 解 22log0lxx 2 22 255 l log l lx 225 log lx 即 22log lx 25 logf x 21l l 当 且 仅 当 即 时 等 号 成 立 25 maxf 若 则代数式 的大小关系是 abR 2ab 与 2b 若 则代数式 有何大小关系 与 知识点 2 基本不等式的应用 最值问题 1 算术平均数与几何平均数 设 a b 是任意两个正数 把 叫做正数 a b 的算术平均数 把 叫2ab ab 做正数 a b 的几何平均数 2 基本不等式 如果 a b 是正数 那么 当且仅当 时 等号成立 ab 2b ab 例题 20 1 abbab 若 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 恒 成 立 的 是 写 出 所 有 正 确 命 题 的 序 号 2 1 a 解 析 对 于 故 成 立 22bbab 对 于 故 不 成 立 22 414aaab 对 于 由 知 即 故 成 立 基本不等式的应用 最值问题 3 极值定理 1 两个正数的和为常数时 它们的积有最大值 20 4MababMabab 若 且 为 常 数 则 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 max 简 述 为 当 为 常 数 时 2 两个正数的积为常数时 它们的和有最小值 0 2abaPbPab 若 且 为 常 数 则 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 min 简 述 为 当 为 常 数 时 破疑点 1 在利用基本不等式求最值时 必须满足三个条件 各项均为正数 含 变数的各项的和 或积 必须是常数 当含变数的各项均相等时取得最值 三个条件可简 记为 一正 二定 三相等 这三个条件极易遗漏而导致解题失识 应引起足够的重视 2 记忆口决 和定积最大 积定和最小 例题 已知 0 xy 1 若 求 的最大值 25 lguxy 2 若 求 的最小值 lgxy52 1 0 xy 解 析 25210 xyxy 由 基 本 不 等 式 得 250y 又 20110 xy 5 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 25 02xyxy 由 解 得 510 lgl lg10 uxyx 当 时 有 最 大 值 这 样2 maxxyu 当 时 10 由 已 知 得 3522 xyx 10210yx 当 且 仅 当 即 当 5105210 y y 时 等 号 成 立 所 以 的 最 小 值 为 变式 1 A 1740 0 C nnnnabababab 在 公 差 不 为 的 等 差 数 列 与 等 比 数 列 中 则与 的 大 小 关 系 为 B 4 C D 4ab 4ab与 的 大 小 关 系 不 确 定 分析 观察已知条件与待比较大小的数列项的下标 可以发现 1 4 7 成等差 从而问 题即转化为比较两个正数的等差中项与等比中项的大小 17174 174 2abbC 解 析 故 选 变式 2 设 且 则必有 B abR 2a A B 21 21ab C D 21ab 21ab 2 解 析 2 4ab 1 2 2 4abab 又 由 得 21 点评 关于不等式恒成立的选择题常用特值检验法求解 本题中令 则13ab 22351 abab 变式 3 已知 求函数 的最大值 03x 13 yx 分析 求函数的最大值 由极值定理可知条件式为积式 需构造某个和为定值 可考虑 把括号内外 x 的系数变成互为相反数即可 1030 x 解 析 21 3 1 3 xyx 16x 当 且 仅 当 即 时 等 号 成 立 1 62x 当 时 函 数 取 最 大 值 点评 1 本小题也可以将解析式展开 使用二次函数配方法求解 2 若使用基本不等 式求积的最大值 关键是构造某个和为定值 为使用基本不等式创造条件 同时要注意等 号成立的条件是否具备 只要将 x 的系数调整为互为相反数即可使其和为定值