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【title】 Act3Cramers Rule【Content Arrangement】: 1)Cramers Rule2)Some methods to compute determinant Act3-1 Some methods to compute the determinant(行列式的特殊解法)【Content Arrangement】: 1、化为三角形 2、降阶法 3、Vandermonde 4、递推法 *5、拆项法 *6、析因子法 *7、拉普拉斯定理的特例1 化为三角形(加边法)例1:2、降阶法 例: 解 : 请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时,D的值?(不要套公式) 3Vandermonde 例: Vandermonde行列式 证明 用数学归纳法。 当 n=2时, 成立。 假设该结论对n-1阶成立,现证明 n阶也成立。 在 中,第n行减去n-1行的 倍,n-1行减去 n-2行的倍,依次类推,得 4。递推法: 例:解:按第一列展开,得: 而: 。故 5、拆项法:例:计算行列式解:6、析因子法:例: 解:很明显, =1,2,3, 都使得 =0,而是的次多项式,首项系数为1。 且 , , 为互质多项式,故 , , | 7拉普拉斯定理的两个特例 Act3-2 Cramers RuleNow we will discuss the system of n linear equations in n unknowns.Theorem1: The system of linear equations (1)The determinantis called the coefficient determinant of the system.If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas.(2)whereis the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,.,bn.Proof: 首先证明(2)是方程组的解。为此把 (i=1,2,n)代入方程组的第k个方程左端得, 由行列式性质7、8有, 下证解的唯一性: 设有另解 , 只须证 同理可得,证毕。本定理适用条件: 1、n个未知数,n个方程得方程组; 2、系数行列式D不为零; 3、若D=0,方程组可能无解或有无穷解。Definition: If b1=0,.,bn=0, we call the system homogeneous. trivial solution: ( ) Corollary1: A homogeneous system of n linear equations in n unknowns with nonvanishing determinant has only the trivial solution.Corollary2: If a homogeneous system of n linear equations in n unknowns has nontrivial solution, then D= 0.Example1:Solve the following system of linear equations . Solve:系数行列式为: 解的分子行列式为: 所以解为: Example2:Solve the following system Solve: 系数行列式为:所以方程组只有零解,即 x=0,y=0,z=0【随堂练习】1.方程组 有非零解, 。Answer: 2.设多项式 ,证明:若有 个互异零点,则恒等于零。Proof:设 的 个互异的零点为 ,则有 ,即 这可视为以 为未知量的齐次线性方程组,其系数行列式为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故于是由Cramer法则上述方程组只有零解,即 也即.【Homework】1-2 8(1)(3),9(2),10 1-3 1
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