第10讲数阵图(二)

word第10讲 数阵图和幻方二幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题。传说公元前二千多年，在大禹治水的时候，在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，如图1，后来人们把它称之为“洛书、相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图，实际上它是由九个数字排成一定的格式如图2，图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。一般地，在nnn行n列的方格，不重不漏填上nn个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，如此称它为n阶幻方。这个和叫做幻和，n叫做阶。幻方又叫魔方，九宫算或纵横图。魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方或“魔方。九宫算：所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格。每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和叫行和，三纵列中每一纵列三个数的和叫列和，两条对角线中每一条对角线上三个数的和叫对角和都相相等，这样得到的图就叫九宫算图。纵横图：长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。辉在他的续古摘奇算法一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的局部纵横图还给出了如何构造的规如此和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。定中间数，填四角数，算其余数三阶幻方：就是将九个连续自然数填入33三行三列的方格，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方。奇数阶幻方：“罗伯法“楼贝法西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。十七世纪，法E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣，他专门派De La Loubere楼贝出使泰国1687-1688，Loubere：将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。扬辉方法：扬辉在续古摘奇算法中，写到“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数三阶幻方一幅，四四图四阶幻方两幅，五五图五阶幻方两幅，六六图六阶幻方两幅，七七图七阶幻方两幅，六十四图八阶幻方两幅，九九图九阶幻方一幅，百子图十阶幻方一幅参见图1-9-3。其中还给出了“洛书数和“四四阴图的构造方法。如“洛书数的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。但可惜的是，辉只停留在个别纵横图的构造上，没有上升成一般的理论。他所造出的百子图，虽然每一行和，每一列都等于1+2+3+97+98+99+100=505，但两对角和不是等于505，直到我国清代的潮165？费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是505的百子图。偶数阶幻方：对称交换的方法。1、 将数依次填入方格中，对角线满足要求。2、 调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调。3、 调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。数阵图：把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。1、封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进展拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。162、辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的假如干个自然数之和，确定边上其他的数。19和相等3、复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。17，和相等典型举例1将18这八个数分别填入右图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为212-(1+2+8)=6。在的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左如下图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右如下图的填法。练习11、 把16六个数字填入如下图，使每个大圆上四个数字之和都是16。2、 把2、4、6、8、10、12、14、16这八个数分别填入如下图，使每个大圆五个数的和都是44。典型举例2将16这六个自然数分别填入右图的六个，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。解：此题有三个重叠数，即三角形三个顶点的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于113-(1+2+6)=12。16中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左如下图的填法。容易发现，所填数不是16，不合题意。同理，三个重叠数也不能是3，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。练习2将38这六个数分别填入如下图中，使得每条边上的三数之和都是15。典型举例3将16这六个自然数分别填入如下图的六个中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。解：与典型举例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+6)+重叠数之和=每边三数之和3，得到每边的三数之和等于(1+2+6)+重叠数之和3=(21+重叠数之和)3=7+重叠数之和3。因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是16中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。与例2的方法类似，可得如下图的四种填法：每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12典型举例4将29这八个数分别填入右图的里，使每条边上的三个数之和都等于18。解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于184-(2+3+9)=28。而在的八个数中，四数之和为28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左如下图所示的重叠数的两种填法：“试填的结果，只有右上图的填法符合题意。说明：以上例题都是封闭型数阵图。一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如如下图的图形称为封闭型m-n图。与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以各数之和+重叠数之和=每边各数之和边数。由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数进展分析，就能解决很多数阵问题。练习41、 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下面的图里，使得每条边上的三个数之和是12。2、将29这八个数填入如下图，使每条边上的三个数的和都等于16。典型举例5把17分别填入左如下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。解：这道题的“重叠数很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有(1+2+7)+a+a+b+c+d=133，即 a+a+b+c+d=11。因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。练习5在下面圆圈的空白处填入7、8、10、12，使每个院的四个数的和都相等。641典型举例6把19这九个数填入如下图的方格中 ，并使每一行、每一列和对角线上的数的和都相等解：方法一：1先填中心数，把19按从小到大顺序排成一排，第五个数填在中心格。2将剩下的八个数排成两排，第一排为1、2、3、4、第二排为8、7、6、5即 1 2 3 48 7 6 53根据两排数字填上四个角，四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数，这两列数字按对角填。4用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。方法二：（1） 将这9个数字按照如下方式排列： 12 4 3 5 76 89（2） 上下两个数互换：92 4 3 5 76 813左右两个数互换：92 4 7 5 36 814填入表格即可。练习61、将2028填入九宫格中，使每行、每列、两条对角线的和相等。1、将1725填入九宫格中，使之成为一个三阶幻方。A根底训练1.把18填入下页左上图的八个里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。2.把16这六个数填入右上图的里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。3.将18填入左如下图的八个中，使得每条边上的三个数之和都等于15。4.将18填入右上图的八个中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。5.将17填入右图的七个，使得每条直线上的各数之和都相等。6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆的四个数之和都等于34。答案与提示练习17每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13每个圆周的四数之和=14每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=163.提示：四个顶点数之和为154(128)=24，四个顶点数有3，6，7，8和4，5，7，8两种可能。经试验只有左如下图一个解。4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于(128)718。填法见右上图。(填法不唯一)5.提示：顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次。(127)2顶上数=每条线上的和5，56顶上数=每条线上的和5。由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数=4。所以每条线上的三个数之和为(564)512。经试验填法如上图。(填法不唯一)例5类似(见上图)。B冲刺夺冠1. 把18这8个数,分别填入图中的方格(每个数必须用一次),使“十一三笔中每三个方格数的和都相等.2. 把111这11个数分别填入如如下图11个,使每条虚线上三个数的和相等,一共有几种不同的和?3. 在如下图中的几个圈各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么( ).17134. 在图的每个圆圈填上适当的质数(不得重复),使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数.5. 图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2七个数,使每圆的和都等于15.1066. 10个连续的自然数中第三个的数是9,把这10个数填入图中的10个方格,每格填一个数,要求图中3个22的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是_.7. 将110这十个数分别填入如下图中的十个,使每条线段上四个数的和相等,每个三角形三个顶点上数的和也相等.8. 把116这16个数,填入图中的16个,使五个正方形的四个顶点上数的和相等.9. 将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.9020365010. 在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.11. 在图中分别填入,和,使每横行,每竖列,每斜行的三个分数之和都相等.12. 把112这十二个数,填入如下图中的12个,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.13. 将15这五个数填入如下图中,使每行和每列的3个数的和相等.14. 将19这九个数分别填入图中,使每条线段三个数相等.答 案38246571 1. 1011456713829 2. 75131517911 3. 535967737983899143372923171375 2 4. 1036465729 5. 6. 24.10216945783 7. 等:162310912115871441156138. 481113122569710 9. 90201365018210510. 11. 12. 11258103762491113. 1532414. 47138295616 / 16