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9.4直线与圆、圆与圆的位置关系基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识基础知识自主学习自主学习1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系. 相交； 相切； 相离.知识梳理(2)代数法：dr相交相切相离2.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2 (r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2 (r20). 方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离_外切_dr1r2无解dr1r2一组实数解相交_内切_(r1r2)_内含_(r1r2)_|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|两组不同的实数解一组实数解无解知识拓展知识拓展1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.思考辨析思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(4)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0 xy0yr2.()(5)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0 xy0yr2.()考点自测1.(2017南京月考)直线xay10与圆x2(y1)24的位置关系是_.答案解析相交直线xay10必过定点(1,0)，因为(1)2(01)21，而圆心O到直线axby1的距离所以直线与圆相交.(2)(2016南京月考)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为_.答案解析相交直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d ，由勾股定理得 a2，解得a2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，M(0,2)，r12.MN ，r1r23，r1r21.r1r2MNr1r2，两圆相交.(2)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_.圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.答案解析依题意得0 22，0|a| .a( ，0)(0, ).判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|.(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论.思维升华跟踪训练跟踪训练2已知两圆x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.(1)m取何值时两圆外切；解答两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 和 .当两圆外切时，解得m25 .(2)m取何值时两圆内切；解答当两圆内切时，因为定圆的半径 小于两圆圆心间距离5，故只有 5，解得m25 .(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解答两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，即4x3y230，所以公共弦长为题型三直线与圆的综合问题题型三直线与圆的综合问题命题点命题点1求弦长问题求弦长问题例例3(2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m 0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB ，则CD_.4答案解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R ，AB ，所以OM3，解得m ，解得A(3， )，B(0， )，则AC的直线方程为y (x3)，BD的直线方程为y ，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以CD4.命题点命题点2直线与圆相交求参数范围直线与圆相交求参数范围例例4(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；解答由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以 1.解得 k .所以k的取值范围为 .(2)若 12，其中O为坐标原点，求MN.解答设M(x1，y1)，N(x2，y2).将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2 ，x1x2 . x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1 8.由题设可得 812，解得k1，故圆心C在l上，所以MN2.所以l的方程为yx1.命题点命题点3直线与圆相切的问题直线与圆相切的问题例例5已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线l1：xy40平行；解答设切线方程为xyb0，切线方程为xy1 0.(2)与直线l2：x2y40垂直；解答设切线方程为2xym0，切线方程为2xy 0.过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.解答(3)过切点A(4，1).直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.思维升华跟踪训练跟踪训练3(1)(2015课标全国改编)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则MN_.答案解析由已知，得 (3，1)， (3，9)，则 3(3)(1)(9)0，所以 ，即ABBC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，令x0，得(y2)224，得其方程为(x1)2(y2)225，解得y12 ，y22 ，所以MN|y1y2| .(2)若直线xcos ysin 10与圆(x1)2(ysin )2 相切，且为锐角，则该直线的斜率是_.答案解析依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即|cos sin21| ，|cos cos2| ，所以cos cos2 或cos cos2 (不符合题意，舍去).由cos cos2 ，得cos ， 又为锐角，所以sin ，故该直线的斜率是 .考点分析考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.高考中与圆交汇问题的求解高频小考点高频小考点7一、与圆有关的最值问题一、与圆有关的最值问题典例典例1(1)(2015湖南改编)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则 的最大值为_.7答案解析A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，故 (4,0)，设B(x，y)，则x2y21且x1,1， (x2，y)， (x6，y).当x1时有最大值 7.(2)过点( ，0)引直线l与曲线y 相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_.答案解析SAOB OAOBsinAOB sinAOB .当AOB 时，AOB面积最大.此时O到AB的距离d .即kxy 0.设AB方程为yk(x )(k0)，由d ，得k . (或ktanOPH ).二、直线与圆的综合问题二、直线与圆的综合问题典例典例2(1)(2015重庆改编)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB_.答案解析6由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，圆心C(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1).AC236440.又r2，AB240436，AB6.(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_.答案解析AOB90，点O在圆C上.设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为OD.又OD ，圆C的最小半径为 ，圆C面积的最小值为课时作业课时作业1.(2016广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有_条.答案解析3如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).12345678910111213圆C2的标准方程为(x3)2(y4)225m.又圆C1：x2y21，C1C25.又两圆外切，51 ，解得m9.2.若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m_.答案解析9123456789101112133.(2016镇江模拟)已知集合M(x，y)|x3yx1，NP|PA ，A(1,0)，B(1,0)，则表示MN的图形面积等于_.答案解析12345678910111213令P(x，y)，所以(x1)2y22(x1)2y2，所以x26xy210，所以(x3)2y28，所以点P的轨迹为以(3,0)为圆心的圆及圆的内部.表示MN的图形如图中阴影部分所示，由于直线yx3过圆心(3,0)，圆心(3,0)到直线yx1的距离为 ，直线yx1与圆的两个交点所对的圆心角为 ，所以阴影部分面积为123456789101112134.(2016泰州模拟)过点P(3,1)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_.答案解析2xy30如图所示：由题意知：ABPC，kPC ，kAB2，直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.123456789101112135.若直线l：ykx1(k0)与圆C：x24xy22y30相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是_.答案解析相交因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2,1)，半径为 ，因为直线l与圆C相切.所以 ，解得k1，因为k0，N(x，y)|(x1)2(y )2a2，a0，且MN ，求a的最大值和最小值.解答12345678910111213M(x，y)|y ，a0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原点O为圆心，半径等于 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).N(x，y)|(x1)2(y )2a2，a0，表示以O(1， )为圆心，半径等于a的一个圆.再由MN ，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切.当半圆和圆相外切时，由OO2 a，得a 2；当半圆和圆相内切时，由OO2 a，得a 2，故a的取值范围是 ，即a的最大值为 2，最小值为 2.12345678910111213*13.(2016湖南六校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程；解答设圆心C(a,0)(a )，则 2a0或a5(舍).所以圆C的方程为x2y24.12345678910111213(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.解答12345678910111213当直线ABx轴时，x轴平分ANB.设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(k21)x22k2xk240，当直线AB的斜率存在时，所以x1x2 ，x1x2 . 若x轴平分ANB，则kANkBN 02x1x2(t1)(x1x2)2t0 2t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立.12345678910111213
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