高考数学理科一轮【学案43】空间的平行关系含答案

高考数学精品复习资料 2019.5学案43空间的平行关系导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系自主梳理1直线a和平面的位置关系有_、_、_，其中_与_统称直线在平面外2直线和平面平行的判定：(1)定义：直线和平面没有_，则称直线和平面平行(2)判定定理：a，b，且ab_；(3)其他判定方法：，a_.3直线和平面平行的性质定理：a，a，l_.4两个平面的位置关系有_、_.5两个平面平行的判定：(1)定义：两个平面没有_，称这两个平面平行；(2)判定定理：a，b，abP，a，b；(3)推论：abP，a，b，abP，a，b，aa，bb_.6两个平面平行的性质定理：，a_；，a，b_.7与垂直相关的平行的判定：(1)a，b_；(2)a，a_.自我检测1(20xx湖南四县调研)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，a，b，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b2(20xx烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()Al BlCl与相交但不垂直 Dl或l3下列各命题中：平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；垂直于同一直线的两个平面平行不正确的命题个数是()A1 B2 C3 D44经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作()A0个 B1个C0个或1个 D1个或2个5(20xx南京模拟)在四面体ABCD中，M、N分别是ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.探究点一线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且APDQ.求证：PQ平面CBE.变式迁移1(20xx长沙调研)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN平面PAD.探究点二面面平行的判定例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.变式迁移2已知P为ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是PAB、PCB、PAC的重心(1)求证：平面G1G2G3平面ABC；(2)求SG1G2G3SABC.探究点三平行中的探索性问题例3(20xx惠州月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，CDAB，ADAB，ADDCAB，BCPC.(1)求证：PABC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM平面PAD，并说明理由变式迁移3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?转化与化归思想综合应用例(12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点(1)求证：BPAC；(2)当点P落在什么位置时，AP平面SMC?(3)求三棱锥BNMC的体积多角度审题第(1)问的关键是根据三视图得到SD平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P是SD的中点，二是从结论“AP平行于平面SMC”出发找P满足的条件【答题模板】(1)证明连接BD，ABCD为正方形，BDAC，又SD底面ABCD，SDAC，BDSDD，AC平面SDB，BP平面SDB，ACBP，即BPAC.4分(2)解取SD的中点P，连接PN，AP，MN.则PNDC且PNDC.6分底面ABCD为正方形，AMDC且AMDC，四边形AMNP为平行四边形，APMN.又AP平面SMC，MN平面SMC，AP平面SMC.8分(3)解VBNMCVNMBCSMBCSDBCMBSD12.12分【突破思维障碍】1本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向2线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a，a.3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(20xx开封月考)下列命题中真命题的个数为()直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线A.1 B2 C3 D42.已知直线a、b、c和平面m，则直线a直线b的一个必要不充分的条件是()A.am且bm Bam且bmC.ac且bc Da，b与m所成的角相等3.在空间中，下列命题正确的是()A.若a，ba，则bB.若a，b，a，b，则C.若，b，则bD.若，a，则a4.设l1、l2是两条直线，、是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是()若l1，l2A，则l1与l2必为异面直线；若l1，l2l1，则l2；若l1，l2，l1，l2，则；若，l1，则l1.A.0 B1 C2 D35.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有()A.1对 B2对C.无数对 D1或2对二、填空题(每小题4分，共12分)6.(20xx秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号),7.(20xx大连模拟)过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有_条8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.三、解答题(共38分)9(12分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点求证：MN平面AA1C1C.10(12分)(20xx湖南改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论11(14分)(20xx济宁模拟)如图，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE，AEEBBC2，BF平面ACE，且点F在CE上(1)求证：AEBE；(2)求三棱锥DAEC的体积；(3)设点M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.学案43空间的平行关系自主梳理1平行相交在平面内平行相交2.(1)公共点(2)a(3)a3.al4.平行相交5.(1)公共点(3)6.aab7.(1)ab(2)自我检测1D2.D3.A4.C5面ABC和面ABD课堂活动区例1解题导引证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化证明如图所示，作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN.矩形ABCD和矩形ABEF全等且有公共边AB，AEBD.又APDQ，PEQB，又PMABQN，.PM綊QN，四边形PQNM为平行四边形，PQMN又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.变式迁移1证明取PD中点F，连接AF、NF、NM.M、N分别为AB、PC的中点，NF綊CD，AM綊CD，AM綊NF.四边形AMNF为平行四边形，MNAF.又AF平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.例2解题导引面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化证明方法一如图所示，连接B1D1、B1C.P、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN面A1BD，PN平面A1BD.同理MN平面A1BD.又PNMNN，平面MNP平面A1BD.方法二如图所示，连接AC1、AC.ABCDA1B1C1D1为正方体，ACBD.又CC1面ABCD，BD面ABCD，CC1BD，BD面ACC1，又AC1面ACC1，AC1BD.同理可证AC1A1B，AC1平面A1BD.同理可证AC1平面PMN，平面PMN平面A1BD.变式迁移2(1)证明如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1PD23，PG2PE23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内，DE在平面ABC内，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3G2，平面G1G2G3平面ABC.(2)解由(1)知，G1G2DE.又DEAC，G1G2AC.同理G2G3AB，G1G3BC.G1G2G3CAB，其相似比为13，SG1G2G3SABC19.例3解题导引近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明(1)证明连接AC，过点C作CEAB，垂足为E.在四边形ABCD中，ADAB，CDAB，ADDC，四边形ADCE为正方形ACDACE45.AECDAB，BEAECE.BCE45.ACBACEBCE454590.ACBC.又BCPC，AC平面PAC，PC平面PAC，ACPCC，BC平面PAC.PA平面PAC，PABC.(2)解当M为PB的中点时，CM平面PAD.取AP的中点F，连接CM，FM，DF.则FM綊AB.CDAB，CDAB，FM綊CD.四边形CDFM为平行四边形CMDF.DF平面PAD，CM平面PAD，CM平面PAD.变式迁移3解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O为DD1、DB的中点，D1BPO.又POPAP，D1BQBB，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO.课后练习区1A、错，对2D注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件3DA不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则、未必平行；C不正确，因有可能b；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确4A错，l1，l2A，l1与l2可能相交错，l2有可能在平面内错，有可能与相交错，l1有可能与平面相交或平行或在平面内5A如图，a，b为异面直线，过b上一点作aa，直线a，b确定一个平面，过a上一点作bb，b与b确定一个平面，则.因为，是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对6解析面AB面MNP，AB面MNP，过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O，NO面MNP，AB与面MNP不平行易知ABMP，AB面MNP；过点P作PCAB，PC面MNP，AB与面MNP不平行7.6解析如图，EFE1F1AB，EE1FF1BB1，F1EA1D，E1FB1D，EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F都平行于平面ABB1A1，共6条8.a解析如图所示，连接AC，易知MN平面ABCD，又PQ为平面ABCD与平面MNQP的交线，MNPQ.又MNAC，PQAC，又AP，PQACa.9证明设A1C1中点为F，连接NF，FC，N为A1B1中点，NFB1C1，且NFB1C1，又由棱柱性质知B1C1綊BC，(4分)又M是BC的中点，NF綊MC，四边形NFCM为平行四边形MNCF，(8分)又CF平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，MN平面AA1C1C.(12分)10解在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG平面A1BE.(6分)因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.(12分)11(1)证明由AD平面ABE及ADBC，得BC平面ABE，BCAE，(1分)而BF平面ACE，所以BFAE，(2分)又BCBFB，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，故AEBE.(4分)(2)解在ABE中，过点E作EHAB于点H，则EH平面ACD.由已知及(1)得EHAB，SADC2.(6分)故VDAECVEADC2.(8分)(3)解在ABE中，过点M作MGAE交BE于点G，在BEC中过点G作GNBC交EC于点N，连接MN，则由，得CNCE.由MGAE，AE平面ADE，MG平面ADE，则MG平面ADE.(10分)再由GNBC，BCAD，AD平面ADE，GN平面ADE，得GN平面ADE，所以平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，则MN平面ADE.(12分)故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，MN平面ADE.(14分)