工程经济学 第二章3,4

2.1 一次支付一次支付终值公式终值公式niPF1ni1niPF,/称为一次支付终值系数，记为称为一次支付终值系数，记为 0 1 2 3 n 1 n F=？P (已知）已知） i),/()1 ()1 (1niFPFiFiFPnn 0 1 2 3 n 1 n F (已知）已知）P =？ 2.2 一次支付一次支付现值公式现值公式ini1niFP,/称为一次支付现值系数，记为称为一次支付现值系数，记为),/(1)1 (niAFAiiAFn 0 1 2 3 n 1 n F =？ A (已知）已知）2.3 等额支付等额支付年金终值公式年金终值公式iiin1)1(niAF,/称为等额支付现值系数，记为称为等额支付现值系数，记为),/(1)1 (niFAFiiFAn 0 1 2 3 n 1 n F (已知已知） A =？2.4 等额支付等额支付积累基金公式积累基金公式i1)1(niiniFA,/称为等额支付累积基金系数，记为称为等额支付累积基金系数，记为),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnn0 1 2 3 n 1 n P(已知）已知） A =？2.5 等额支付等额支付资金回收公式资金回收公式i1)1()1(nniiiniPA,/称为等额支付资金回收系数，记为称为等额支付资金回收系数，记为),/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn 0 1 2 3 n 1 n P=？ A (已知）已知） 2.6 等额支付等额支付年金现值公式年金现值公式inniii)1(1)1(niAP,/称为等额支付年金现值系数，记为称为等额支付年金现值系数，记为练习练习v例例1：借款：借款1000元，年利率元，年利率10%,复利计息，复利计息，4年后应还款多少？年后应还款多少？v例例2：某项投资年利率：某项投资年利率12%，5年期，欲年期，欲5年后年后得到本利和得到本利和2万元，现在应投资多少？万元，现在应投资多少？解解例例1： F= P（F/P，i，n）=10001.4641=1464.1元元例例2： P=F （P/F，i，n） =20000 0.5674=11348元元v例例3.某厂为技术改造，每年从利润中提取某厂为技术改造，每年从利润中提取2万元万元建立基金，若年利率建立基金，若年利率8%，5年后该项基金有多年后该项基金有多少？少？v例例4.某公司某公司10年后要偿还债务年后要偿还债务20万元，年利率万元，年利率为为10%，每年应从利润中提取多少钱存入银行？，每年应从利润中提取多少钱存入银行？解解例例3：F=A(F/A,i,n)=20000（F/A，8%，5）=200005.8666=117332元元例例4：A=F A/F,I,n=20 A/F,10%,10 =200.0627=1.254万元万元v例例5：某企业向银行贷款：某企业向银行贷款50000元购买设备，年元购买设备，年利率利率10%，要求在，要求在10年内等额偿还，问每年应年内等额偿还，问每年应偿还多少？偿还多少？解：解： A =P（A/P,i,n）=50000*（A/P,10%,10）v=50000*0.1627=8135元元 例例6 ：一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式是一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式是在今后在今后5年里每年收到年里每年收到12000元，随后又连续元，随后又连续7年每年年每年收到收到6000元，另一种收益方式是将前种收益形式改为元，另一种收益方式是将前种收益形式改为一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要求年收益率一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要求年收益率10，投资者选择后一种方式，即一次性购买专利权，投资者选择后一种方式，即一次性购买专利权的价格为多少？的价格为多少？102536P=?A1 =12000 i=10%1112A2 =6000解：解：P前前5年年= A1(P/A, ,10%, ,5)=45492元元 P后后7年年=A2(P/A, ,10%, ,7)(P/F, ,10%, ,5)=18135元元 P= P前前5年年+P后后7年年=63627 元元六个基本公式及其系数符号六个基本公式及其系数符号FP(1+i）nniFP)1 (1iiAFn1)1 (1)1 (niiFA1)1 ()1 (nniiiPAnniiiAP)1 (1)1 (公式系数公式系数(F/P,i,n)(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/F,i,n)(A/P,i,n)(P/A,i,n)系数符号系数符号公式可记为公式可记为F=P(F/P,i,n)P=F(P/F,i,n)F=A(F/A,i,n)A=F(A/F,i,n)A=P(A/P,i,n)P=A(P/A,i,n)n)i,(F/P,1n)i,(P/F,n)i,(A/P,1n)i,(P/A,n)i,(A/F,1n)i,(F/A,n)i,(F/A,n)i,n)(P/A,i,(F/P,n)i,(F/P,n)i,n)(A/P,i,(F/A,n)i,(A/P,in)i,(A/F,各系数之间的关系倒数关系：乘积关系：特殊关系：PF A0 1 2 3 4 5 6 7 n基本公式相互关系示意图例例1 1: :有如下图示现金流量，解法正确的有有如下图示现金流量，解法正确的有( )( )012345678AF=? A. F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8) B. F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7) C. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2) D. F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2) E. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)例例2：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确的有：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确的有（ ）A（F/A,i,n）= (P/A,i,n)(F/P,i,n) B（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)(F/P,i,n2),其中其中n1+n2=nC（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)(P/F,i,n2),其中其中n1+n2=nD（P/A,i,n）=(P/F,i,n)(A/F,i,n)E 1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)v例例3：浙江某大学毕业生欲回家乡筹办一家澳洲火浙江某大学毕业生欲回家乡筹办一家澳洲火鸡饲养场，第一年投资鸡饲养场，第一年投资 10万元，万元，1年后又投资年后又投资 15万元，万元，2年后再投入年后再投入 20万元，第万元，第3年建成投产。投年建成投产。投资全部由一家银行贷款，年利率为资全部由一家银行贷款，年利率为8。贷款从第。贷款从第三年开始每年年末等额偿还，还款期三年开始每年年末等额偿还，还款期10年。问每年。问每年应至少收益（偿还银行贷款）多少万元？年应至少收益（偿还银行贷款）多少万元？102015A=？年年012312i=8%解：方案投产年年初的总投资额为：解：方案投产年年初的总投资额为： P=10(F/P，8，2)+15(F/P，8，1)+ 20 =101.1664+151.08+20=47.864 万元万元 A=P(A/P, ,8, ,10)=47.8640.1490 =7.13万元万元 102015A=？年年012312i=8%例例4：一对还有一对还有10年就要退休的夫妇，每年将一笔年就要退休的夫妇，每年将一笔款项存入银行欲建立一笔海外旅游基金。该旅游基款项存入银行欲建立一笔海外旅游基金。该旅游基金预计用途是：自第金预计用途是：自第10年年末起，连续年年末起，连续3年各提年各提2万元。如果银行存款利率为万元。如果银行存款利率为8，那么，那么10年中每年年中每年年末应等额存入银行多少元？年末应等额存入银行多少元？01101112289A=?A=2万元万元年年i=8%解：将专用基金折算为第解：将专用基金折算为第10年末的价值：年末的价值： F=20000 + 20000(P/F, ,8, ,1)+ 20000 (P/F, ,8, ,2)=20000+200000.9259 +200000.8573 = 55664 元元 A=F(A/F, ,8, ,10)=556640.06903 = 3842.49 元元 01101112289A=?A=2万元万元年年i=8% 例例5 某投资者某投资者5年前以年前以200万元价格买入一房产，万元价格买入一房产，在过去的在过去的5年内每年获得年净现金收益年内每年获得年净现金收益25万元，现万元，现在该房产能以在该房产能以250万元出售，若投资者要求的年收万元出售，若投资者要求的年收益率为益率为20，问此项投资是否合算，问此项投资是否合算? 0P=2002527512345i=20%单位：万元单位：万元解（解（2）：将收益折算成现值：）：将收益折算成现值： P =25(P/A, ,20, ,5)+250(P/F, ,20, ,5) =175.25(万元万元)获得获得i=20的收益投资的收益投资175.25万即可，因此不合算万即可，因此不合算解（解（1）：）： 投资投资200万元，万元，i=20%时应获收益额：时应获收益额： F =200(F/P, ,20, ,5) = 498(万元万元) 而实际收益：而实际收益： F =25(F/A, ,20, ,5)+250 = 436(万元万元) 投资没有达到投资没有达到20的收益率，故不合算的收益率，故不合算0P=2002527512345i=20%单位：万元单位：万元2.7 等差系列公式等差系列公式均匀增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 nA10 1 2 3 4 5 n1 n（1）（n2）GG0 1 2 3 4 5 n1 n2G3G4G（n1）G（2）图（2）的将来值F2为:1)1 () 1()1 ()2(.)1 (2)1 (232iniiGGniGniGiGFnnnGn), i ,(F/G n), i ,(F/A A11GFFFG),/(niGFGFG等差系列终值系数等差系列终值系数A10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n （3）（n2）GG0 1 2 3 4 5 n1 n2G3G4G（n1）G（2）n), i(A/G, A11GAAAG1)1(11)1(1)1(n), i(A/F,2nnnGGiniGiiiniiGFAn)i,(A/G, GAG等差年金换算系数等差年金换算系数A10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n （3）A=AA=A1 1+A+A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （4） 注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1A2均匀增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 n等差支付现值公式等差支付现值公式P=?P=?nnnnnGGiiniiiGiiniiGFP)1 (-)1 (1)1 ()1 (1-1)1 ()n, i , P/F(22n), i(A/G, n), i (P/A, A11PPPPGn)i,(P/G, GPG等差系列现值系数等差系列现值系数 例：例： 某企业拟购买一台设备，其年收益额第一年某企业拟购买一台设备，其年收益额第一年为为10万元，此后直至第万元，此后直至第8年末逐年递减年末逐年递减3000元，设元，设年利率为年利率为15，按复利计息，求该设备，按复利计息，求该设备8年的收益现年的收益现值值P及等额分付序列收益年金及等额分付序列收益年金A？023546781 10 9.7 8.29.4 8.8 8.59.17.9年年A=10万元万元单位：万元单位：万元i=15%G2G3G4G5G6G7G 解：解： ，万1P =A(P/A i n)=10(P/A 15% 8)=44.87, , ,P2=G(A/G, ,15, ,8)(P/A, ,15, ,8) =0.32.784.487=3.74 万元万元收益现值收益现值P= P1P2 =44.873.74=41.1 万元万元收益年金：收益年金：A = P(AP, ,15, ,8) =41.10.2229=9.2万万 023546781 10 9.7 8.29.4 8.8 8.59.17.9A=10万元万元年年单位：万元单位：万元i=15%G2G3G4G5G6G7G8.等比系列公式等比系列公式123n 0.1A (1+j)A (1+j)1A (1+j)11A 2n-1等比系列现金流量111111(1)(1)(1)(1)1(1)tnnnttttttttAjPAiAjiji111(1) (1)1nnnAjPjiAjiijij1(, , , )PA P A i j n(, , , )P A i j n 称为等比系列现值系数称为等比系列现值系数8.等比系列公式等比系列公式8.等比系列公式等比系列公式(1)nFPi111(1)(1)(1)nnnnAjFjiAjiijij1(, , , )FA F A i j n（F/A,i,j,n)称为等比系列终值系数称为等比系列终值系数。运用利息公式应运用利息公式应注意的问题注意的问题: : 1. 为了实施方案的初始投资，假定发生在方为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；案的寿命期初； 2. 方案实施过程中的经常性支出，假定发生方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；在计息期（年）末； 3. 本年的年末即是下一年的年初；本年的年末即是下一年的年初； 4. P是在当前年度开始时发生；是在当前年度开始时发生； 5. F是在当前以后的第是在当前以后的第n年年末发生；年年末发生； 6. A是在考察期间各年年末发生。当问题包括是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和和A时，系列的第一个时，系列的第一个A是在是在P发生一年后的年末发生一年后的年末发生；当问题包括发生；当问题包括F和和A时，系列的最后一个时，系列的最后一个A是是和和F同时发生；同时发生； 7. 均匀梯度系列中，第一个均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第发生在系列的第二年年末。二年年末。名义利率和有效利率名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。名义利率和有效利率的概念。当当利率周期利率周期与与计息周期计息周期不一致时，不一致时，不考虑利息再生，名义利率不考虑利息再生，名义利率(年年)考虑利息再生，实际利率考虑利息再生，实际利率年利率为12，每年计息1次12为实际利率；年利率为12，每月计息1次12为名义利率，月利率为1。名义利率名义利率不同计息期的名义利率不同计息期的名义利率计息期 周期利率名义利率1年年利率12%12% 1=12%1月月利率1%1%12=12%1季季利率2.8%2.8% 4=11.2%半年半年利率5%5% 2=10%1.间断复利的年实际利率间断复利的年实际利率 按期（年、季、月和日）计息的方法。按期（年、季、月和日）计息的方法。 如果名义利率为如果名义利率为r,一年中计息一年中计息m次，每次计次，每次计息的息的 利率为利率为i=r/ m，根据一次支付复利系数公式，根据一次支付复利系数公式， 年末本利和为年末本利和为： F=P1+r/mm一年末的利息为：一年末的利息为：I=F-P= P1+r/mm P按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：为：111mmmrPPmrPi 下表给出了名义利率为下表给出了名义利率为12%分别按不同计息分别按不同计息期计算的实际利率：期计算的实际利率：复利周期复利周期每年计息数期每年计息数期各期实际利率各期实际利率实际年利率实际年利率一年一年半年半年一季一季一月一月一周一周一天一天124125236512.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%12.0000 %12.3600 %12.5509 %12.6825 %12.7341 %12.7475 %从上表可以看出，每年计息期从上表可以看出，每年计息期m越多，越多，ieff与与r相差越大。所相差越大。所以，以， 在进行工程经济分析时，如果各方案的记息期不同，就在进行工程经济分析时，如果各方案的记息期不同，就不能简单地使用名义利率来评价，必须换算成实际利率进行不能简单地使用名义利率来评价，必须换算成实际利率进行评价。评价。 例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为银行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利，计息每年一次。乙银行年利率为率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？款条件优惠些？ 解：解：%0755.1611215.0111%1612nnrii乙甲因为因为i乙乙 i甲甲，所以甲银行贷款条件优惠些。，所以甲银行贷款条件优惠些。 例：现投资例：现投资10001000元，时间为元，时间为1010年，年利率为年，年利率为8%8%，每季度计息一次，求每季度计息一次，求1010年末的将来值。年末的将来值。 F=？1000 0 1 2 3 40 季度每每季度季度的有效利率为的有效利率为8%4=2%，用年实际用年实际利率求解利率求解:年有效利率年有效利率i为：为： i=（ 1+ 2%）41=8.2432% F=1000 F=1000（F/PF/P，8.2432%8.2432%，1010）=2208=2208（元）元）用季度用季度利率求解利率求解: F=1000 F=1000（F/PF/P，2%2%，4040）=1000=10002.2080=22082.2080=2208（元）元）解：解： 例例: :某企业向银行借款某企业向银行借款10001000元元, ,年利率为年利率为4%,4%,如按如按季度计息季度计息, ,则第则第3 3年应偿还本利和累计为年应偿还本利和累计为( )( )元。元。 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172F=1000(F/P,1%,4F=1000(F/P,1%,43)3) =1000(F/P,1%,12) =1000(F/P,1%,12) =1127 =1127元元答案答案: C F=？1000 0 1 2 3 12 季度季度解解:例例: 已知某项目的计息期为月已知某项目的计息期为月,月利率为月利率为8 ,则项目的名义利则项目的名义利率为率为( ) 。 A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6解解:（年）名义利率（年）名义利率=每一计息期的每一计息期的有效利率有效利率一年中计息期数一年中计息期数 所以所以 r=128 =96 =9.6%2.连续（瞬时）复利的年有效利率连续（瞬时）复利的年有效利率 按瞬时计息的方式。按瞬时计息的方式。v 在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：计算，年有效利率为：111lim11limrrrnnnnenrnri式中：式中：e自然对数的底，其数值为自然对数的底，其数值为2.71828 名义利率的名义利率的实质实质：当计息期小于一年的利率化为当计息期小于一年的利率化为年利率时年利率时,忽略了时间因素忽略了时间因素,没有计算利息的利息没有计算利息的利息 。名义利率和有效（年）利率的应用：名义利率和有效（年）利率的应用：1) 计息期与支付期相同计息期与支付期相同2) 计息期短于支付期计息期短于支付期3) 计息期长于支付期计息期长于支付期3 等值计算与应用等值计算与应用v不同时点，数额不同的资金在资金的时间价值的不同时点，数额不同的资金在资金的时间价值的作用下有可能具有相等的价值。不同时点、不同作用下有可能具有相等的价值。不同时点、不同数额但其价值等效的资金称为等值。数额但其价值等效的资金称为等值。v利用等值的概念，可把一个时点的资金额换算成利用等值的概念，可把一个时点的资金额换算成另一时点的等值金额。另一时点的等值金额。v资金等值计算是指为了便于比较，把不同时点上资金等值计算是指为了便于比较，把不同时点上的资金按照一定的折现率计算至某一相同的时点的资金按照一定的折现率计算至某一相同的时点上的过程。如上的过程。如“折现折现”、“贴现贴现”等等 1 计息周期等于支付期计息周期等于支付期v根据计息期的实际利率，利用复利计算公式直根据计息期的实际利率，利用复利计算公式直接进行计算。接进行计算。例例：年利率为：年利率为12%，每半年每半年计息计息1次，从现在起次，从现在起连续连续3年年每半年每半年末等额存款为末等额存款为200元，问与其等元，问与其等值的第值的第0年的现值是多少？年的现值是多少？解：计息期为半年的有效利率为解：计息期为半年的有效利率为 i12/26 P=200200（P PA A，6 6，6 6）983.46(983.46(元元) )例：例：年年利率为利率为9，每年年初每年年初借款借款4200元，连续借款元，连续借款43年，求其年金终值和年金现值。年，求其年金终值和年金现值。43042210434221A=4200A=4200(1+9%)解：解：F=A(F/A,i,n)=4200(1+9%)440.8457 2018191.615（元）（元）P=A(P/A,i,n)=4200(1+9%)10.838 49616.364（元）（元）2 计息周期短于支付期计息周期短于支付期（1）先求出）先求出支付期的有效利率支付期的有效利率，再利用复利计算公式进，再利用复利计算公式进行计算行计算（2）按）按计息周期利率计息周期利率计算计算 F=P(F/P, r/m, mn) P=F(P/F, r/m, mn) F=A(F/A ,r/m, mn) P=A(P/A, r/m, mn) A=F(A/F, r/m, mn) A=P(A/P, r/m, mn)2 计息周期短于支付期计息周期短于支付期例例：年利率为：年利率为12，每季度每季度计息一次，从现在起连续计息一次，从现在起连续3年的等额年的等额年末存款年末存款为为1000元，与其等值的第元，与其等值的第3年的年年的年末借款金额是多少？末借款金额是多少？%55.121)4%121 (4i3392)3%,55.12,/(1000AFF0123456789101112季度1000元元1000元元1000元元年度年度解：年有效利率为：解：年有效利率为：F=?方法二：取方法二：取一个循环周期一个循环周期，使这个周期的年末支付转变，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列。成等值的计息期末的等额支付系列。012341000元元01234239239239239将年度支付转换为计息期末支付将年度支付转换为计息期末支付A=F(A/F,3%,4)=10000.2390=239（元）（元）r=12%,n=4,则则i=12%43F=A(F/A,i,n)=A(F/A,3%,12)=23914.1923392元元F=?0123456789101112季度1000元元1000元元1000元元年度年度F=?年度年度0123456789101112季度239239239239239 239239 239 239239239F=1000(F/P,3%,8)+1000(F/P,3%,4)+1000 =10001.267+10001.126 )+1000 =3392元元方法三：把等额支付的每一个支付看作为方法三：把等额支付的每一个支付看作为一次支一次支付付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。来，这个和就是等额支付的实际结果。0123456789101112季度1000元元1000元元1000元元年度年度F=?3 计息周期长于支付期计息周期长于支付期(1)不记息：记息期内收付不计息。不记息：记息期内收付不计息。(2)单利记息：记息期内的收付均按单利单利记息：记息期内的收付均按单利记息。记息。(3)复利计息：计息周期内的收付按复利复利计息：计息周期内的收付按复利计息。计息。3 计息周期长于支付期计息周期长于支付期v (1)不记息。记息期内收付不计息。不记息。记息期内收付不计息。按财务原则进行按财务原则进行计息，即现金流入额放在期末，现金流出额放在计息计息，即现金流入额放在期末，现金流出额放在计息期初，计息期分界点处的支付保持不变。期初，计息期分界点处的支付保持不变。例例：现金流量图如图所示，年利率为现金流量图如图所示，年利率为12%12%，每季度计息一，每季度计息一次，求年末终值次，求年末终值F F为多少？为多少？0 0 1 1 2 23 39 97 74 46 65 58 810101111 1212（月）（月）3003001001001001001001003 计息周期长于支付期计息周期长于支付期v (2)单利记息。记息期内的收付均按单利记息。记息单利记息。记息期内的收付均按单利记息。记息期内的利率按时间比例计算。（小周期利率单利方式期内的利率按时间比例计算。（小周期利率单利方式换算为大周期利率）换算为大周期利率）计息期利率。周期数；计息期末所包含的计息期收付金额到达第计息期内第第期收付金额；计息期内第第数；一个计息期内收付周期个计息期末现金流量；第itktmktANtAiNmAAkktkkt)/(1 3 计息周期长于支付期计息周期长于支付期v (3)复利记息。复利记息。 计息周期内的收付按复利计息。计息周期内的收付按复利计息。 （小周期与大周期之间的利率按复利换算）收付周（小周期与大周期之间的利率按复利换算）收付周期利率按复利计算出计息期利率。此时，计息期利率期利率按复利计算出计息期利率。此时，计息期利率相当于相当于“实际利率实际利率”，收付周期利率相当于，收付周期利率相当于“计息期计息期利率利率”。求收付周期利率。求收付周期利率例题例题例例1：某住宅楼正在出售，购房人可采用分期付：某住宅楼正在出售，购房人可采用分期付款的方式购买，付款方式：每套款的方式购买，付款方式：每套24万元，首付万元，首付6万元，剩余万元，剩余18万元款项在最初的五年内每半万元款项在最初的五年内每半年支付年支付0.4万元，第二个万元，第二个5年内每半年支付年内每半年支付0.6万元，第三个万元，第三个5年内每半年内支付年内每半年内支付0.8万元。年万元。年利率利率8，半年计息。该楼的价格折算成现值，半年计息。该楼的价格折算成现值为多少？为多少？v解：解： P=6 +0.4(P/A,4%,10) +0.6(P/A,4%,10)(P/F,4%,10) +0.8(P/A,4%,10)(P/F,4%,20) =15.49(万元）万元）例例2：一个男孩，今年：一个男孩，今年11岁。岁。5岁生日时，他祖父岁生日时，他祖父母赠送他母赠送他4000美元，该礼物以购买年利率美元，该礼物以购买年利率4（半年计息）的（半年计息）的10年期债券方式进行投资。他年期债券方式进行投资。他的父母计划在孩子的父母计划在孩子1922岁生日时，每年各用岁生日时，每年各用3000美元资助他读完大学。祖父母的礼物到期美元资助他读完大学。祖父母的礼物到期后重新进行投资。父母为了完成这一资助计划，后重新进行投资。父母为了完成这一资助计划，打算在他打算在他1218岁生日时以礼岁生日时以礼 物形式赠送资物形式赠送资金并投资，则金并投资，则 每年的等额投资额应为多少？每年的等额投资额应为多少？（设每年的投资利率为（设每年的投资利率为6）v解：解：以以18岁生日为岁生日为分析点，分析点，设设1218岁生日岁生日时的等额投资额为时的等额投资额为x美元，则美元，则 4000(F/P,2%,20)(F/P,6%,3)+x(F/A,6%,7) =3000(P/A,6%,4) 得，得，X=395(美元美元) 例：假如有人目前借入例：假如有人目前借入2000元，在今后元，在今后2年中每月年中每月等额偿还，每次偿还等额偿还，每次偿还94.20元，复利按月计算。试求月元，复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。有效利率、名义利率和年有效利率。 解：解： 94.202000（A/P，i，24) （A/P，i，24)94.2/2000=0.0471 查表，上列数值相当于查表，上列数值相当于 i1.0月有效利率月有效利率 则则 名义利率名义利率 r1.0 1212 年有效利率年有效利率 i（11.0)12112.68资金时间价值基本公式的应用资金时间价值基本公式的应用 复利系数表中包含了三种数据，即复利系数表中包含了三种数据，即系数、利率、系数、利率、计息次数计息次数。根据各系数符号，查表即可得到相应的系。根据各系数符号，查表即可得到相应的系数；知道了三项数据中的任意两项，还可以通过查表数；知道了三项数据中的任意两项，还可以通过查表得到另一项。得到另一项。一、计算货币的未知量一、计算货币的未知量二、计算未知利率二、计算未知利率三、计算未知年数三、计算未知年数 二、计算未知利率二、计算未知利率 在计算技术方案的等值时，有时会遇到这样在计算技术方案的等值时，有时会遇到这样一种情况：即现金流量一种情况：即现金流量P、F、A以及计算期以及计算期n均为均为已知量，而利率已知量，而利率i为待求的未知量。比如，求方案为待求的未知量。比如，求方案的收益率，国民经济的增长率等就属于这种情况。的收益率，国民经济的增长率等就属于这种情况。这时，可以借助查复利系数表利用线性内插法近这时，可以借助查复利系数表利用线性内插法近似地求出似地求出i来。来。例：某人今年初借贷例：某人今年初借贷1000万元，万元，8年内，每年还年内，每年还154.7万元，正好在第万元，正好在第8年末还清，问这笔借款年末还清，问这笔借款的年利率是多少？的年利率是多少？解：已知解：已知P=1000万，万，A= 154.7万，万，n=8 A=P(A/P,i,n) (A/P,i,n)=A/P=154.7/1000=0.1547 查表中的资金回收系数列，在查表中的资金回收系数列，在n=8的一行里，的一行里，0.1547所对应的所对应的i为为5%。 i=5% 例例:已知现在投资已知现在投资300元，元，9年后可一次获得年后可一次获得525元。求利率元。求利率i为多少？为多少？ 解：利用一次支付终值公式解：利用一次支付终值公式 F=P（F/P，i，n） 525=300（F/P，i，9） （F/P，i，9）=1.750 从复利表上查到，当从复利表上查到，当n=9时，时，1.750落在利率落在利率6%和和7%之间。从之间。从6%的位置查到的位置查到1.689，从，从7%的位置上查到的位置上查到1.838。用直线内插法可得：。用直线内插法可得： i=6%+(1.750-1.6895)(7%-6%) =6.41%计算表明，利率计算表明，利率i为为6.41%。v 把上述例子推广到一般情况，我们设两个已知的现金把上述例子推广到一般情况，我们设两个已知的现金流量之比（流量之比（F/P，F/A或或P/A等）对应的系数为等）对应的系数为f0，与此最接近的两个利率为与此最接近的两个利率为i1和和i2，i1对应的系数为对应的系数为f1，i2对应对应f2。见下图。见下图。 系数系数f0与利率与利率i的对应图的对应图根据上图，求利率根据上图，求利率i的的算式为：的的算式为： (f0-f1)(i2 i1) i=i1+ (415) f2 -f 1例：某人有资金例：某人有资金10万元，有两个投资方向供选择：一是万元，有两个投资方向供选择：一是存入银行，每年复利率为存入银行，每年复利率为10；另一是购买五年期的；另一是购买五年期的债券，债券，115元面值债券发行价为元面值债券发行价为100元，每期分息元，每期分息8元，元，到期后由发行者以面值收回。试计算出债券利率，比到期后由发行者以面值收回。试计算出债券利率，比较哪个方案有利。较哪个方案有利。解：解：设债券利率为设债券利率为i，则有则有 100=8(P/A,i,5)+115(P/F,i,5) 用试算的方法，可得到用试算的方法，可得到 P(10%)= 8(P/A,10,5)+115(P/F,10,5)101.73 P(12%)= 8(P/A,12,5)+115(P/F,12,5)94.09 用线性内插法用线性内插法%36.10%)10%12(09.9473.10110073.101%10 i例例: 某公司欲买一台机床，卖方提出两种付款方式：某公司欲买一台机床，卖方提出两种付款方式：（1）若买时一次付清，则售价）若买时一次付清，则售价30000元；元；（2）买时第一次支付）买时第一次支付10000元，以后元，以后24个月内每月支付个月内每月支付1000元。元。 当时银行利率为当时银行利率为12%，问若这两种付款方案在经济上是，问若这两种付款方案在经济上是等值的话，那么，对于等值的两种付款方式，卖方实际上等值的话，那么，对于等值的两种付款方式，卖方实际上得到了多大的名义利率与实际利率得到了多大的名义利率与实际利率?解：两种付款方式中有解：两种付款方式中有10000元现值相同，剩下元现值相同，剩下20000元付款方式不同，根据题元付款方式不同，根据题意：意： 已知已知P=20000元，元，A=1000元，元，n=24个月，求月利率个月，求月利率i？ P=A（P/A，i，n） 20000=1000（P/A，i，24） （P/A，i，24）=20=f0 查复利表：查复利表： 当当i1=1%时，（时，（P/A，1%，24）=21.243=f1 i2=2%时，（时，（P/A，2%，24）=18.914=f2 说明所求月利率说明所求月利率i介于介于i1与与i2之间，利用公式（之间，利用公式（415）：）： (f0-f1)(i2 i1) (20-21.243)(2%-1%) i=i1+ =1%+ f2 -f 1 18.9140-21.2430 =1%+0.534%=1.534% 那么卖方得到年名义利率：那么卖方得到年名义利率： r=121.534%=18.408% 卖方得到年实际利率：卖方得到年实际利率： 18.408% i=(1+ r/n) n -1 =(1+ )12-1 12 =(1+0.01534)n-1=20.04% 由于上述的名义利率由于上述的名义利率18.408%和实际利率和实际利率20.04%都高于银行利率都高于银行利率12%，因此，第一种付款方式对买方有利，作为卖方提出两种付款方式，则买方应选因此，第一种付款方式对买方有利，作为卖方提出两种付款方式，则买方应选择第一种。而第二种付款方式对卖方有利，按银行利率，卖方所得的现值为：择第一种。而第二种付款方式对卖方有利，按银行利率，卖方所得的现值为： P=P1+A（P/A，i，n） =10000+1000(P/A，1%，24) =31243.4（元）（元） 例例: 设有一个设有一个25岁的人投资人身保险，保险期岁的人投资人身保险，保险期50年，在这段期间，每年，在这段期间，每年末缴纳年末缴纳150元保险费，在保险期间内，若发生人身死亡或期末死亡，保元保险费，在保险期间内，若发生人身死亡或期末死亡，保险人均可获得险人均可获得10000元。问投这段保险期的实际利率？若该人活到元。问投这段保险期的实际利率？若该人活到52岁去岁去世，银行年利率为世，银行年利率为6%，问保险公司是否吃亏？，问保险公司是否吃亏？ 解：先画现金流量图如图解：先画现金流量图如图4-18。 图图4-18 现金流量图现金流量图 已知已知A=150元，元，F=10000元，元，n=50年，求年，求i=？ 根据公式（根据公式（4.6） F=A（F/A，i，n） 10000=150（F/A，i，50） （F/A，i，50）=66.667=f0 查复利表：查复利表： i1=1%时，（时，（F/A，1%，50）=64.463=f1 i2=2%时，（时，（F/A，2%，50）=84.579=f2说明所求说明所求i介于介于i1与与i2之间，利用公式（之间，利用公式（4.14）：）： (f0-f1)(i2 i1) 66.667-64.463 i=i1+=1%+(2%-1%) f2 -f 1 84.5790-64.4630 =1%+0.11%=1.11% 所以所以,50年保险期的实际利率为年保险期的实际利率为1.11%。 若此人活到若此人活到52岁就去世了，则在保险期内的第岁就去世了，则在保险期内的第27年保险公司要赔偿年保险公司要赔偿10000元，看其是否吃亏，就与存银行所得本利和作比较：元，看其是否吃亏，就与存银行所得本利和作比较： F=A（F/A，i，n） =150(F/A，6%，27) =15063.706 =9555.9（元）（元） 保险公司亏损：保险公司亏损：10000-9555.9=444.1（元）（元） 可见此人投保期间的实际利率只有可见此人投保期间的实际利率只有1.11%，若此人，若此人52岁时去世了，则保险公岁时去世了，则保险公司就亏司就亏444.1元。元。 说明社会保险是一项社会福利事业，如果社会投保面广，经营得当，也是盈利说明社会保险是一项社会福利事业，如果社会投保面广，经营得当，也是盈利大的事业。大的事业。 三、计算未知年数三、计算未知年数 在计算技术方案的等值中另一种可能的情况是：已在计算技术方案的等值中另一种可能的情况是：已知方案现金流量知方案现金流量P、F或或A，以及方案的利率，以及方案的利率i，而方案，而方案的计算期的计算期n为待求的未知量。例如，要求计算方案的投为待求的未知量。例如，要求计算方案的投资回收期，借款清偿期就属于这种情况。这时仍可借助资回收期，借款清偿期就属于这种情况。这时仍可借助查复利表，利用线性内插法近似地求出查复利表，利用线性内插法近似地求出n来。其求解基来。其求解基本思路与计算未知利率大体相同。本思路与计算未知利率大体相同。 例例: 假定国民经济收入的年增长率为假定国民经济收入的年增长率为10%，如果使国民经济收入翻，如果使国民经济收入翻两番，问从现在起需多少年？两番，问从现在起需多少年？ 解：设现在的国民经济收入为解：设现在的国民经济收入为P，若干年后翻两番则为，若干年后翻两番则为4P，由式（，由式（44） F=P（F/P，10，n） 4P=P（F/P，10%，n） （F/P，10%，n）=4 当当i=10%时，时，4落在年数落在年数14年和年和15年之间。年之间。当当n=14年时，（年时，（F/P，10%，14）=3.7975，当当n=15年时，（年时，（F/P，10%，15）=4.1772。用直线内插法得到：用直线内插法得到： (4-3.7975)(15 14)n=n1+ 年年=14.53年年 4.1772 -3.7975上述的例子推广到一般情况，仿照式（上述的例子推广到一般情况，仿照式（414），可得出：），可得出： (f0-f1)(n2 n1) n=n1+ (416) f2 -f 1 例例: 某企业向外资贷款某企业向外资贷款200万元建一工程，第三年投产，万元建一工程，第三年投产，投产后每年净收益投产后每年净收益40万元，若年利率万元，若年利率10%，问投产后多，问投产后多少年能归还少年能归还200万元贷款的本息。万元贷款的本息。 解：先画出现金流量图。解：先画出现金流量图。 为使方案的计算能利用公式，将第二年末（第三年初）作为使方案的计算能利用公式，将第二年末（第三年初）作为基期，计算为基期，计算F2。 P2=200（F/P，10%，2） =2001.210=242（万元）（万元）然后，利用式（然后，利用式（48）计算从投产后算起的偿还期）计算从投产后算起的偿还期n。 P=A（P/A，10%，n） 242=40（P/A，10%，n） （ P/A，10%，n）= =6.05在在i=10%的复利表上，的复利表上，6.05落在第落在第9年和第年和第10年之间。年之间。当当n1=9时，（时，（P/A，10%，9）=5.759；当当n2=10时，（时，（P/A，10%，10）=6.144。40242根据式（根据式（415），有），有 (f0-f1)(n2 n1) (6.05-5.759)(10-9) n=n1+ =9+ 年年 f2 -f 1 6.1446-5.759 =9.7547年年 即投产后即投产后9.755年后能全部还清货款的本息。年后能全部还清货款的本息。例例: 假设年利率为假设年利率为6%，每年年末存进银行，每年年末存进银行1000元。如果要想在银行拥有存款元。如果要想在银行拥有存款10000元，问需要元，问需要存几年存几年?解：已知解：已知i=6%，A= 1000元，元，F= 10000元元 A=F(A/ F,i,n) (A/F,i,n) =A/F= 1000/10000=0.1 查查偿债基金系数偿债基金系数，在，在i=6%时：时： 当当 n1= 8时时, (A/F, 6%, 8) = 0.101 当当 n2= 9时时, (A/F, 6%, 9) = 0.0870 利用线性内插法，求得：利用线性内插法，求得： n= 8+ (0.1-0.101)/(0.087-0.101) = 8.07(年年)