圆的有关性质(共12页)

精选优质文档-倾情为你奉上圆的有关性质（一） 一、内容综述： 1.圆的有关概念： (1).圆的对称性： 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还有旋转不变性。 (2).点和圆的位置关系： 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则: 点在圆内dr 2.有关性质： （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 （3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。 （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 3.难点讲解：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示) 如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质 推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧， 推论1的实质是：一条直线(如图) (1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧 (2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧 (3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 如图中，若ABCD，则 注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。 三、例题分析： 例1如图，AB是O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。 证明：过O作OMCD于M， CM=DM， AECD，BFCD， AE/OM/FB， 又O是AB中点， M是EF中点（平行线等分线段定理）， EM=MF， CE=DF。 说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 例2已知ABC内接于O，且AB=AC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。 分析：因为不知道ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论： （1）假若ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知， ，点A是弧BC中点， 连结AO并延长交BC于D，由垂径推论 可得ADBC，且BD=CD，这样OD=2cm， 再连结OB，在RtOBD中OB=6cm， 可求出BD的长，则AD长可求出， 则在RtABD中可求出AB的长。 （2）若ABC是钝角三角形，如图， 连结AO交BC于D，先证ODBC， OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm， OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长， 从而在RtADB中求出AB的长。 略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB， AB=AC， ，ADBC且BD=CD， OD=2，BO=6， 在RtOBD中，由勾股定理得：BD=4， 在RtADB中，AD=OA+OD=8， 由勾股定理可得：AB=4(cm) （2）同（1）添加辅助线求出BD=4， 在RtADB中，AD=AO-OD=6-2=4， 由勾股定理可得：AB=4(cm)， AB=4cm或4cm。 说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 例3已知如图：直线AB与O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。 证明：作OEAB于点E， CE=ED， OA=OB， AE=BE， AC=BD。 请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。 变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。 变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。 说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。 例4如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=600，求CD的长。 解：作OFCD于F，连结OD， AE=1，EB=5， AB=6，OA=3， OE=OA-AE=3-1=2， 在RtOEF中， DEB=600，EOF=300，EF=OE=1， OF=， 在RtOFD中，OF=，OD=OA=3， DF=(cm)， OFCD，DF=CF， CD=2DF=2(cm) 说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。 三、自测题 （一）判断正误： 1直径是圆的对称轴。 2三点确定一个圆 3平分弦的直径垂直弦 4在同圆中，等弦对等弧 5圆心角相等，它们所对的弧相等 6在同圆中，等弧对等弦 7线段AB是O的直径，点C在直线AB上，如果ACAD，延长AD到D，使AD=AC，连结BD交圆于点E，交AC于C，且AC=AD。 求证（1）ABE是等腰三角形； （2）AB2=ACAD。 4已知如图（2），AB是O的直径，弦PQ交AB于M，并且PM=MO。 求证： = 。 四、答案： 1证明：如图（3），连结AC，BD， DEB = ACFBDF = = 2证明：如图（4），连结AD。 = 3证明：如图（5），连结BD。 (1)ADC D+EAD=ABD+EBD AEB=ABEAB=AE ABE是等腰三角形。 (2)AB=AE ABCACB = AB2=ACAD。 4证明：如图（6），连结PO并延长PO交O于N，连结OQ， PM=MO，P=AOP， P，AOP ， =， 又AOP=BON， ， =。 专心-专注-专业