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精品资料学案30数列的通项与求和导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题自主梳理1求数列的通项(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an(2)当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用_求数列的通项an，常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(3)当已知数列an中，满足f(n)，且f(1)·f(2)··f(n)可求，则可用_求数列的通项an，常利用恒等式ana1····.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项(5)归纳、猜想、证明法2求数列的前n项的和(1)公式法等差数列前n项和Sn_，推导方法：_；等比数列前n项和Sn推导方法：乘公比，错位相减法常见数列的前n项和：a123n_；b2462n_；c135(2n1)_；d122232n2_；e132333n3_.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和常见的拆项公式有：；.(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导自我检测1(原创题)已知数列an的前n项的乘积为Tn3n2(nN*)，则数列an的前n项的和为_2设an是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若Sn是等差数列，则q_.3已知等比数列an的公比为4，且a1a220，故bnlog2an，则b2b4b6b2n_.4(2010·天津高三十校联考)已知数列an的通项公式anlog2 (nN*)，设an的前n项的和为Sn，则使Sn<5成立的自然数n的最小值为_5(2010·北京海淀期末练习)设关于x的不等式x2x<2nx (nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_6数列1,4，7，10，前10项的和为_探究点一求通项公式例1已知数列an满足an1，a12，求数列an的通项公式变式迁移1设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式探究点二裂项相消法求和例2已知数列an，Sn是其前n项和，且an7Sn12(n2)，a12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn<对所有nN*都成立的最小正整数m.变式迁移2求数列1，的前n项和探究点三错位相减法求和例3已知数列an是首项、公比都为q (q>0且q1)的等比数列，bnanlog4an (nN*)(1)当q5时，求数列bn的前n项和Sn；(2)当q时，若bn<bn1，求n的最小值变式迁移3求和Sn.分类讨论思想例(5分)二次函数f(x)x2x，当xn，n1(nN*)时，f(x)的函数值中所有整数值的个数为g(n)，an(nN*)，则Sna1a2a3a4(1)n1an_.答案(1)n1解析当xn，n1(nN*)时，函数f(x)x2x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为n2n，n23n2(nN*)，g(n)2n3(nN*)，于是ann2.当n为偶数时，Sna1a2a3a4an1an(1222)(3242)(n1)2n237(2n1)·；当n为奇数时，Sn(a1a2)(a3a4)(an2an1)anSn1ann2，Sn(1)n1.【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示1求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项；(2)观察法：例如由数列的前几项来求通项；(3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法；(5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明2数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和3求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010·广东)已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a32a1且a4与2a7的等差中项为，则S5_.2有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn，Tn，若，则_.3如果数列an满足a12，a21且 (n2)，则此数列的第10项为_4数列an的前n项和为Sn，若an，则S5_.5(2011·南京模拟)数列1,12,124，12222n1，的前n项和Sn>1 020，那么n的最小值是_6(2010·东北师大附中高三月考)数列an的前n项和为Sn且a11，an13Sn(n1,2,3，)，则log4S10_.7(原创题)已知数列an满足a11，a22，an2，则该数列前26项的和为_8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项为2n，则数列an的前n项和Sn_.二、解答题(共42分)9(12分)已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)(1)若函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列an，试证明数列an是等差数列；(2)设函数f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，试求数列bn的前n项和Sn.10(14分)设等差数列an的前n项和为Sn，且Snnananc(c是常数，nN*)，a26.(1)求c的值及数列an的通项公式；(2)证明<.11(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列an的前n项和为Sn3n，数列bn满足b11，bn1bn(2n1) (nN*)(1)求数列an的通项公式an；(2)求数列bn的通项公式bn；(3)若cn，求数列cn的前n项和Tn.答案 自主梳理1(4)n1或n2自我检测1222.3.154.85.课堂活动区例1解题导引1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点2利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解解(1)由已知得，解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q>1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由(1)得a3n123n，bnln a3n1ln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bn·ln 2.故Tnln 2.变式迁移14解析设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a12d4，又0<a1<2，所以1<d<2.易知数列bn是等比数列，故(1)正确；a2a3d(2,3)，所以b22a2>4，故(2)正确；a4a3d>5，所以b42a4>32，故(3)正确；又a2a42a38，所以b2b42a2a428256，故(4)正确例2解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.解(1)an1fan，an是以为公差的等差数列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)·(2n23n)(3)当n2时，bn，又b13×，Snb1b2bn×，Sn<对一切nN*成立即<，又递增，且<.，即m2 010.最小正整数m2 010.变式迁移2解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解之，得或又an单调递增，an2n.(2)bn2n·log2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n.2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1.，得Sn222232nn·2n1n·2n12n1n·2n12.由Sn(nm)an1<0，即2n1n·2n12n·2n1m·2n1<0对任意正整数n恒成立，m·2n1<22n1对任意正整数n，m<1恒成立1>1，m1，即m的取值范围是(，1例3解依题意，第1个月月余款为a110 000(120%)10 000×20%×10%30011 500，第2个月月底余款为a2a1(120%)a1×20%×10%300，依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元，第n1个月月底的余款为an1元，则an1an(120%)an×20%×10%3001.18an300.下面构造一等比数列设1.18，则an1x1.18an1.18x，an11.18an0.18x.0.18x300.x，即1.18.数列an是一个等比数列，公比为1.18，首项a111 500.an×1.18n1，a12×1.1811，a12×1.181162 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元纯收入有a1210 000(125%)62 396.612 50049 896.6(元)变式迁移3解(1)设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50，则an250(n1)·5050n200，Sn250n×5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400·(1.08)n1.由题意可知an>0.85bn，即50n200>400·(1.08)n1·0.85.当n5时，a5<0.85b5，当n6时，a6>0.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1322.3.99147解析设至少需要n秒钟，则121222n1100，100，n7.564解析依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a102×2432，a111×2532，又因为anan1bn，所以b10a10a1164.63解析该题是数列知识与函数知识的综合an5·2n24·n15·2，显然当n2时，an取得最小值，当n1时，an取得最大值，此时x1，y2，xy3.721解析y(x2)2x，则过点(ak，a)的切线斜率为2ak，则切线方程为ya2ak(xak)，令y0，得a2ak(xak)，xak，即ak1ak.故an是a116，q的等比数列，即an16×()n1，a1a3a5164121.8107解析由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去13561961个奇数而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即ij6344107.9解(1)f(1)a，f(x)x.(1分)a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c；又数列an成等比数列，a1c，c1；(2分)公比q，an×n12×n，nN*；(3分)SnSn1(n>2)，(4分)又bn>0，>0，1.数列构成一个首项为1、公差为1的等差数列，1(n1)×1n，Snn2.(6分)当n2，bnSnSn1n2(n1)22n1；又当n1时，也适合上式，bn2n1，nN*.(8分)(2)Tn.(12分)由Tn>，得n>，满足Tn>的最小正整数为112.(14分)10解设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An(万元)，技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn(万元)依题意得An45n35(2n1)43nn2，(5分)当n5时，Bn164(n5)40081n594，(10分)当n5时，BnAnn238n594，令n238n594>0，即(n19)2>955，解得n12，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益(14分)11(1)解令xn，y1，得到f(n1)f(n)·f(1)f(n)，(2分)f(n)是首项为，公比为的等比数列，即f(n)()n.(5分)(2)证明记Sna1a2a3an，ann·f(n)n·()n，(6分)Sn2×()23×()3n×()n，Sn()22×()33×()4(n1)×()nn×()n1，两式相减得Sn()2()nn×()n1，整理得Sn2()n1n()n<2.a1a2a3an<2.(9分)(3)解f(n)()n，而bn(9n)(9n).(11分)当n8时，bn>0；当n9时，bn0；当n>9时，bn<0，n8或9时，Sn取到最大值(14分)
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