高考数学 一轮复习第8章平面解析几何第7讲双曲线知能训练轻松闯关理北师大版11254117

第第 7 7 讲讲 双曲线双曲线1(20 xx石家庄一模)已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.x24y2121B.x212y241C.x210y261D.x26y2101解析：选 A.已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)，(4，0)，则c4，a2，b212，双曲线方程为x24y2121，故选 A.2(20 xx高考福建卷)若双曲线E：x29y2161 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9C5D3解析： 选 B.由题意知a3，b4， 所以c5.由双曲线的定义有|PF1|PF2|3|PF2|2a6.所以|PF2|9.3(20 xx惠州调研)若双曲线x2a2y2b21 的离心率为 3，则其渐近线的斜率为()A2B 2C12D22解析：选 B.因为双曲线x2a2y2b21 的离心率为 3，所以eca1b2a2 3，解得ba 2，所以其渐近线的斜率为 2.故选 B.4 (20 xx高考湖南卷)若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53解析：选 D.由双曲线的渐近线过点(3，4)知ba43，所以b2a2169.又b2c2a2，所以c2a2a2169，即e21169，所以e2259，所以e53.5 (20 xx高考四川卷)过双曲线x2y231 的右焦点且与x轴垂直的直线， 交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A.4 33B2 3C6D4 3解析：选 D.由题意知，双曲线x2y231 的渐近线方程为y 3x，将xc2 代入得y2 3，即A，B两点的坐标分别为(2，2 3)，(2，2 3)，所以|AB|4 3.6(20 xx太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且F1P(OF1OP)0(O为坐标原点)，若|F1P| 2|F2P|，则该双曲线的离心率为()A. 6 3B.6 32C. 6 2D.6 22解析：选 A.设线段PF1的中点为D，则F1P(OF1OP)F1P(2OD)0，所以F1POD，又因为点O为线段F1F2的中点，所以ODPF2，所以F1PPF2，所以|F1P|2|PF2|24c2，又因为点P在双曲线的右支上，所以|F1P|PF2|2a，又因为|F1P| 2|PF2|，联立得e2c2a2332 2，所以e 6 3，故选 A.7 已知双曲线x29y2a1 的右焦点的坐标为( 13， 0)， 则该双曲线的渐近线方程为_解析：依题意知( 13)29a，所以a4，故双曲线方程为x29y241，则渐近线方程为x3y20.即 2x3y0.答案：2x3y0 或 2x3y08 已知双曲线x2my23m1 的一个焦点是(0， 2)， 椭圆y2nx2m1 的焦距等于 4， 则n_解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为y23mx2m1，即a23m，b2m， 所以c23mm4m4， 解得m1.所以椭圆方程为y2nx21，且n0，又椭圆的焦距为 4，所以c2n14 或 1n4，解得n5 或3(舍去)答案：59(20 xx高考湖南卷)设F是双曲线C：x2a2y2b21 的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_解析：不妨设F(c，0)，PF的中点为(0，b)由中点坐标公式可知P(c，2b)又点P在双曲线上，则c2a24b2b21，故c2a25，即eca 5.答案： 510(20 xx南昌模拟)过原点的直线l与双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右两支分别相交于A，B两点，F( 3，0)是双曲线C的左焦点，若|FA|FB|4，FAFB0，则双曲线C的方程是_解析： 如图所示， 设双曲线的右焦点为F2( 3， 0)， 连接F2A，F2B， 由双曲线的对称性和FAFB0 知四边形AFBF2为矩形，由|FA|FB|4 得|FA|AF2|4，又因为|FA|AF2|2a，所以|FA|2a，|F2A|2a，由|F2A|2|FA|2(2a)2(2a)2(2 3)2，得a22，b21，所以双曲线的方程为x22y21.答案：x22y2111已知椭圆D：x250y2251 与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解：椭圆D的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，所以渐近线方程为bxay0 且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3.所以|5a|b2a23，得a3，b4，所以双曲线G的方程为x29y2161.12设A，B分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y33x2 与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OMONtOD，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2 3，所以一条渐近线方程为yb2 3x.即bx2 3y0.所以|bc|b212 3.所以b23，所以双曲线的方程为x212y231.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216 3x840，则x1x216 3，y1y212.所以x0y04 33，x2012y2031，所以x04 3，y03.所以t4，点D的坐标为(4 3，3)1(20 xx南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为 30，则双曲线C的渐近线方程是()A. 2xy0Bx 2y0Cx2y0D2xy0解析：选 A.由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|F1F2|，所以PF1F230，所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos 30，得c 3a，所以bc2a2 2a，所以双曲线的渐近线方程为ybax 2x，即2xy0.2设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是_解析：ca2b2，由题意得A(a，0)，F(c，0)，不妨设Bc，b2a，Cc，b2a.由于kACb2a（ac），kABb2a（ca），从而过B且与AC垂直的直线为yb2aa（ca）b2(xc).过C且与AB垂直的直线为yb2aa（ac）b2(xc).联立，解得xb4a2（ac）c.由题意，得cb4a2（ac）cac，即b2a2，ba21.设该双曲线渐近线的斜率为k，则k21，又k0，所以 0k1 或1k0，b0)交于A，B两点，且|AB| 3，又l关于直线l1：ybax对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程解：(1)设双曲线C：x2a2y2b21 过一、三象限的渐近线l1：xayb0 的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPOPOMOPM.又l：y 3(x2)的倾斜角为 60，则 260，所以 tan 30ba33.于是e2c2a21b2a211343，所以e2 33.(2)由于ba33，于是设双曲线方程为x23k2y2k21(k0)，即x23y23k2.将y 3(x2)代入x23y23k2中，得x233(x2)23k2.化简得到 8x236x363k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 13|x1x2|2 （x1x2）24x1x2236248（363k2）8 96k2 3，解得k21.故所求双曲线C的方程为x23y21.