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(人教版)精品数学教学资料第二章 2.3 2.3.2A级基础巩固一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线顶点,则AOB的大小(C)A小于90 B等于90C大于90D不能确定解析过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径,其长度为2p,又顶点到通径的距离为,由三角函数知识可知,AOB大于90.2若AB为抛物线y24x的弦,且A(x1,4)、B(x2,2),则|AB|(B)A13BC6 D4解析代入点A,B可得x14,x21,由两点间距离公式得|AB|.3若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(B)A(,)B(,)C(,)D(,)解析设焦点为F,原点为O,P(x0,y0),由条件及抛物线的定义知,|PF|PO|,又F(,0),x0,y,y0,故选B4已知P(8,a)在抛物线y24px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为(B)A2B4C8D16解析根据题意可知,P点到准线的距离为8p10,可得p2,所以焦点到准线的距离为2p4,选B5已知F是抛物线y2x的焦点,A、B是该抛物线上的两点,|AF|BF|3,则线段AB的中点到y轴的距离为(C)AB1CD解析设A(x1,y1)、B(x2,y2),由|AF|BF|3得,x1x23,x1x2,线段AB的中点到y轴的距离为.6(2017全国文,12)过抛物线C:y24x的焦点F,且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MNl,则M到直线NF的距离为(C)AB2C2D3解析抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立得方程组解得或点M在x轴的上方,M(3,2)MNl,N(1,2)|NF|4,|MF|MN|4.MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为2.故选C二、填空题7过点M(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点,这样的直线共有_1_条.解析点M(3,2)在抛物线内部,过点M平行于x轴的直线y2与抛物线y28x只有一个交点8若抛物线y22px(p0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为_(9,6)或(9,6)_.解析由抛物线方程y22px(p0),得其焦点坐标为F,准线方程为x,设点M到准线的距离为d,则d|MF|10,即(9)10,p2,故抛物线方程为y24x.将M(9,y)代入抛物线方程,得y6,M(9,6)或M(9,6)三、解答题9(2016山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.解析如图,依题意可设抛物线标准方程为y22px(p0),则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),过A、B分别作准线的垂线,垂足为C、D,则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2,即x1x2p8.又A(x1,y1)、B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由,消去y得x23px0.x1x23p.将其代入,得p2.所求的抛物线标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时,同理可求得抛物线标准方程为y24x.B级素养提升一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点,若AB中点的横坐标为2,则k(C)A2或2B1C2D3解析由,得k2x24(k2)x40,则4,即k2.2(2016山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y24x的焦点,M、N是该抛物线上两点,|MF|NF|6,则MN中点的横坐标为(B)AB2CD3解析F是抛物线y24x的焦点,F(1,0),准线方程x1,设M(xM,yM)、N(xN,yN),|MF|NF|xM1xN16,解得xMxN4,MN中点的横坐标为2.3等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则ABO的面积是(B)A8p2B4p2C2p2Dp2解析设点A在x轴的上方,则由抛物线的对称性及OAOB知,直线OA的方程为yx.由,得A(2p,2p)则B(2p,2p),所以AB4p.所以SABO4p2p4p2.4过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点,则的值是(D)A12B12C3D3解析设A(,y1)、B(,y2),则(,y1),(,y2),则(,y1)(,y2)y1y2,又AB过焦点,则有y1y2p24,y1y243,故选D5已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(B)AB2CD3解析由题可知l2:x1是抛物线y24x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x3y60的距离,所以最小值是2.故选B二、填空题6已知直线ya交抛物线yx2于A、B两点,若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为_a1_.解析本题考查了直角三角形的性质抛物线的范围以及恒成立问题,不妨设A(,a),B(,a),C(x0,x),则(x0,ax),(x0,ax),ACB90.(x0,ax)(x0,ax)0.xa(ax)20,则xa0.(ax)(ax1)0,ax10.xa1,又x0.a1.7P为抛物线yx2上一动点,直线l:yx1,则点P到直线l距离的最小值为.解析设P(x0,x)为抛物线上的点,则P到直线yx1的距离d.当x0时,dmin.三、解答题8过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点若|AF|3,求|BF|的长.解析设点A(x1,y1)、B(x2,y2),由|AF|3及抛物线定义可得,x113,x12,A点坐标为(2,2),则直线AB的斜率为k2.直线AB的方程为y2(x1)由,消去y得,2x25x20,解得x12,x2.|BF|x21.C级能力提高1已知F是抛物线y24x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,设|FA|FB|,则32.解析抛物线y24x的焦点F(1,0),过F斜率为1的直线方程为yx1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,消去y得x26x10,求得x132,x232,故由抛物线的定义可得32.2(2017全国文,20)设A,B为曲线C:y上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程解析(1)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1,y2,x1x24,于是直线AB的斜率k1.(2)解:由y,得y.设M(x3,y3),由题设知1,解得x32,于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm,故线段AB的中点为N(2,2m),|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0,即m1时,x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|,即42(m1),解得m7.所以直线AB的方程为yx7.
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