北京市海淀区高三上学期期末练习数学理试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学（理科） 2015.1 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）抛物线的焦点坐标是（ ）（A）（B）（C）（D）（2）如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数（ ）（A）（B）（C）（D）（3）当向量，时， 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A）（B）（C）（D）（4）已知直线，. 若，则实数的值是（ ）（A）（B）或（C）或（D）（5）设不等式组表示的平面区域为. 则区域上的点到坐标原点的距离的最小值是（ ） （A） （B）（C）（D）（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）（A）（B）（C）（D）（7）某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为. 那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）（A）（B）（C）（D）（8）已知点在曲线上， 过原点，且与轴的另一个交点为.若线段,和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”. 那么下列结论中正确的是（ ）（A）曲线上不存在“完美点”（B）曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1（C）曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于1（D）曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在的展开式中，常数项是 .（用数字作答）（10）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为_ （11）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则 .（12）如图所示，是的切线，那么_. （13）在等比数列中，若，则公比_；当_时，的前项积最大.（14）如图所示，在正方体中，点是边的中点. 动点在直线（除两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是 . （写出满足条件的所有顶点）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示. （）写出及图中的值；（）设，求函数在区间上的最大值和最小值. （16）（本小题满分13分）某中学在高二年级开设大学先修课程线性代数，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（）求抽取的5人中男、女同学的人数；（）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学间隔的人数为，的分布列为3210求数学期望；（）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小. （只需写出结论）（17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，平面平面.（）求证：； （）设点分别是的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （）求二面角的余弦值. （18）（本小题满分13分）已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.（）求的离心率及短轴长；（）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. （19）（本小题满分13分）已知函数，. （）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（）求集合中元素的个数；（）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）（20）（本小题满分14分）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立. 对于定义（）.（）若，求的值及的最大值；（）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为. 求证：；（）对于满足（）的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，使得恒成立，并说明理由. 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理）答案及评分参考 2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12） （13）；4 （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）的值是. 2分的值是. 5分（）由题意可得：. 7分所以 8分 . 10分因为 ，所以 .所以 当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值. 13分（16）（共13分）解：（）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为. 4分（）由题意可得：. 6分 因为 ， 所以 . 8分 所以 . 10分（）. 13分（17）（共14分）证明：（）连接. 在正方形中，.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 1分因为 平面， 所以 . 2分在菱形中，.因为 平面，平面，所以 平面. 4分因为 平面， 所以 . 5分（）平面，理由如下： 6分取的中点，连接.因为 是的中点，所以 ，且.因为 是的中点，所以 .在正方形中，.所以 ，且.所以 四边形为平行四边形.所以 . 8分因为 平面，平面， 所以 平面. 9分（）在平面内过点作.由（）可知：平面. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.在菱形中，所以 ，. 设平面的一个法向量为.因为 即所以 即. 11分 由（）可知：是平面的一个法向量. 12分所以 . 所以 二面角的余弦值为. 14分（18）（共13分）解：（）由得：.所以 椭圆的短轴长为. 2分因为 ，所以 ，即的离心率为. 4分（）由题意知：，设，则. 7分因为 9分 ， 11分所以 .所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 13分另解：由题意可设直线的方程为，.由可得：.所以 ，. 7分所以 . 9分因为 ， 所以 . 11分所以 .所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 13分 （19）（共13分）解：（）函数是偶函数，证明如下： 1分 对于，则. 2分 因为 ， 所以 是偶函数. 4分（）当时，因为 ，恒成立，所以 集合中元素的个数为0. 5分当时，令，由，得 .所以 集合中元素的个数为1. 6分当时，因为 ，所以 函数是上的增函数. 8分因为 ，所以 在上只有一个零点. 由是偶函数可知，集合中元素的个数为2. 10分综上所述，当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2.（）函数有3个极值点. 13分（20）（共14分）解：（）因为 ，所以 ，故. 1分 因为 ，所以 . 所以 .所以 当时，取得最大值. 3分（）由的定义可知：. 所以 . 6分设删去的两个数为，则.由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，不放设时，.所以 . 7分所以.所以 ，即.8分（）对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得恒成立，理由如下：任取集合，由（）可知， 中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）.因为 ，所以 存在，使得，即.由可设集合.则中一定存在元素使得. 否则，与是最大数矛盾.所以 ，即. 14分