高三人教版数学理一轮复习课时作业:第2章 第13节 导数的应用(二)

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高考数学精品复习资料 2019.5 课时作业 一、选择题 1f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数,且满足 xf(x)f(x)0,对任意正数 a,b,若 ab,则必有 ( ) Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b) Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a) A xf(x)f(x),f(x)0, f(x)xxf(x)f(x)x22f(x)x20. 则函数f(x)x在(0,)上是单调递减的, 由于 0a0 时,函数 f(x)(x22ax)ex的图象大致是 ( ) B 利用导数研究函数的单调性、极值等函数性质 由 f(x)0 且 a0 得函数有两个零点 0,2a,排除 A 和 C; 又因为 f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex,有 (22a)28a0 恒成立,所以 f(x)0 有两个不等根,即原函数有两个极值点,排除D,故选 B. 6若函数 f(x)2x33x21(x0),eax(x0)在2,2上的最大值为 2,则 a 的取值范围是 ( ) A.12ln 2, B.0,12ln 2 C(,0 D.,12ln 2 D 当 x0 时,f(x)6x26x,易知函数 f(x)在(,0上的极大值点是 x1,且 f(1)2,故只要在(0,2上,eax2 即可,即 axln 2 在(0,2上恒成立,即 aln 2x在(0,2上恒成立,故 a12ln 2. 二、填空题 7已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,)上有 f(x)0,若 f(1)0,那么关于 x 的不等式 xf(x)0,所以 f(x)在(0,)单调递增又函数 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(1)f(1)0.当 x0 时,f(x)0,0 x1;当 x0,x1. 答案 (,1)(0,1) 8直线 ya 与函数 f(x)x33x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是_ 解析 令 f(x)3x230,得 x 1,可得极大值为 f(1)2,极小值为 f(1)2,如图,观察得2a2时恰有三个不同的公共点 答案 (2,2) 9(20 xx 广州模拟)设函数 f(x)ax33x1(xR),若对于任意 x1,1,都有 f(x)0 成立,则实数 a 的值为_ 解析 (构造法)若 x0,则不论 a 取何值,f(x)0 显然成立; 当 x0,即 x(0,1时,f(x)ax33x10 可化为 a3x21x3.设 g(x)3x21x3,则 g(x)3(12x)x4, 所以 g(x)在区间0,12上单调递增,在区间12,1 上单调递减,因此 g(x)maxg124,从而 a4. 当 x0,即 x1,0)时,同理 a3x21x3. g(x)在区间1,0)上单调递增, g(x)ming(1)4,从而 a4,综上可知 a4. 答案 4 三、解答题 10已知函数 f(x)x2ln x. (1)求函数 f(x)在1,e上的最大值和最小值; (2)求证:当 x(1,)时,函数 f(x)的图象在 g(x)23x312x2的下方 解析 (1)f(x)x2ln x,f(x)2x1x. x1 时,f(x)0,故 f(x)在1,e上是增函数, f(x)的最小值是 f(1)1,最大值是 f(e)1e2. (2)证明:令 F(x)f(x)g(x)12x223x3ln x, F(x)x2x21xx22x31xx2x3x31x(1x)(2x2x1)x. x1,F(x)0. F(x)在(1,)上是减函数 F(x)F(1)1223160,即 f(x)g(x) 当 x(1,)时,函数 f(x)的图象总在 g(x)的图象的下方 11(20 xx 泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(6x11),年销售为 u 万件,若已知5858u 与x2142成正比,且售价为 10 元时,年销量为28 万件 (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润 解析 (1)设5858ukx2142, 售价为 10 元时,年销量为 28 万件, 585828k102142,解得 k2. u2x214258582x221x18. y(2x221x18)(x6) 2x333x2108x108(6x0; 当 x(9,11)时,y0. 函数 y2x333x2108x108 在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的 当 x9 时,y 取最大值,且 ymax135, 售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元 12(20 xx 济南模拟)已知函数 f(x)axln x,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数 (1)当 a1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e上的最大值为3,求 a 的值; (3)当 a1 时,试推断方程|f(x)|ln xx12是否有实数解 解析 (1)当 a1 时,f(x)xln x, f(x)11x1xx. 当 0 x0;当 x1 时,f(x)0. f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,)上是减函数, f(x)maxf(1)1. (2)f(x)a1x,x(0,e,1x1e, . 若 a1e,则 f(x)0,从而 f(x)在(0,e上是增函数, f(x)maxf(e)ae10,不符合题意 若 a0 得 a1x0, 即 0 x1a, 由 f(x)0 得 a1x0,即1axe. 从而 f(x)在0,1a上是增函数,在1a,e 上是减函数 f(x)maxf1a1ln1a. 令1ln1a3,则 ln1a2, 1ae2,即 ae21e,ae2为所求 (3)由(1)知,当 a1 时,f(x)maxf(1)1, |f(x)|1. 令 g(x)ln xx12,则 g(x)1ln xx2, 令 g(x)0,得 xe, 当 0 x0,g(x)在(0,e)上单调递增; 当 xe 时,g(x)0,g(x)在(e,)上单调递减 g(x)maxg(e)1e121.g(x)g(x),即|f(x)|ln xx12. 当 a1 时,方程|f(x)|ln xx12没有实数解
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