《极坐标系》导学案

第2课时极 坐 标 系1.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.李先生是个外地人,他想到市教育局去,却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走?路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答,能让李先生找到目的地吗?“在我们现在的位置东南方3公里处”是一个确定的位置吗?问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位和角的正方向(通常取方向),这样就建立了一个平面极坐标系,简称为.问题2:对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中叫作,叫作,有序数对(,)就叫作点M的,记为.问题3:将点M的极坐标(,)化为直角坐标(x,y)的关系式为.问题4:将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)的关系式为.1.在极坐标系中,点M(-2,6)的位置,可按如下规则确定().A.作射线OP,使xOP=6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使xOP=76,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使xOP=76,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使xOP=-6,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.若1+2=0,1+2=,则点M1(1,1)与点M2(2,2)的位置关系是().A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成4的直线对称3.点P的直角坐标为(-2,2),那么它的极坐标可表示为.4.在极坐标系中作下列各点,并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)、B(2,6)、C(2,4)、D(2,2)、E(2,32)、F(2,54)、G(2,116);(2)A(0,4)、B(1,4)、C(2,54)、D(3,54)、E(3,4).化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,6);(2)(3,2);(3)(4,23);(4)(4,-12).极坐标的概念已知极坐标系中点A(2,2),B(2,34),O(0,0),则AOB为().A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,3)和点Q(4,56)之间的距离为.把下列各点的极坐标化为直角坐标,并判断所表示的点在第几象限.(1)(2,43);(2)(2,23);(3)(2,-3);(4)(2,-2).在极坐标系中,已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,3),B(2,),C(2,53).(1)判断ABC的形状;(2)求ABC的面积.极坐标平面内两点P(4,32)、Q(,-4)之间的距离为10,则=.1.在极坐标系中,若点A、B的坐标分别是(2,3)、(3,-6),则AOB为().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标(6,43)化为直角坐标为().A.(-33,3) B.(-33,-3)C.(-3,-33)D.(-3,33) 3.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,3)、(4,6),则AOB(其中O为极点)的面积为.4.在极坐标系中,已知三点M(2,53),N(2,0),P(23,6).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.在极坐标系中,已知两点A(2,4),B(2,54),且ABC为等腰直角三角形,求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编):第2课时极 坐 标 系知识体系梳理问题1:极轴逆时针极坐标系问题2:极径极角极坐标M(,)问题3:x=cos,y=sin问题4:2=x2+y2,tan=yx(x0)基础学习交流1.B当0时,点M(,)的位置按下列规定确定:作射线OP,使xOP=,在OP的反向延长线上取|OM|=|,则点M就是坐标(,)的点,故选B.2.A因为点(,)关于极轴所在的直线对称的点为(-,-),由点M1(1,1)和M2(2,2)满足1+2=0,1+2=,可知点M1与M2关于极轴所在的直线对称.3.(2,34)(答案不唯一)直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解,即=(-2)2+(2)2=2,tan =-1.因为点P在第二象限,所以可取一个极角为34.4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B、G关于极轴对称,点D、E关于极轴对称,点C、F关于极点对称.(2)所有点都在倾斜角为4,且过极点的直线上.点D、E关于极点对称.重点难点探究探究一:【解析】(1)x=cos =2cos6=3,y=sin =2sin6=1.点(2,6)的直角坐标为(3,1).(2)x=cos =3cos2=0,y=sin =3sin2=3.点(3,2)的直角坐标为(0,3).(3)x=cos =4cos23=-2,y=sin =4sin23=23.点(4,23)的直角坐标为(-2,23).(4)cos12=1+cos62=1+322=6+24,sin12=1-cos62=1-322=6-24,x=cos =4cos(-12)=4cos12=6+2,y=sin =4sin(-12)=-4sin12=2-6.点(4,-12)的直角坐标为(2+6,2-6).【小结】严格按照x=cos,y=sin进行转化,注意准确计算.探究二:【解析】显然OA=2,OB=2,AOB=4,由余弦定理得AB=OA2+OB2-2OAOBcosAOB=2,故OB=AB,ABO=2,即AOB为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的和分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式x=cos,y=sin ,得点P(2,3)和点Q(4,56)的直角坐标分别为P(1,3)和Q(-23,2),由两点间的距离公式得|PQ|=(1+23)2+(3-2)2=25.(法二)在极坐标系中,已知点P(2,3)和点Q(4,56),故POQ=2,所以|PQ|=22+42=25.【答案】25【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算.思维拓展应用应用一:(1)由题意知x=2cos43=2(-12)=-1,y=2sin43=2(-32)=-3,即点(2,43)的直角坐标为(-1,-3),是第三象限内的点.(2)由题意知x=2cos 23=-1,y=2sin 23=3,即点(2,23)的直角坐标为(-1,3),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(-3)=1,y=2sin(-3)=-3,即点(2,-3)的直角坐标为(1,-3),是第四象限内的点.(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 20(22),y=2sin(-2)=-2sin 20,00得=2,代入得cos(-4)=0,-4=2+k,kZ,即=34+k,kZ,又02,令k=0,1,得=34或74,点C的极坐标为(2,34)或(2,74),SABC=12|AC|BC|=12|AC|2=128=4.