电磁场第一讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,矢量分析,Vector analysis,数学工具,描述电荷或电流产生的场,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。,1.,标量与矢量,标量,(scalar)-,只有大小，没有方向,的物理量,如：电压、温度、时间、质量、电荷等,矢量,(vector)-,既有大小，又有方向,的物理量,如：电场、磁场、力、速度,(1),矢量的表示,矢量的一般表示,A,=0,空矢,(null vector),或,零矢,(zero vector),a,为单位矢量,(unit vector),矢量,A,的大小,代表矢量,A,的方向,(2),位置矢量,(position vector),位置矢量,能够由它在,三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。,任一矢量可以表示为：,从原点指向空间任一点,P,的矢量，称为,位置矢量,。,直角坐标系中的一点,P,的,位置矢量,P,(,x,y,z,),x,y,z,O,距离矢量,z,x,y,P,(,x,y,z,),P,点相对于,O,点的位置,x,y,z,P,(,x,y,z,),P,点相对于,P,点的位置,P,(,x,y,z,),2.,矢量的运算法则,1,）加法,:,矢量加法是矢量的几何和，服从,平行四边形规则。,a.,满足交换律：,b.,满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示,:,其中：,矢量：,模的计算：,单位矢量：,方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,显然,：,2,）减法：换成加法运算,逆矢量：和 的模相等，,方向相反，互为逆矢量,。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,推论：,任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。,3,）乘法,（,1,）标量与矢量的乘积：,（,2,）矢量与矢量乘积分两种,a.,标量积（点积）：,两矢量点积的,含义：,一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。,在直角坐标系中,，,三个坐标轴是相互正交的,，即,两矢量点积：,结论,:,两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论,1,：满足交换律,推论,2,：满足分配律,推论,3,：,当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论,1,：不服从交换律：,推论,2,：服从分配律：,推论,3,：不服从结合律：,推论,4,：,当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.,矢量积（叉积）：,含义：,两矢量叉积，结果得一新矢量，其,大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积,，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,x,y,z,o,在直角坐标系中,，,三个坐标轴是相互正交的，即,例,1,：已知,求：垂直于 、所在平面的单位矢量。,解：已知,所得矢量垂直于 、所在平面。,（,3,）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量；,标量与矢量相乘。,标量；标量三重积：,三矢量中一个和另两个矢量的叉积相乘得到的点积。,矢量；矢量三重积：,三矢量中一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积。,a.,标量三重积,法则：,在矢量运算中，先算叉积，后算点积。,定义：,含义：标量三重积结果为,三矢量构成的平行六面体的体积。,注意：先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面的条件,:,在直角坐标系中：,三重矢量积,性质,：,不满足,交换律,规律：,将括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘，所得项为正，另一项为负。,结论,矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。,任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量,.,如果两个不为零的矢量的,点积等于零,，则这两个矢量必然,相互垂直,。,如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然,相互平行,。,