数据的概括性度量.

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,STAT,第 3章 数据的概括性度量,3.1 集中趋势的度量,3.2 离散程度的度量,3.3 偏态与峰态的度量,学 习 目 标,1.,集中趋势各测度值的计算方法,2.,集中趋势各测度值的特点及应用场合,3.,离散程度各测度值的计算方法,4.,离散程度各测度值的特点及应用场合,偏态与峰态的测度方法,用,Excel,计算描述统计量并进行分析,数据分布的特征,集中趋势,(位置),偏态和峰态,（形状）,离中趋势,(分散程度),数据分布特征的测度,数据特征的测度,分布的形状,集中趋势,离散程度,众 数,中位数,均 值,离散系数,方差和标准差,峰 态,四分位差,异众比率,偏 态,集中趋势,(central tendency),一,组数据,向其中心值靠拢,的倾向和程度,测度集中趋势就是寻找数据水平的,代表值或中心值,不同类型的数据用不同的集中趋势测度值,低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,测度值的选用取决于所掌握的数据的类型,3.1 集中趋势的测度,3.1 集中趋势的测度,一. 分类数据：,众数,二. 顺序数据：,中位数,和,分位数,三. 数值型数据：,均值,四. 众数、中位数和均值的比较,一. 分类数据：,众数,(,mode,),集中趋势的测度值之一,出现次数最多,的,变量值,不受极端值的影响,可能,没有众数,或有,几个众数,主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,众数,(不唯一性),无众数,原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数,原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数,原始数据: 25 28 28 36 42 42,分类数据的众数(例题分析),某城市居民关注广告类型的频数分布,广告类型,人数,(人),比例,频率(%),商品广告,服务广告,金融广告,房地产广告,招生招聘广告,其他广告,112,51,9,16,10,2,0.560,0.255,0.045,0.080,0.050,0.010,56.0,25.5,4.5,8.0,5.0,1.0,合计,200,1,100,解：这里的变量为“广告类型”，这是个分类变量，不同类型的广告就是变量值,在所调查的,200,人当中，关注商品广告的人数最多，为,112,人，占总被调查人数的,56%,，因此众数为“商品广告”这一类别，即,M,o,商品广告,顺序数据的众数,(例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”,甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为,108,户，因此众数为“不满意”这一类别，即,M,o,不满意,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),百分比 (%),非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,8,36,31,15,10,合计,300,100.0,顺序数据：中位数和分位数,中位数,(,median,),集中趋势的测度值之一,排序后处于中间位置上的值,M,e,50%,50%,不受极端值的影响,主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据,各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数,(位置的确定),未分组数值型数据：,顺序数据：,未分组数据的中位数,(计算公式),顺序数据的中位数,解：中位数的位置为 300/2150,从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此,M,e,=一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,数值型未分组数据的中位数,(9个数据的算例),【例】：,9个家庭的人均月收入数据,原始数据:,1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,排序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数,1080,数值型未分组数据的中位数,(10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据,原始数据: 1500 750 780 660 1080 850 960 2000 1250 1630,排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,四分位数,(quartile),1.集中趋势的测度值之一,2.排序后处于25%和75%位置上的值,3.,不受极端值的影响,4. 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据,Q,L,Q,M,Q,U,25%,25%,25%,25%,四分位数,(位置的确定),未分组数据：,顺序数据的四分位数,(例题分析),解：,Q,L,位置,=,(300)/4,=,75,Q,U,位置,=,(3300)/4,=,225,从累计频数看，,Q,L,在“不满意”这一组别中；,Q,U,在“一般”这一组别中。因此,Q,L,=,不满意,Q,U,=,一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,数值型未分组数据的四分位数,(9个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据,原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,数值型未分组数据的四分位数,(10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据,原始数据: 1500 750 780 660 1080 850 960 2000 1250 1630,排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,数值型数据：均值,均值,(,mean,),1.集中趋势的测度值之一,2.最常用的测度值,一组数据的均衡点所在,体现了数据的必然性特征,易受极端值的影响,用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据,简单均值,(simple mean),设一组数据为：,x,1,，,x,2,， ，,x,n,（,x,N,）,样本均值,总体均值,加权均值,(weighted mean),设各组的组中值为：,M,1,，,M,2,， ，,M,k,相应的频数为：,f,1,，,f,2,， ，,f,k,样本加权均值,总体加权均值,已改至此！,某电脑公司销售量数据分组表,按销售量分组,组中值（M,i,）,频数（f,i,）,M,i,f,i,140,-,150,150,-,160,160,-,170,170,-,180,180,-,190,190,-,200,200,-,210,210-220,220-230,230-240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,580,1395,2640,4725,3700,3315,2050,1720,900,1175,合计,120,22200,加权均值,(例题分析),加权均值,(权数对均值的影响),甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下,甲组： 考试成绩（,x,）: 0 20 100,人数分布（,f,）： 1 1 8,乙组： 考试成绩（,x,）: 0 20 100,人数分布（,f,）： 8 1 1,均值,(数学性质),1.,各变量值与均值的离差之和等于零,2.,各变量值与均值的离差平方和最小,调和平均数,(,harmonic mean,),1.,集中趋势的测度值之一,2.均值的另一种表现形式,易受极端值的影响,计算公式为,原来只是计算时使用了不同的数据！,调和平均数,(例题分析),某日三种蔬菜的批发成交数据,蔬菜,名称,批发价格(元),M,i,成交额(元),M,i,f,i,成交量(公斤),f,i,甲,乙,丙,1.20,0.50,0.80,18000,12500,6400,15000,25000,8000,合计,36900,48000,【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,几何平均数,(,geometric mean,),1. 集中趋势的测度值之一,2.,n,个变量值乘积的,n,次方根,3. 适用于对比率数据的平均,4. 主要用于计算平均增长率,5. 计算公式为,6.,可看作是均值的一种变形,几何平均数,(例题分析),【例】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率103.84%-1=3.84%,众数、中位数和均值的比较,众数、中位数和均值的关系,左偏分布,均值,中位数,众数,对称分布,均值,=,中位数,=,众数,右偏分布,众数,中位数,均值,众数、中位数和均值的特点和应用,众数,不受极端值影响,具有不唯一性,数据分布偏斜程度较大时应用,中位数,不受极端值影响,数据分布偏斜程度较大时应用,平均数,易受极端值影响,数学性质优良,数据对称分布或接近对称分布时应用,数据类型与集中趋势测度值,数据类型和所适用的集中趋势测度值,数据类型,分类数据,顺序数据,间隔数据,比率数据,适,用,的,测,度,值,众数,中位数,均值,均值,四分位数,众数,调和平均数,众数,中位数,几何平均数,四分位数,中位数,四分位数,众数,3.2 离散程度的测度,分类数据：异众比率,顺序数据：四分位差,数值型数据：方差及标准差,相对位置的测量：标准分数,相对离散程度：离散系数,离中趋势,数据分布的另一个重要特征,反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）,从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度,不同类型的数据有不同的离散程度测度值,分类数据：异众比率,异众比率,(,variation ratio,),1.离散程度的测度值之一,2.非众数组的频数占总频数的比率,3.计算公式为,4. 用于衡量众数的代表性,异众比率,(例题分析),某城市居民关注广告类型的频数分布,广告类型,人数(人),频率(%),商品广告,服务广告,金融广告,房地产广告,招生招聘广告,其他广告,112,51,9,16,10,2,56.0,25.5,4.5,8.0,5.0,1.0,合计,200,100,解：,在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势，其代表性不是很好,顺序数据：四分位差,四分位差,(,quartile deviation,),1.,离散程度的测度值之一,2.也称为内距或四分间距,3.上四分位数与下四分位数之差,Q,D,=,Q,U,-,Q,L,4.反映了中间50%数据的离散程度,不受极端值的影响,用于衡量中位数的代表性,四分位差,(顺序数据的算例),解：,设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5,已知,Q,L,=,不满意,=,2,Q,U,=,一般,=,3,四分位差：,Q,D,=,Q,U,=,Q,L,=,3 2,=,1,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,数值型数据：方差和标准差,极差(,range,),1. 一组数据的最大值与最小值之差,2. 离散程度的最简单测度值,3. 易受极端值影响,未考虑数据的分布,计算公式为,R,= max(,x,i,) - min(,x,i,),平均差,(,mean deviation,),1.,离散程度的测度值之一,2. 各变量值与其均值离差绝对值的平均数,3. 能全面反映一组数据的离散程度,4. 数学性质较差，实际中应用较少,5.,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差,(例题分析),某电脑公司销售量数据平均差计算表,按销售量分组,组中值(,M,i,),频数(,f,i,),140150,150160,160170,170180,180190,190200,200210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,40,30,20,10,0,10,20,30,40,50,160,270,320,270,0,170,200,240,160,250,合计,50,2040,平均差,(例题分析),含义：每一天的销售量平均数相比，,平均相差17台,方差和标准差,(,variance,and,standard deviation,),1.,离散程度的测度值之一,2.最常用的测度值,3.反映了数据的分布,反映了各变量值与均值的平均差异,根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,总体方差和标准差,(population,variance,and,standard deviation,),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,总体标准差,(例题分析),某电脑公司销售量数据平均差计算表,按销售量分组,组中值(,M,i,),频数(,f,i,),140150,150160,160170,170180,180190,190200,200210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,40,30,20,10,0,10,20,30,40,50,160,270,320,270,0,170,200,240,160,250,合计,120,55400,总体标准差,(例题分析),含义：,每一天的销售量与平均数相比，,平均相差21.49台,样本方差和标准差,(simple variance and standard deviation),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据,：,方差的计算公式,标准差的计算公式,注意：,样本方差用自由度n-1去除!,样本方差,自由度,(degree of freedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数,当样本数据的个数为,n,时，若样本均值,x,确定后，只有,n,-1,个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值,例如，样本有,3,个数值，即,x,1,=2,，,x,2,=4,，,x,3,=9,，,则,x,= 5,。,当,x,= 5,确定后，,x,1,，,x,2,和,x,3,有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如,x,1,=6,，,x,2,=7,，,那么,x,3,则必然取,2,，而不能取其他值,样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差,2,时，它是,2,的无偏估计量,样本方差与标准差,(例题分析),原始数据:,10 5 9 13 6 8,方差,标准差,相对位置的测量：标准分数,标准分数,(,standard score,),1.,也称标准化值,2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量,3.可用于判断一组数据是否有离群点,4.用于对变量的标准化处理,5. 计算公式为,标准分数,(,性质,),均值等于,0,2.,方差等于,1,标准分数,(,性质,),z,分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为,0,，标准差为,1,。,标准化值,(例题分析),9,个家庭人均月收入标准化值计算表,家庭编号,人均月收入（元）,标准化值,z,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1500,750,780,1080,850,960,2000,1250,1630,0.695,-1.042,-0.973,-0.278,-0.811,-0.556,1.853,0.116,0.996,经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时,约有,68%,的数据在平均数加减,1,个标准差的范围之内,约有,95%,的数据在平均数加减,2,个标准差的范围之内,约有,99%,的数据在平均数加减,3,个标准差的范围之内,切比雪夫不等式,(,Chebyshevs inequality,),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再使用，这时可使用切比雪夫不等式,，,它对任何分布形状的数据都适用,切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少和多少”,对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 的数据落在,k,个标准差之内。其中,k,是大于,1,的任意值，但不一定是整数,切比雪夫不等式,(,Chebyshevs inequality,),对于,k,=,2,，,3,，,4,，该不等式的含义是,至少有,75%,的数据落在平均数加减,2,个标准差的范围之内,至少有,89%,的数据落在平均数加减,3,个标准差的范围之内,至少有,94%,的数据落在平均数加减,4,个标准差的范围之内,相对离散程度：离散系数,离散系数,(,coefficient of variation,),1.,标准差与其相应的均值之比,对数据相对离散程度的测度,消除了数据水平高低和计量单位的影响,4.,用于对不同组别数据离散程度的比较,5.,计算公式为,离散系数,(例题分析),某管理局所属8家企业的产品销售数据,企业编号,产品销售额（万元）,x,1,销售利润（万元）,x,2,1,2,3,4,5,6,7,8,170,220,390,430,480,650,950,1000,8.1,12.5,18.0,22.0,26.5,40.0,64.0,69.0,【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数,(例题分析),结论：,计算结果表明，,v,1, 0,为右偏分布,4.,偏态系数, 0,为左偏分布,偏态系数,(,skewness coefficient,),根据原始数据计算,根据分组数据计算,偏态系数,(例题分析),某电脑公司销售量偏态及峰度计算表,按销售量份组(台),组中值(,M,i,),频数,f,i,140150,150160,160170,170180,180190,190200,200210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,-256000,-243000,-128000,-27000,0,17000,80000,216000,256000,625000,10240000,7290000,2560000,270000,0,170000,1600000,6480000,10240000,31250000,合计,120,540000,70100000,偏态系数,(例题分析),结论：,偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数,偏态与峰态,(从直方图上观察),按销售量分组(台),结论,：,1. 为右偏分布,2. 峰态适中,140,150,210,某电脑公司销售量分布的直方图,190,200,180,160,170,频,数,(天),25,20,15,10,5,30,220,230,240,峰 态,峰态,(,kurtosis,),统计学家,Pearson,于,1905,年首次提出,数据分布扁平程度的测度,峰态系数,=0,扁平峰度适中,峰态系数,0,为尖峰分布,峰态系数,(,kurtosis coefficient,),根据原始数据计算,根据分组数据计算,峰态系数,(例题分析),结论：,偏态系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布,用,Excel,计算描述统计量,用,Excel,计算描述统计量,将120的销售量的数据输入到Excel工作表中，然后按下列步骤操作：,第1步：选择“工具”下拉菜单,第2步：选择“数据分析”选项,第3步：在分析工具中选择“描述统计”，然后选择“确定”,第4步：当对话框出现时,在“输入区域”方框内键入数据区域,在“输出选项”中选择输出区域,选择“汇总统计”,选择“确定”,本章小节,1.数据水平的概括性度量,2.数据离散程度的概括性度量,数据分布形状的测度,用,Excel,计算描述统计量,结 束,THANKS,