三角形中的三角函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角形中的三角函数,三角形中的有关公式,1.,内角和定理,:三角形三内角之和为,即,A+B+C=,.,注,任意两角和与第三个角总互补;,任意两半角和与第三个角的半角总互余;,锐角三角形,三内角都是锐角,任两角和都是钝角,设,ABC,中,角,A、B、C,的对边为,a,、,b,、,c,任意两边的平方和大于第三边的平方.,三内角的余弦值为正值,(3),a,=2RsinA,b,=2RsinB,c,=2RsinC.,已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时,务必注意可能有两解.,(2)sinA=,sinB=,sinC=;,c,2R,a,2R,b,2R,2.,正弦定理,:=,=,=2R,(,R,为三角形外接圆的半径,),.,sinC,c,sinA,a,sinB,b,注,正弦定理的一些变式:,(1),a,:,b,:,c,=sinA:sinB:sinC;,AAS,ASA,SSA?,SSS,SAS,3.,余弦定理,:,a,2,=,b,2,+,c,2,-,2,bc,cosA,cosA=,等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状,.,b,2,+,c,2,-,a,2,2,bc,4.,射影定理,:,a,=,b,cosC+,c,cosB.,5.,面积公式,:,S,=,ah,a,=,a,b,sinC=,r,(,a,+,b,+,c,),(,其中,r,为三角形内切圆半径,),.,1,2,1,2,1,2,特别提醒,:(1),求解三角形中的问题时,一定要注意,A+B+C=,这一特性:A+B=,-,C,sin(A+B)=sinC,sin =cos,;,(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,.,A+B,2,C,2,应用一,:,解三角形,例1,设ABC,的三内角,A,B,C,成等差数列,三边长,a,b,c,的倒数也成等差数列,求三内角.,例3,在ABC,中,若面积为,S,且,2,S,=(,a,+,b,),2,-,c,2,求,tanC,的值.,A=B=C=60,提示,:令,A,-,C=2,可得:,4cos,2,-,3cos,-,1=0,得:,cos,=1,得:,A=C.,A=60,B=30,C=90,4,3,-,应用举例,例2,在ABC,中,已知,b,=3,c,=2 3,角,A,的平分线,AD=2,求三角形的三内角的度数.,应用二,:,判断三角形的形状,例1,ABC,中,若,sin,2,Acos,2,B,-,cos,2,Asin,2,B=sin,2,C,判断,ABC,的形状,.,直角三角形,例2,在,ABC,中,已知,=,试判断三角形的形状.,sin,2,A,-,sin,2,B+sin,2,C,sin,2,A+sin,2,B,-,sin,2,C,1+cos2B,1+cos2C,例4,在,ABC,中,已知,(,a,2,+,b,2,)sin(A,-,B)=(,a,2,-,b,2,)sinC,试判断三角形的形状.,例5,在ABC中,若,a,2,sin,2,B+,b,2,sin,2,A=2,ab,cosAcosB,(1)试判断三角形的形状;(2)若,cosB=4(1,-,cosA),求,ABC,三边,a,b,c,的比.,直角三角形或等腰三角形,正三角形,直角三角形或等腰三角形,直角三角形;8,:,15,:,17,例3,在,ABC,中,已知,(,a,+,b,+,c,)(,a,+,b,-,c,)=3,ab,sinA+sinB=,3,试判断三角形的形状.,应用三,:,三角形的证明,C,B,A,D,a,b,b,b,c,提示:,(1)法一:边换角,法二:角换边,(2)法一:边换角,法二:角换边,法三:构造图形,(3)作差换,c,2,即可.,差为:2(,a,2,+,b,2,),-,4,ab,sin(C+30,),2(,a,2,+,b,2,),-,4,ab=,2(,a,-,b,),2,0.,(,正三角形时取等号,),.,例1,在,ABC,中,求证:(1)=;,a,-,c,cosB,b,-,c,cosA,sinB,sinA,(2),a,2,-,2,ab,cos(60,+C)=,c,2,-,2,bc,cos(60,+A);,(3),a,2,+,b,2,+,c,2,4 3,S,(,S,为,ABC,的面积,),.,证:,由余弦定理知,cosA,cosB,cosC,为有理数,cos5,即,-,cosC,为有理数,而cos,=cos(A,-,B)=cosAcosB+sinAsinB,证明,sinAsinB,为有理数即可,(,由正弦定理可证,),.,或由 cos,cos5,=cos(,3,-,2,)cos(,3,+2,),=cos,2,3,cos,2,2,-,sin,2,3,sin,2,2,=cos,2,3,cos,2,2,-,(1,-,cos,2,3,)(1,-,cos,2,2,),=cos,2,A,cos,2,B,-,(1,-,cos,2,A,)(1,-,cos,2,B,),为有理数,且,cos,0,cos5,为有理数,知:,cos,为有理数,.,例2,已知,ABC,的三边均为有理数,A=3,B=2,试证,cos5,与,cos,均为有理数.,1.,ABC,中,A,B,的对边分别为,a,b,且,A=60,a,=,6,b,=4,那么满足条件的,ABC,()A.,有一个解,B.,有两个解,C.,无解,D.,不能确定,C,2.,在,ABC,中,AB,是,sinAsinB,成立的_条件.,充要,课后练习,3.,在,ABC,中,(1+tanA)(1+tanB)=2,则,log,2,sinC=,.,1,2,-,4.,ABC,中,a,b,c,分别是角,A,B,C,所对的边,若,(,a,+,b,+,c,),(sinA+sinB,-,sinC)=3,a,sinB,则,C=,.,a,2,+,b,2,-,c,2,4,3,5.,在,ABC,中,若其面积,S,=,则,C=,_.,60,30,6.在,ABC,中,a,=60,b,=1,其面积为,3,则,ABC,外接圆的直径是_,.,2,39,3,7.在,ABC,中,a,b,c,是角,A,B,C,的对边,a,=,3,cosA=,则,cos,2,=,b,2,+,c,2,的最大值为,.,1,3,B+C,2,9.设,O,是锐角三角形,ABC,的外心,若,C,=75,且,AOB,BOC,COA,的面积满足关系式,S,AOB,+,S,BOC,=,3,S,COA,求,A,.,(0,6,8.,在,ABC,中,AB=1,BC=2,则,角,C,的取值范围是,_.,1,3,9,2,45,10.在,ABC,中,已知,sinA=,cosB=,求,cosC,的值.,13,5,3,5,60B90,且,sinB=,1,-,cos,2,B,=,.,13,12,3,5,又sinA=,2,2,0A45,或,135A180.,A+B180,0A45.,cosA=,1,-,sin,2,A,4,5,=,.,cosC=,-,cos(A+B)=sinAsinB,-,cosAcosB,13,5,4,5,=,-,3,5,13,12,=,.,65,16,解:,在,ABC,中,cosB,=,13,5,1,2,解:,(1),(,a,+,c,)(,a,-,c,)=,b,(,b,-,c,),b,2,+,c,2,-,a,2,=,bc,.,11.锐角,ABC,中,a,、,b,、,c,分别是角,A、B、C,的对边.(1)若(,a,+,c,)(,a,-,c,)=,b,(,b,-,c,),求,A,的大小;(2),y,=2sin,2,B+sin(2B+,),取最大值时,求,B,的大小.,6,故由余弦定理得,cosA=,b,2,+,c,2,-,a,2,2,bc,1,2,=.,(2),y,=2sin,2,B+sin(2B+,)=1,-,cos2B+sin2Bcos +cos2Bsin,6,6,6,=1,-,cos2B+sin2B,1,2,3,2,=1+sin(2B,-,),2.,6,A,是锐角三角形的内角,0A .,2,A=,.,3,当且仅当,B=时取等号.,3,B=,.,3,12.已知,ABC,的三个内角,A,B,C,成等差数列,求,cosAcosC,的取值范围.,解:,ABC,的三个内角,A,B,C,成等差数列,2B=A+C,且,A+B+C=180.,B=60,C=120,-,A.,cosAcosC=cosAcos(120,-,A),=cosAcos120cosA+cosAsin120sinA,=,-,cos,2,A+,sinAcosA,3,2,1,2,=,-,(1+cos2A)+,sin2A,3,4,1,4,=,sin(2A,-,30),-,.,1,2,1,4,0A120,-,302A,-,30210.,-,sin(2A,-,30),1.,1,2,-,cosAcosC,.,1,2,1,4,1,4,1,2,即,cosAcosC,的取值范围是,(,-,.,13.,已知锐角,ABC,中,sin(A+B)=,sin(A,-,B)=,.(1),求证:tanA=2tanB;(2)设,AB=3,求,AB,边上的高.,3,5,1,5,(1),证:,sin(A+B)=,sin(A,-,B)=,3,5,1,5,sinAcosB+cosAsinB=,3,5,1,5,sinAcosB,-,cosAsinB=,sinAcosB=,2,5,1,5,cosAsinB=,tanA,tanB,=2.,tanA=2tanB.,(2),解:,由已知,A+B,sin(A+B)=,2,3,5,tan(A+B)=,-,.,3,4,tanA+tanB,1,-,tanAtanB,即 =,-,.,3,4,将tanA=2tanB代入上式并整理得:,2tan,2,B,-,4tanB,-,1=0.,解得:tanB=1+(负值舍去).,6,2,tanA=2tanB=2+,6,.,设,AB,边上的高为,CD,则:,3=AB=AD+DB=+,=,3CD,2+,6,CD,tanA,CD,tanB,CD=2+,6,.,AB,边上的高为,2+,6,.,