56 节 概率论与数理统计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,5.6,节 概率论与数理统计,一 各种统计分布函数,表,5-6-1,中列出了,20,种分布函数，统计工具箱提供了包括分布函数,cdf,(Cumulattive,Distribution Function),、概率密度函数,pdf,(Probability,Distribution Function),、分布函数的逆函数,inv,(Inverse,Cumulattive,Distribution Function),以及这些分布的理论统计特性（均值和方差）计算函数,stat,。,表,5-6-1 MATLAB,中表示各种概率分布的前缀文字,连续（数据）,连续（统计量）,离散（数据）,贝塔分布,(beta),2,分布,(Chi2),二项式分布,(,bino,).,指数分布,(exp),非中心,2,分布,(ncx2),离散均匀分布,(,unid,),-,分布,(,gam,),F-,分布,(f).,几何分布,(geo).,对数正态分布,(,logn,),非中心,F-,分布,(,ncf,),超几何分布,(,hyge,),正态分布,(norm),T-,分布,(t).,负二项式分布,(,nbin,),瑞利分布,(,rayl,),非中心,T,分布,-(,nct,),泊松分布,(,poiss,),均匀分布,(,unif,),韦伯,.,分布,(,weib,),表,5-6-1,的使用方法,把表中不同分布后面括号中的文字作为前缀，把所需计算的特性作为后缀，就可以组合成一个函数。例如,离散类,的二项式分布有,binopdf,binocdf,binoinv,binostat,四个函数，,连续类,数据的标准正态分布有,normpdf,normcdf,norminv,normstat,四个函数，,连续类统计量,的,2,分布有,chi2pdf,chi2cdf,chi2inv,chi2stat,四个函数，,等等，,20,种分布就有,80,个函数。由于各种分布函数的解析形式都是已知的，这些子程序的编写并不困难。,【,例,5-6-1】,概率分布曲线的绘制,【,例,5-6-1】(a),求标准正态分布,N(0,1),，自由度,V=10,的,2,分布和,N=10,p=0.2,的二项式分布,B(10,0.2),的分布函数，并画出其概率密度曲线和分布曲线；,(b),。求出分布函数为,0.05,和,0.95,处的随机变量值；,(c),。求出这几个分布的均值和方差。,解：分别键入,help,normpdf,help,binopdf,help chi2pdf,以了解它们的用法，特别是了解输入变元的意义，得知：,f=,normpdf(x,mu,sigma,),其中,x,为随机变量数组，,mu,为均值，,sigma,为标准差。,f=chi2pdf(x,V),其中,x,为随机变量数组，,V,为自由度数（整数），,f=,binopdf(x,N,p,),其中,x,为随机变量整数数组，,N,为次数，,0p1,为成功概率,概率分布参数的选择,题目中给出的变元参数应足以用来调用这些概率密度函数，只有随机变量,x,的取值及范围，需要事先对该分布的特性有所了解。首先要弄清它是离散量还是连续量，其次要取适当的范围。范围取小了不能显示分布的全局，取大了又可能显示不出细节。正确的取法应该使该范围内分布函数,F(x,),的左边界值略小于,0.025,，右边界值略大于,0.975,，这就可以基本涵盖随机变量以概率,95%,存在的主要区域，又不致涉及关系不大的区域。初学者往往要作几次试探才能做到。好在在计算机上改几个参数、作几次试探是很简便的事。,绘制概率分布函数的程序,exn561,x1=-3:0.1:3;%,标准正态随机变量取值范围,f1=normpdf(x1,0,1);%,标准正态分布的概率密度函数,F1=normcdf(x1,0,1);%,标准正态分布的分布函数,subplot(2,2,1),plot(x1,f1,:,x1,F1,-),grid on%,绘曲线,line(-4,4,0.025,0.025),line(-4,4,0.975,0.975)%,画横线,x2=0:0.1:20;%,试探得出的范围,f2=chi2pdf(x2,10);%2,分布的概率密度函数,F2=chi2cdf(x2,10);%2,分布的分布函数,subplot(2,2,2),plot(x2,f2,:,x2,F2,-),grid on%,绘曲线,line(0,20,0.025,0.025),line(0,20,0.975,0.975)%,画横线,);,.,运行程序得出图,5-40,，其中实线是分布函数的曲线，虚线则是密度函数的曲线。上下两根横线分别为,0.975,和,0.025,，,三种分布的概率密度和分布曲线,对分布函数图形的改进,第三个子图中，随机变量是离散取值的，在两个相邻的取值点之间的概率不会变化，所以它的分布函数表现为阶梯形。密度函数是分布函数的导数，所以在阶梯突变处导数为无穷大，宽度又为无穷小，面积等于阶梯的高度，通常用一个脉冲表示。脉冲的高度表示它所包含的面积，也就等于阶梯波形的高度。而,plot,函数画图是把各离散点之间用直线联接，所得的曲线是不对的。应该要用,stairs,命令画阶梯图，用,stem,命令画脉冲图。改正后的程序如下：,subplot(2,2,4),stairs(x3,F3,-),stem(x3,f3,:),图中第四子图给出了改正后的结果，可见其概率密度函数是离散的脉冲。从中还可以判断，,x3,的取值范围不必为,0:10,，取,0:5,就够了。另外，第二子图上的密度函数波形太小，如果对,f,和,F,取不同的纵坐标，那样可以得出更好的图形。,分布函数逆函数的用途,(b),给定分布函数,F=,（,1,）求出的,x,，简称,下分位点，习惯上用,表示。这和已知,x,求,cdf,恰好是逆函数的关系，即输入变元与输出变元恰好调换了位置，对正态分布情况，逆函数,norminv,的调用格式为,X=NORMINV(F,MU,SIGMA),其中,F,为给定的分布函数值，而,X,为对应的随机变量边界值。,题目中给定了的两个边界值,Fb,=0.05,0.95,，即,求对应的随机变量,x,的边界值,xb,。，随机变量在上下两个边界值,xb,(,即,/2,，,1-/2,),之间取值的置信度等于,1-,，其他参数与,normpdf,和,normcdf,中的相同。对于其他分布，可依此类推，不再赘述。,用逆函数求上下分位点,将边界值,Fb,作为输入变元，可求得相应的分位点。：,alpha=0.1;%,取双边,90%,的置信区间,Fb,=alpha/2,1-alpha/2%,输入变元,%,三种分布的双侧,分位点,lambda1=norminv(Fb,0,1),lambda2=chi2inv(Fb,10),lambda3=binoinv(Fb,10,0.2),程序运行后得到,lambda1=-1.6449 1.6449,lambda2=3.9403 18.3070,lambda3=,0 4,这就是三种分布函数下的双边,90%,置信区间,改变,alpha,的值，可得到各种不同置信度下的置信区间。,各种分布理论统计特性的计算,(c),。对以上,3,种分布，,MATLAB,还给出了它们的理论统计参数，即理论均值,Mu,和方差值,var,的计算方法，所用的命令为,stat,。例如,：,Mu1,var1=normstat(0,1),Mu2,var2=chi2stat(10),Mu3,var3=binostat(10,.2),运行结果为：,Mu1=0,，,var1=1,Mu2=10,，,var2=20,Mu3=2,，,var3=1.6000,本题虽然只给出了,3,种分布的计算，这些概念和方法可以类推到表,5-6-1,中,20,种分布的理论计算中。,概率分布演示工具,disttool,键入,disttool,就会出现一个图形界面,(,右图,),，其中有分布曲线，周围有各种参数和类型的选择窗。可以很方便地用鼠标操作改变参数和选择类型，得到相应的曲线。,二 随机样本数据的生成,stats,工具箱同时也提供了这,20,种分布的随机数生成程序,rnd,。均匀分布随机数的计算机生成本身就是一个研究了几十年的专题，其他分布的随机数通常又由均匀分布随机数进行变换而得。本书将不讨论它们的编程，只着重于它们的应用。下面的例子将说明这类函数的调用方法。,【,例,5-6-2】,按,例,5-6-1,的三种分布，分别生成,10000,个随机数，画出它们的直方图（分布图），并计算各自的数学期望和方差。,随机数生成及其直方图绘制,各种分布的随机数生成函数名为,rnd,。其中表示分布类型的前缀,由表,5-6-1,给出。绘制统计数据,Y,直方图的命令为,hist(Y,N,),，其中,N,为直方图的分区数目，其缺省值为,10,。例如：,Y1=normrnd(0,1,1,10000);,subplot(2,2,1),hist(Y1,50),Y2=chi2rnd(10,1,10000);,subplot(2,2,2),hist(Y2,50),Y3=binornd(10,0.2,1,10000);,subplot(2,2,3),hist(Y3,50),subplot(2,2,4),hist(Y3,8),得出的图,5-42,。,三种分布的随机数统计分布图,实际统计参数的计算,其中第三个分图的直方图各条宽度不均匀，这是由于二项式分布是离散数据，它的取值最大只可能到,10,。在目前实际数据中，最大只到,8,。因此，可改用以下的命令：,subplot(2,2,4),hist(Y3,8),得到符合一般直方图要求的第四个分图。把这些图与图,5-40,中的密度分布曲线相比，可见是非常相似的。,实际随机变量的样本均值,Xbar,样本的标准差,sigma,和样本方差,s2(,标准差的平方,),可用以下命令计算,Xbar1=mean(Y1),sigma1=std(Y1),s21=var(Y1),得出,Xbar1=0.0246,sigma1=1.0059,s21=1.0119,Xbar2=mean(Y2),sigma2=std(Y2),s22=var(Y2),得出,Xbar2=9.9947,sigma2=4.4453,s22=19.7605,Xbar3=mean(Y3),sigma3=std(Y3),s23=var(Y3),得出,Xbar3=1.9745,sigma3=1.2520,s23=1.5676,演示工具,randtool,生成的图形界面,键入,randtool,也会出现一个图形界面，如右图。其中有实际生成的随机数样本分布的曲线，周围有各种参数和类型的选择窗。可以方便地用鼠标和键盘改变参数，得到相应的曲线。,三 用样本推断总体的统计量,由实际样本值算出的统计量与例,5-6-1,中的理论值之间存在误差，而且样本统计量也是随机量。计算机每运行一次，所得到一组观察值,Yi,的统计量也会不同。它们也有各自的分布规律，比如对于,2,相同的正态分布总体，各样本组的标准化均值按,Z-,分布，各样本组的标准化方差按,2,分布。,当样本数取得很大时，根据中心极限定理，分布的误差就很小。这样得出的是总体统计量的一个（有误差的）估值，称为点估计法。如果样本数小，点估计法误差就会很大，甚至对人们造成误导。这时较好的方法是给出总体统计量一个取值区间（置信区间），并给出它在此区间取值的概率（置信度）。,在实际工程中，做试验往往是很费时费钱的。通常希望用最小的试验样本集来推断总体的统计量所取的数值范围，并且希望有相当的精度和可信度。,正态分布样本与总体统计量的关系,(a),。已知总体方差,2,，但均值,未知。要由样本均值 和方差,S,2,推断总体均值,。这时，样本均值标准化后的,Z,值满足正态分布：,（,5.6.1,）,(b