理论力学非惯性参考系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 非惯性参考系,5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换,固定坐标 惯性系,动坐标系 非惯性系,动坐标系：,A,=A,x,i,+,A,y,j,+A,z,k,固定坐标：,d,A,/dt=dA,x,/dt,i,+,dA,y,/dt,j,+dA,z,/dt,k,动坐标,+,A,x,d,i,/dt,+A,y,d,j,/dt,+A,z,d,k,/dt,动相对固定,动坐标系：,A,=A,x,i,+,A,y,j,+A,z,k,固定坐标：,d,A,/dt=dA,x,/dt,i,+,dA,y,/dt,j,+dA,z,/dt,k,+,A,x,d,i,/dt,+A,y,d,j,/dt,+A,z,d,k,/dt,讨论(1)仅有转动(角速度,相对固定坐标系）,d,r,/dt=,r,d,i,/dt,=,i,d,j,/dt,=,j,d,k,/dt,=,k,.,记,A,/dt=dA,x,/dt,i,+,dA,y,/dt,j,+dA,z,/dt,k,则有:,d,A,/dt =,A,/,t +,A,转动参考系算符变换：d/dt =,/,t +,例:质点的位置矢量,r,，求,v,，,a,。,解：,v,=d,r,/dt=,r,/,t +,r,=,v,相,+,v,牵,a,=d,2,r,/dt,2,=d(,r,/,t +,r,),/dt,=,(,r,/,t+,r,),/,t,+,(,r,/,t+,r,),=,2,r,/,t,2,+,(,r,),/,t,+,(,r,/,t,),+,(,r,),=,2,r,/,t,2,+(,/,t),r,+,(,r,),+,2,(,r,/,t,),=,a,相,+,a,牵,+,a,科,a,相,=,2,r,/,t,2,a,牵,=(,/,t),r,+,(,r,),a,科,=2,(,r,/,t,),d,A,/dt=,A,/,t +,A,运算公式：,A,B,C,=,B,(,A,C,),(A,B),C,(,r,)=,(,r,)-,2,r,=,2,(,OB,-,OP,)=-,2,R,对于角速度,，,角加速度为,=d,/dt=,/,t +,=,/,t,说明角加速度与坐标系无关,。,R,r,B,P,O,例：一等腰直角三角形OAB 在其自身平面内以匀角速绕 O 转动。P 点以匀相对速度沿AB边运动，当三角形转一周时，P 点走过AB，如AB=b，试求P点在A 时的绝对速度与绝对加速度。,P,A,B,y,z,x,O,(2)平动+转动,固定坐标系中位矢,r,I,与动坐标系,r,之间关系:,r,I,=,R,+,r,d,2,r,I,/dt,2,=d,2,R,/dt,2,+,d,2,r,/dt,2,=d,2,R,/dt,2,+,2,r,/,t,2,+(,/,t),r,+,(,r,)+2,(,r,/,t),或,a,=,a,平,+,a,相,+,r,-,2,R,+2,v,相,若等角加速度转动,=0，无平动加速度,a,平,=0，则：,a,=,a,-,2,R,+2,v,5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力,惯性系中：m d,2,r,I,/dt,2,=,F,非惯性系：,m,2,r,/,t,2,=,F,-md,2,R,/dt,2,+,r,+,(,r,)+2,v,=,F,eff,1、平移力,-md,2,R,/dt,2,动系平动加速,2、方位力,-m,r,动系转动加速,3、惯性离心力,-m,(,r,)动系相对固定系转动,4、科里奥利力,-2m,v,质点,相对动系运动,例：在光滑水平直管中有一质量为 m 的小球。此管以匀角速绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为 a,球相对管的速率为零，而的总长为 2a。,o,x,y,z,mg,N,z,N,y,F,c,m,2,x,v,v,z,v,x,求：(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；,(2)球从开始运动到离开管口时所需时间。,(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；,(2)球从开始运动到离开管口时所需时间,可证明，引入非惯性力,，质点动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。,例：角动量定理：,L,/,t=,(,r,m,v,),/,t,=,(,r,),/,t,m,v,+,r,m,v,/,t,=,r,(,F+F,惯性,),动能定理:,m,v,/,t=,F+F,惯性,m,v,r,/,t=(,F+F,惯性,),r,m,v,v,=(,F+F,惯性,),r,(mv,2,/2)=,(,F+F,惯性,),r,即:,T=,(,F+F,惯性,),r,拉格朗日方程导出惯性力,5.3 拉格朗日函数的不确定性 非惯性系中的拉格朗日函数,1、若两个拉格朗日函数 L,1,和 L,2,只相差一函数f(q,t)的全微商df/dt，则L,1,和 L,2,是等价的。,证明：设 L,2,=L,1,+df(q,t)/dt，只要证明由L,1,和 L,2,所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。,2、非惯性系中的拉格朗日函数,设有三个参考系：S为惯性系，S,1,为相对S以,v,o,(t)作平动，S 与S,1,有共同原点，但相对S,1,以,o,(t)转动。设粒子在S系速度为,v,，在S,1,系速度为,v,1,，则,v,=,v,1,+,v,o,(t)，所以S系中单粒子的拉格朗日函数为：,例：在非惯性系中由拉格朗日方程导出单粒子的牛顿运动方程。,解：,