空间向量基本定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量基本定理,北师大版选修（2-1）,第二章 空间向量与立体几何,1 平面向量与空间向量的标准正交分解,在给定的空间直角坐标系中,，,i,，,j,，,k,分别为x轴y轴z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量 ，存在,唯一,一组三元有序实数对 ，使得 ，我们把 叫做 的,标准正交分解,，把,i,，,j,，,k,叫做标准正交基,。,思考：,平面向量除了标准正交分解之外，还有其他的分解方式吗？空间向量呢？,解析：如图所示,回顾与思考,思考：,平面向量的运算可以推广到空间向量，那么平面向量基本定理可以推广到空间向量吗?,是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量 都可以表示为 ，其中 是一对,唯一,的实数。,2 平面向量基本定理,回顾与思考,是空间中三个,不共面,的向量，则空间中的任一向量 都可以表示为 ，其中 是一对,唯一,的实数。,空间向量基本定理：,如果向量 是空间三个,不共面,的向量，是空间任一向量，那么存在,唯一,一组实数 ，使得,归纳新知,思考：,这个定理该如何证明呢？,如果向量 是空间三个,不共面,的向量，是空间任一向量，那么存在,唯一,一组实数 ，使得,归纳新知,分析：,如图，把,的起点移到同一点，记,空间向量基本定理：,归纳新知,相关概念：,如果向量 是空间三个,不共面,的向量，是空间任一向量，那么存在,唯一,一组实数 ，使得,（1）,如果向量 是空间三个不共面的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 ，使得,空间中三个不共面的向量 叫做这个空间的一个,基底,。（1）式表示向量 关于基底 的分解。,思考探究,思考：,当向量 两两垂直，此时的分解具有什么特点？若还有 呢？,解析：,当向量 两两垂直时，得到这个向量的正交分解；若还有模为1，就是上节课学的标准正交分解。,空间中三个不共面的向量 叫做这个空间的一个,基底,。（1）式表示向量 关于基底 的分解。,x,y,z,Q,P,O,对于空间向量的基底的理解：,1 空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；,2 三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；,3 基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量；,4 通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底；,归纳新知,5 空间中任一向量都可由一个基底生成。,思考：,是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？,思考探究,解析：,可以。能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示。,能举例说明吗？,例题讲解,解析：,利用向量的加减反推，再用 表示。,例题讲解,解析：,各基向量的系数由其分解形式决定，基底选定，系数唯一确定。,课堂练习,B,课堂练习,C,今天的学习你有何收获？,课时小结,课堂练习,