层次分析法原理

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,层次分析法原理,章牧,暨南大学 旅游实验教学中心,暨南大学深圳旅游学院 地理信息系统与旅游信息技术实验室,背景介绍,AHP(Analytic Hierarchy Process),层次分析法是美国运筹学家,Saaty,教授于二十世纪,80,年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。,该方法自,1982,年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。,2,层次分析法的基本思路：先分解后综合,整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。,首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。,3,用,AHP,分析问题大体要经过以下五个步骤：,（,1,）建立层次结构模型；,（,2,）构造判断矩阵；,（,3,）层次单排序；,（,4,）一致性检验；,（,5,）层次总排序。,其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。,4,常,规,思,维,过,程,确定这些准则在你心目中各占的比重多大；,将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。,就每一准则将三个地点进行对比；,实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如假期某人想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：风光绮丽的杭州（,P1,）、迷人的北戴河（,P2,）和山水甲天下的桂林（,P3,）。假如选择的标准和依据（行动方案准则）有,5,个：,景色，费用，饮食，居住和旅途,。则常规思维的方式如下：,5,目标层,Z,选择旅游目的地,景色,费用,居住,饮食,旅途,准则层,C,方案层,P,选择旅游地的层次结构,拟解决的问题,（总目标）,为实现总目标而采取的措施和方案,用于解决问题的备选方案,（,1,）建立层次结构模型,6,通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行定量显示，引进了矩阵判断标度（,1,9,标度法）,:,（,2,）构造判断矩阵,标度,含义,1,表示两个元素相比，具有同样的重要性,3,表示两个元素相比，前者比后者稍重要,5,表示两个元素相比，前者比后者明显重要,7,表示两个元素相比，前者比后者极其重要,9,表示两个元素相比，前者比后者强烈重要,2,，,4,，,6,，,8,表示上述相邻判断的中间值,倒数：若元素,i,和元素,j,的重要性之比为,aij,那么元素,j,与元素,i,的重要性之比为,aji,=1/aij,对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是,1:1,，强烈重要就是,9:1,，也可以取中间数值,6:1,等，两两比较，把数值填入，并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是,1,的正反矩阵即可）。,7,选择旅游目的地,景色,费用,居住,饮食,旅途,设准则层包含,5,个准则，景色：,C,1,，费用：,C,2,，居住：,C,3,，饮食：,C,4,，旅途：,C,5,。相对于目标层：选择旅游地，进行两两比较打分。,8,相对于景色,相对于费用,相对于居住,相对于饮食,相对于旅途,构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵,9,所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次各因素的重要性的排序。,具体计算是：对于判断矩阵,B,，计算满足 的特征根与特征向量。,（,3,）层次单排序,式中 为 的最大特征根，为对应于 的正规化的特征向量，的分量 即是相应元素单排序的权值。,10,基本概念,什么是权重（权系数）？,注意，,X,1,，,X,2,，,，,X,n,中有的不是基数变量，而有可能是序数变量如舒适程度或积极性之类。,小石块,W1,小石块,Wn,小石块,W2,设想：把一块单位重量的石头砸成,n,块小石块,在决策问题中，通常要把变量,Z,表示成变量,x,1,，,x,2,，,，,x,n,的线性组合：,n,n,x,w,x,w,x,w,z,+,+,+,=,L,2,2,1,1,其中,.,则 叫各因素对于目标,Z,的权重，,叫权向量,.,n,w,w,w,.,2,1,1,0,1,=,=,n,i,i,i,w,w,T,w,n,w,2,w,1,w,),.,(,=,11,利用判断矩阵计算各因素,C,对目标层,Z,的权重（权系数）,b.,对 按行求和得：,a.,将,A,的每一列向量归一化得：,c.,将,归一化,，,即为近似特征根（权向量）,d.,计算,，,作为最大特征根的近似值。,例,：,列向量,归一化,按行求和,归一化,268,.,0,972,.,0,760,.,1,091,.,0,077,.,0,1,.,0,364,.,0,308,.,0,3,.,0,545,.,0,615,.,0,6,.,0,=,1,4,/,1,6,/,1,4,1,2,/,1,6,2,1,A,=,=,n,i,i,i,w,Aw,n,1,),(,1,l,=,=,n,j,ij,i,w,w,1,=,=,n,i,ij,ij,ij,a,a,w,1,/,w,=,089,.,0,324,.,0,587,.,0,=,268,.,0,974,.,0,769,.,1,Aw,009,.,3,),089,.,0,268,.,0,324,.,0,974,.,0,587,.,0,769,.,1,(,3,1,=,+,+,=,l,T,n,n,i,i,i,i,w,w,w,w,w,w,w,),.,(,/,2,1,1,=,=,=,i,w,ij,w,得到排序结果,：,w,=(0.588,0.322,0.090),T,max,=3.009,12,矩阵与向量的乘积计算：,=,Aw,1,4,/,1,6,/,1,4,1,2,/,1,6,2,1,089,.,0,324,.,0,587,.,0,=,268,.,0,974,.,0,769,.,1,13,判断矩阵的一致性检验,（,1,）一致性指标：,判断矩阵通常是不一致的，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许的范围内,.,如何确定这个范围？,CI=0,时,A,一致；,CI,越大，,A,的不一致性程度越严重。,（,3,）一致性比率（用于确定,A,的不一致性的容许范围）,n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51,（,2,）随机一致性指标,RI,：,当,CR0.1,时，,A,的不一致性程度在容许范围内，此时可用,A,的特征向量作为权向量。,RI,CI,CR,=,1,-,-,=,n,n,CI,l,14,第一步：自上而下，先求判断矩阵,A,的最大特征根与特征向量。,对应于 的正规化的特征向量为：,15,第二步：计算与准则层各准则相关的判断矩阵最大特征跟及权向量：,相对于景色,经计算得：,对应于 的正规化的特征向量为：,16,第三步，算出 的最大特征值分别为：,所对应的特征向量分别为：,17,（,4,）一致性检验,前述计算得到了最大特征跟：,查表知平均随机一致性指标,RI,，从而可检验矩阵一致性：,同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五个判断矩阵的一致性检验均通过。,18,选择旅游地,景色,费用,居住,饮食,旅途,利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：,19,以 为列向量构成矩阵：,20,决策结果是首选旅游地为 ，其次为 ，再次为,。,一般地，若层次结构由,k,个层次（目标层算第一层），则方案的优先程度的排序向量为,:,（,5,）层次总排序,各个方案优先程度的排序向量为：,21,范例一,某单位拟从,3,名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。借助,AHP,方法对,3,人进行综合评估，并最终完成量化排序。,建立层次结构模型,目标层,选一领导干部,健康状况,业务知识,口才,写作能力,工作作风,准则层,方案层,政策水平,22,健康情况,业务知识,写作能力,口才,政策水平,工作作风,健康情况,业务知识,写作能力,口才,政策水平,工作作风,A,的最大特征值,相应的特征向量为：,23,假设,3,名候选人关于,6,个标准的判断矩阵为：,健康情况,业务知识,写作能力,口才,24,政策水平,工作作风,由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。,特征值,健康情况 业务知识 写作能力 口才 政策水平 工作作风,3.02,3.02,3.56 3.05 3.00 3.21,各属性的最大特征值,25,从而有,即在,3,名候选人中应选择,A,担任领导职务。,26,某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。为了进一步促进企业发展，比如调动职工的积极性、提高企业的技术水平、引进新设备等。如何合理使用这笔利润。,范例二 合理分配资金的决策,27,层次结构建模,合理利用企业利润,Z,调动职工的积极性,C,1,提高企业的技术水平,C,2,改善职工的生活条件,C,3,发奖金,P,1,扩建福利事业,P,2,引进新设备,P,3,28,计算求解,Z-C,矩阵,Z,C1 C2 C3,W,C1,C2,C3,1 1/5 1/3,5 1 3,3 1/3 1,0.105,0.637,0.258,CI,RI,CR,3.038,0.019,0.58,0.00330.1,OK,29,C-P,矩阵,C,1,P,1,P,2,W,P,1,P,2,1 3,1/3 1,0.75,0.25,CI,1,RI,2,0,0,OK,C,2,P,2,P,3,W,P,2,P,3,1 1/5,5 1,0.167,0.833,CI,2,RI,2,0,0,OK,0.75,0.25,0,0,0.167,0.833,30,C,3,P,1,P,2,W,P,1,P,2,1 2,1/2 1,0.667,0.333,CI,3,RI,2,0,0,OK,0.667,0.333,0,31,Z-P,矩阵,Z,P,C,1,C,2,C,3,0.105 0.637 0.258,总排序权值,P,1,P,2,P,3,0.75 0 0.667,0.25 0.167 0.333,0 0.833 0,0.251,0.218,0.531,CI,RI,CR,0.105CI,1,+0.637CI,2,+0.258CI,3,=0,0,0P,1,P,2,32,范例三,33,34,35,36,37,38,39,40,参考素材：部分层次结构模型,素材一：有三个后备干部候选人,Y1,，,Y2,，,Y3,，选拔的标准为品德，才能，资力，年龄，群众关系等五个因素，则其层次结构可表述为：,选拔干部,品,德,资,力,群,众,关,系,年,龄,才,能,Y1,Y2,Y3,41,素材二：科技成果的综合评价，使用以下层次结构模型：,直接,经济,效益,C,11,间接,经济,效益,C,12,社会,效益,C,13,学识,水平,C,21,学术,创新,C,22,技术,水平,C,23,技术,创新,C,24,效益,C,1,水平,C,2,规模,C,3,科技成果评价,待评价的科技成果,42,工作选择,贡,献,位,置,收,入,发,展,声,誉,关,系,供选择的岗位,国家综合实力,国民,收入,对外,贸易,军事,力量,科技,水平,社会,稳定,美、俄、中、日、德等大国,素材三：大学生择业的决策，构建以下层次结构模型：,素材四：对国家综合实力的评估，适用以下层次结构模型：,43,过河的效益,A,经济效益,B,1,社会效益,B,2,环境效益,B,3,节省时间,C,1,收入,C,2,岸间商业,C,3,当地商