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4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切,要点梳理,1.cos（,-,）=cos,cos,+sin,sin,(C,-,),cos(,+,)=,(C,+,),sin(,-,)=sin,cos,-cos,sin,(S,-,),sin(,+,)= (S,+,),cos,cos,-sin,sin,sin,cos,+cos,sin,基础知识 自主学习,前面4个公式对任意的,，,都成立，而后面两个,公式成立的条件是,(T,+,需满足),(T,-,需满足),k,Z,时成立，否则是不成立的.当,tan,、tan,或tan（,）的值不存在时，,不能使用公式T,处理有关问题，应改用诱导,公式或其它方法来解.,2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进,行适当的变换：,=(,+,)-,=(,-,),+,，2,=（,+,）+（,-,），,2,=（,+,）-（,-,）等等.,3.,二倍角公式,sin 2,=,;,cos 2,=,=,=,;,tan 2,=,.,2sin,cos,cos,2,-sin,2,2cos,2,-1,1-2sin,2,4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用,公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用,等.如T,可变形为：,tan,tan,=,tan,tan,=,5.函数,f,（,）=,a,cos,+,b,sin,(,a,b,为常数)，可以,化为,f,（,）=,或,f,（,）=,，其中,可由,a,，,b,的值唯一,确定.,tan(,)(1,tan,tan,),=,.,基础自测,1.cos 43cos 77+sin 43cos 167的值为,（ ）,A. B. C. D.,解析,原式=cos 43cos(90-13),+sin 43cos(180-13),=cos 43sin 13-sin 43cos 13,=sin(13-43)=-sin 30=,B,2.,( ),解析,由已知可得,C,3.,（,2009,陕西理，,5,）,若,3sin,+cos,=0,则,的值为（ ）,A. B. C. D.-2,解析,3sin,+cos,=0,则,A,4.,已知,tan(,+,)=3,，,tan(,-,)=5,，则,tan 2,等于（ ）,A. B. C. D.,解析,tan 2,=tan,(,+,)+(,-,),D,5.,（,2009,上海理，,6,）,函数,y,=2cos,2,x,+sin 2,x,的最,小值是,.,解析,y,=2cos,2,x,+sin 2,x,=1+cos 2,x,+sin 2,x,y,最小值,=1- .,题型一 三角函数式的化简、求值,(1)从把角,变为 入手,合理使用,公式.,(2)应用公式把非10角转化为10的角,切,化弦.,题型分类 深度剖析,解,（1）原式,（1）三角函数式的化简要遵循“三看”,原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.,（2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特,殊角，解决这类问题的基本思路有：,化为特殊角的三角函数值；,化为正、负相消的项，消去求值；,化分子、分母出现公约数进行约分求值.,知能迁移1,解,题型二 三角函数的给值求值,角的变换：所求角分拆成已知角的,和、差、倍角等，综合上述公式及平方关系.,解,角的变换,：转化为同角、特殊角、已,知角或它们的和、差、两倍、一半等；如,=(,+,)-,=(,-,)+,2,=(,+,)+,(,-,),等；,函数变换：弦切互化，化异名为同名.,综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范,围对函数值的影响.当出现互余、互补关系，利用,诱导公式转化.,知能迁移2,已知,( ),解析,答案,A,题型三 三角函数的给值求角,已知tan(,-,)= ,tan,= ,且,(0,),求2,-,的值.,对角2,-,拆分为,+(,-,);,拆,分为(,-,)+,先求tan,再求tan(2,-,).,解,2,-,=,+(,-,)(-,0).,tan(2,-,)=tan,+(,-,),(1)通过求角的某种三角函数值来求,角,在选取函数时,遵照以下原则:已知正切函数,值,选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦,或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦,皆可；若角的范围是（0，），选余弦较好；,若角的范围为 ，选正弦较好.,（2）解这类问题的一般步骤为：,求角的某一个三角函数值；,确定角的范围；,根据角的范围写出所求的角.,知能迁移3,已知,(1)求sin,的值；,(2)求,的值.,解,题型四 三角函数的综合应用,（12分）已知,、,为锐角，向量,a,=,(cos,sin,),b,=(cos,sin,),c,(1)若,a,b,= ,a,c,= ,求角2,-,的值;,(2)若,a,=,b,+,c,，求tan,的值.,（1）由 及,a,b,c,的坐标，可求出关于,、,的三角函数值，进,而求出角.,（2）由,a,=,b,+,c,可求出关于,、,的三角恒等式，,利用方程的思想解决问题.,解,（1）,a,b,=（cos,，sin,）,（cos,，sin,）,=cos,cos,+sin,sin,2分,4分,6分,8分,10分,（1）已知三角函数值求角，一定要,注意角的范围.,（2）求有关角的三角函数问题，有时构造等式，,用方程的思想解决更简单、实用.,12分,知能迁移4,（2009广东理，16）,已知向量,a,=,(sin,-2)与,b,=(1,cos,)互相垂直,其中,(1)求sin,和cos,的值;,解,方法与技巧,1.巧用公式变形：,和差角公式变形：tan,x,tan,y,=tan(,x,y,),(1,tan,x,tan,y,);,倍角公式变形:降幂公式,配方变形：,思想方法 感悟提高,2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.,y,=,a,sin,+,b,cos,=,(,+,)(其,中tan,= )有:,3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变,角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽,可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能,减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可,能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、,化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、,所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，,再选择适当的三角公式恒等变形.,4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值,的技巧：把已知条件的和角进行加减或2倍角后,再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，,就可以从此入手，给这个等式两边求某一函,数值，可使所求的复杂问题简化！,5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重,视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会,公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公,式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用,倍角公式及其变形.,失误与防范,1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注,意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次,的灵活运用，要注意“1”的各种变通.,2.在(0,)范围内，sin(,+,)= 所对应的,角,+,不是唯一的.,3.在三角求值时，往往要估计角的范围后求值.,一、选择题,1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值,为 （ ）,A. B. C. D.,解析,原式,=sin 45cos 15-cos 45,sin 15,C,定时检测,2.,（ ）,解析,B,3.,（ ）,解析,A,4.,已知向量,( ),解析,B,5.,（ ）,解析,A,6.,在,ABC,中,角,C,=120,tan,A,+tan,B,=,，则,tan,A,tan,B,的值为,( ),A. B. C. D.,解析,tan(,A,+,B,)=-tan,C,=-tan 120= ,B,二、填空题,7.,.,解析,8.,.,解析,2,9.,已知,.,解析,三、解答题,10.化简：,解,11.已知函数,(1)求,f,(,x,)的周期和单调递增区间；,(2)若关于,x,的方程,f,(,x,)-,m,=2在 上有解,求实数,m,的取值范围.,解,12.已知向量,a,=(3sin,cos,),b,=(2sin,5sin,-4cos,),(1)求tan,的值；,解,（1）,a,b,，,a,b,=0.,而,a,=(3sin,cos,),b,=(2sin,5sin,-4cos,),故,a,b,=6sin,2,+5sin,cos,-4cos,2,=0.,由于,cos,0,6tan,2,+5tan,-4=0.,且,a,b,.,返回,
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