创新设计2011第十二章 概率与统计12-60

又能,了解离散型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列,1,随机变量,：,如,果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变,量叫做随机变量随机变量常用希腊字母,、,等表示,2,离散型随机变量,：,对,于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列,出，这样的随机变量叫做离散型随机变量,第十二章 概率与统计,第,60,课时 离散型随机变量的分布列,3,分布列,：,设,离散型随机变量,可能取的值为,x,1,，,x,2,，,，,x,i,，,，,取每一个值,x,i,(,i,1,2,，,),的概率为,P,(,x,i,),p,i,，则称表,为随机变量,的概率分布，简称,的分布列,4,分布列的两个性质,(1),p,i,0,，,i,1,2,，,；,(2),p,1,p,2,1.,x,1,x,2,x,i,P,p,1,p,2,p,i,5,二项分布,：,在,一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在,n,次,独立重复试验中这个事件发生的次数,是一个随机变量如果在一次试验,中某事件发生的概率是,p,，那么在,n,次独立重复试验中这个事件恰好发生,k,次,的概率是,P,n,(,k,),p,k,q,n,k,，,(,k,0,1,2,，,，,n,，,q,1,p,),于是得到随机变量,的概率分布如下：,0,1,n,P,由于,恰好是二项展开式,(,q,p,),n,中的各项的值，,所以称这样的随机变量,服从二项分布，记作,B,(,n,，,p,),，,其中,n,，,p,为参数，并记,b,(,k,；,n,，,p,),6,几何分布,：,在,独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数,也,是一个正整数的离散型随机变量,“,k,”,表示在第,k,次独立重复试验时事,件第一次发生如果把,k,次试验时事件,A,发生记为,A,k,、事件,A,不发生记为 ，,P,(,A,k,),p,，,P,(),q,(,q,1,p,),，那么,P,(,k,),P,(,),P,(,A,k,1,),P,(,A,k,),q,k,1,p,(,k,0,1,2,，,，,q,1,p,),于是得到随机变量,的概率分布如下：,称这样的随机变量,服从几何分布，记作,g,(,k,，,p,),q,k,1,p,，,其中,k,0,1,2,，,1,2,3,k,P,p,pq,q,2,p,q,k,1,p,1,若随机变量,的概率分布列为,且,p,1,p,2,，则,p,1,等于,(,),A.B.C.D.,解析：,由,p,1,p,2,1,且,p,2,2,p,1,可解得,p,1,答案：,B,x,1,x,2,P,p,1,p,2,2,随,机变量,服从二项分布即,B,(6,，,),，则使,b,(,k,；,6,，,),，,取得最大值的,k,为,(,),A,3 B,4 C,5 D,6,解析：,b,(,k,；,6,，,),当,k,3,时，,b,(,k,；,6,，,),取得最大值,答案：,A,3,某厂生产电子元件，其产品的次品率为,5%,，现从一批产品中，任意地连续取出,2,件，其中次品数,的概率分布是,0,1,2,P,解析：,由,题意,“,任意连续取出,2,件,”,可认为两次独立重复试验，则次品数,服从二项分布即,B,(2,0.05),P,(,0),0.95,2,0.902 5,；,P,(,1),0.95,0.05,0.095,；,P,(,2),0.05,2,0.002 5.,则,的概率分布为,答案：,0.902 5,0.095,0.002 5,0,1,2,P,0.902 5,0.095,0.002 5,4,两封信随机投入,A,、,B,、,C,三个空邮箱，则,A,邮箱的信件数,的数学期望,E,_.,0,1,2,P,解析：,随,机变量,的分布列为：,则,E,0,1,2,答案：,求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定,的取值情况，,然后利用排列、组合与概率知识求出,取各个值的概率,分布列中随机变量取值的概率都在,0,1,，同时所有概率和一定等于,1.,离散型随机变量的分布列实质上是用表格统计数据的一种方法，第一行数,字是对一次试验可能出现的所有基本事件分类的代号，而第二行数据是第,一行数据表示的事件所对应的概率,【,例,1,】,从,一批有,10,个合格品与,3,个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下，,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数,的分布列：,(1),每次取出的产品都不放回此批产品中；,(2),每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；,(3),每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中,解答：,(1),的,取值为,1,2,3,4,，,当,1,时，即只取一次就取得合格品，故,P,(,1),；,当,2,时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，,故,P,(,2),；,类似地，有,P,(,3),，,P,(,4),，,所以，,的分布列为：,1,2,3,4,P,(2),的取值为,1,2,3,，,，,n,，,.,当,1,时，即第一次就取到合格品，故,P,(,1),；,当,2,时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，,故,P,(,2),；,当,3,时，即第一、第二次均取到次品，而第三次取到合格品，,故,P,(,3),；,类似地，当,n,时，即前,n,1,次均取到次品，而第,n,次取到合格品，,故,P,(,n,),，,n,1,2,3,，,因此，,的分布列为：,1,2,3,n,P,(3),的取值为,1,2,3,4,，,当,1,时，即第一次就取到合格品，故,P,(,1),；,当,2,时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取时，,这批产品有,11,个合格品，,2,个次品，故,P,(,2),；,类似地，,P,(,3),，,P,(,4),，,因此，,的分布列为：,1,2,3,4,P,变式,1.,袋,中装有黑球和白球共,7,个，从中任取,2,个球都是白球的概率为,.,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取,1,球，甲先取，乙后取，然后甲再取,取后,不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出,的机会是等可能的，用,表示取球终止时所需要的取球次数,(1),求袋中原有白球的个数；,(2),求随机变量,的概率分布；,(3),求甲取到白球的概率,解答：,(1),设,袋中白球共有,x,个，根据已知条件 ，即,x,2,x,6,0,，,解得,x,3,，或,x,2(,舍去,),(2),表示取球终止时所需要的次数，则,的取值分别为：,1,2,3,4,5.,因此，,P,(,1),，,P,(,2),，,P,(,3),，,P,(,4),，,P,(,5),.,则随机变量,分布列为：,1,2,3,4,5,P,(3),甲取到白球的概率为,P,.,二项分布是常见的离散型随机变量的分布一般地，如果能考虑的试验可以看做是一个只有两个可能结果,A,和 的独立重复试验，则,n,次试验中,A,发生的次数,服从二项分布注意在实际应用中往往出现数量,“,较大,”,、,“,很大,”,、,“,非常多,”,等字眼，这表明试验可视为独立重复试验,【,例,2,】,甲,、乙两人各进行,3,次射击，甲每次击中目标的概率为 ，,乙每次击中目标的概率为,.,(1),记甲击中目标的次数为,，求,的概率分布及数学期望,E,；,(2),求乙至多击中目标,2,次的概率；,(3),求甲恰好比乙多击中目标,2,次的概率,解答：,(1),甲,击中目标的次数,服从二项分布,B,(3,，,),，,E,.,(2),乙每次击中目标的概率为,.,则乙至多击中目标,2,次的概率为,P,1,1,(3),甲恰好比乙多击中目标,2,次的概率为,P,2,.,抛掷两个骰子，当至少有一个,5,点或一个,6,点出现时，就说这次试验成,功，求在,5,次试验中成功次数,的分布列,解答：,一次试验成功的概率为,1,.,所以,服从二项分布，,B,(5,，,),，因此随机变量,的分布列为,0,1,2,3,4,5,p,变式,2.,几何分布与二项分布一样是常见的离散型随机变量的分布，也是以独立重复试验问题为背景，但试验的次数不是有限的，随机变量的取值是所有正整数，而通常遇到的问题多数是,“,准几何分布,”,【,例,3,】,某,射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为,且各次射击的结果互不影响,(1),求射手在,3,次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；,(,用数字作答,),(2),求射手第,3,次击中目标时，恰好射击了,4,次的概率；,(,用数字作答,),(3),设随机变量,表示射手第,3,次击中目标时已射击的次数，求,的分布列,解答：,(1),记,“,射手射击,1,次，击中目标,”,为事件,A,，,则在,3,次射击中至少有两次连续击中目标的概率,P,1,P,(,A,A,),P,(,A,A,),P,(,A,A,A,),.,(2),射手第,3,次击中目标时，恰好射击了,4,次的概率,P,2,.,(3),由题设，,“,k,”,的概率为,P,(,k,),(,k,N,*,且,k,3),所以,的分布列为,3,4,k,P,1,首先要明确离散型随机变量分布列的意义：第一行数字是随机变量的取,值，它分别代表了一系列事件；而第二行数字是第一行数字代表事件所对,应的概率,2,可根据离散型随机变量分布列的性质，通过求和或求无穷数列各项的和,(,数列极限,),检验列表的正确与否,.,【,方法规律,】,(,本题满分,12,分,),袋,中装着标有数字,1,2,3,4,5,的小球各,2,个从袋中任取,3,个小,球，按,3,个小球上最大数字的,9,倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，,用,表示取出的,3,个小球上的最大数字，求：,(1),取出的,3,个小球上的数字互不相同的概率；,(2),随机变量,的概率分布和数学期望；,(3),计分介于,20,分到,40,分之间的概率,.,解答：,(1),解法一：,“,一,次取出的,3,个小球上的数字互不相同,”,的事件记,为,A,，则,P,(,A,),.,解法二：,“,一,次取出的,3,个小球上的数字互不相同,”,的事件记为,A,，,“,一次取出的,3,个小球上有两个数字相同,”,的事件记为,B,，,则事件,A,和事件,B,是对立事件，因为,P,(,B,),所以,P,(,A,),1,P,(,B,),.,【,答题模板,】,(2),由,题意，,可能的取值为：,2,3,4,5.,P,(,2),；,P,(,3),；,P,(,4),；,P,(,5),.,所以随机变量,的概率分布为：,则,的数学期望为：,E,.,2,3,4,5,P,(3)“,一次取球所得计分介于,20,分到,40,分之间,”,的事件记为,C,，,则,P,(,C,),P,(,3,或,4),P,(,3),P,(,4),.,离散型随机变量的分布列是高考考查理科数学应用问题的重点和热点,本题主要考查等可能事件、互斥事件、分布列及期望的求解此类问题的,求解，关键在于利用排列组合的有关知识，正确求出基本事件总数和所求,事件中包含的基本事件数概率分布的求解一定要列表，可用所有概率之,和为,1,来检验所求结果是否准确,【,分析点评,】,读者是否注意到本题中标有两个同样数字的球是否有,“,区别,”,，标准答案,中是按有,“,区别,”,进行计算的如标有同样数字的球没有,“,区别,”,比如第,一问的正确解法应该是：,P,(,A,),孰是孰非读者自有公论，本人认为这是高考题的一大败笔,.,点击此处进入 作业手册,