声子与声子课件

3-3 3-3 晶格振动量子化与声子晶格振动量子化与声子问题的提出：问题的提出：在简谐近似下，晶体中存在在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立的个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这由这3NS个简谐格波共同决定，那么，个简谐格波共同决定，那么，晶格振动的系统能量是否可表示成晶格振动的系统能量是否可表示成3NS3NS个独立谐振子能量之和？个独立谐振子能量之和？3-3 晶格振动量子化与声子问题的提出：1一、晶格振动和谐振子一、晶格振动和谐振子1系统能量的普遍表示系统能量的普遍表示一一维维单单原原子子链链中中，平平衡衡时时距距原原点点为为na的的原原子子，t时时刻刻的的绝绝对对位位移移是是q所所有有可可能能的的N个值的特解的线性叠加：个值的特解的线性叠加：22一、晶格振动和谐振子 1系统能量的普遍表示 22其中其中Aq（t）Aqe-it。按经典力学系。按经典力学系统的总能量为动能和势能之和：统的总能量为动能和势能之和：该表示式中有（该表示式中有（Un+1Un）的交叉项存）的交叉项存在，对建立物理模型和数学处理都带来在，对建立物理模型和数学处理都带来困难。用坐标变换的方法困难。用坐标变换的方法消去交叉项。其中Aq（t）Aqe-it。按经典力学系统的总能量为动32坐标变换（变量置换）坐标变换（变量置换）设设（351）式中式中Qq(t)称为称为简正坐标简正坐标，容易证明：，容易证明：（352）2坐标变换（变量置换）设（351）式中Qq(t)4证明要点：证明要点：q=q时，显然成立；时，显然成立；qq时，为等比级数求和，即可证。时，为等比级数求和，即可证。由式（由式（351），（），（352）可得）可得（351）（353）（353）证明要点：q=q时，显然成立；53系统能量的重新表示系统能量的重新表示由式（由式（351）（）（353）可得系统势能）可得系统势能(3-54)式中2q=不含交叉项了不含交叉项了。（请同学们自行推导）（请同学们自行推导）3系统能量的重新表示 6类似地，系统的动能也可写为类似地，系统的动能也可写为于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式：于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式：(3-56)类似地，系统的动能也可写为 于是系统总能量可写成不含交叉7复习：复习：经典谐振子能量经典谐振子能量ETWm+kx2,所所以以（356）式式相相当当于于m=1,k=q2的的以以Qq为自变量的谐振子能量。为自变量的谐振子能量。可见可见由由N N个个原原子子组组成成的的一一维维单单原原子子晶晶体体有有N N个个格格波波，其其晶晶格格振振动动能能量量可可看看成成N N个个谐谐振振子子的的能量之和。能量之和。复习：经典谐振子能量 8二二 、能量量子和声子、能量量子和声子（量子力学修正）（量子力学修正）把上述经典谐振子的能量用量子力学把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们，频的结果来表示。量子力学告诉我们，频率为率为 的谐振子，其能量为的谐振子，其能量为n=0,1,2（357）二、能量量子和声子 （量子力学修正）9这表明谐振子处于不连续的能量状态。这表明谐振子处于不连续的能量状态。当当n0时时，它它处处于于基基态态，E0,称称为为零点能。零点能。相相邻邻状状态态的的能能量量差差为为,它它是是谐谐振振子子的的能能量量子，称它为声子量量子，称它为声子，正正如如人人们们把把电电磁磁辐辐射射的的能能量量量量子子称称为为光光子子一样。一样。这表明谐振子处于不连续的能量状态。103NS3NS个格波与个格波与3NS3NS个量子谐振子一一对应个量子谐振子一一对应因此式（因此式（357）也是一个频率为）也是一个频率为的格波的能量。的格波的能量。频频率率为为i(q)的的格格波波被被激激发发的的程程度度，用用该该格格波波所所具具有有的的能能量量为为i(q)的的声声子子数数n的的多多少来表征。少来表征。3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应111.声子是玻色子声子是玻色子一个模式可以被多个相同的声子占据，一个模式可以被多个相同的声子占据，和和q相同的声子不可区分，自旋为零。相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻色统计。满足玻色统计。除碰撞外，不考虑它们之间的相互作除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用，则可视为近独立子系，则玻色统计用，则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。与玻尔兹曼统计一致。讨论讨论1.声子是玻色子 一个模式可以被多个相122.2.平衡态声子是非定域的平衡态声子是非定域的对对等温平衡态等温平衡态，格波是非定域的，声子属于格，格波是非定域的，声子属于格波，所以声子也是非定域的，它属于整个晶体波，所以声子也是非定域的，它属于整个晶体.粒子数不守恒粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增，例如温度升高后声子数增加。加。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用作用，满足能量守恒能量守恒。3.3.声子是一种准粒子声子是一种准粒子2.平衡态声子是非定域的对等温平衡态，格波是非定域的，声子属134.准动量选择定则准动量选择定则不不具具有有通通常常意意义义下下的的动动量量，常常把把q称称为为声声子子的的准准动动量量。准准动动量量的的确确定定只只能能准准确确到到可可以以附附加加任何一个倒格矢任何一个倒格矢Gh(q)=(q+Gh)例:二声子作用q1q2q3Gh简写成：q1q2q3Gh4.准动量选择定则不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的14各各个个格格波波可可能能具具有有不不同同的的声声子子数数，在在一一定定温温度度的的热热平平衡衡态态，一一个个格格波波的的平均声子数有多少呢？平均声子数有多少呢？由由于于声声子子间间相相互互作作用用很很弱弱，除除了了碰碰撞撞外外，可可不不考考虑虑它它们们之之间间的的相相互互作作用用，故故可可把把声声子子视视为为近近独独立立子子系系，这这时时玻玻色色爱爱因因斯斯坦坦统统计计与与经经典典的的玻玻尔尔兹兹曼曼统计是一致的。统计是一致的。三三.平均声子数平均声子数 15在确定的温度在确定的温度T下，频率均为下，频率均为的的N个个格波的平均能量格波的平均能量其中：其中：N频率为频率为的格波总数，的格波总数，（并不是晶体的格波总数）（并不是晶体的格波总数）N Nn n频率为频率为，能量为，能量为E En n(即声子数为即声子数为n)n)的格波数，的格波数，能量为能量为的的声声子子在在同同的的格格波波间间均均可可存存在在，某某一一的的格格波波具具有有声声子子数数n n的的状状态态，满满足足一一定定的的几几率率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。分布。可理解为声子在格波间可跳跃。在确定的温度T下，频率均为的N个格波的平均能量 16N Nn n/N/N：温度为：温度为T T、频率为、频率为、能量为、能量为E En n(即即n n为某为某确定值确定值)的格波出现的几率，由玻尔兹曼统计的格波出现的几率，由玻尔兹曼统计其中：分母为配分函数其中：分母为配分函数 g gn n：能量为：能量为E En n的相格数，即能量的相格数，即能量E En n的简并度。的简并度。设：设：g gn n1 1Nn/N：温度为T、频率为、能量为En(即n为某确定值)的17其中，由（357）其中，由（357）18因为 因为 19利用等比级数求和公式、求导、整理可得利用等比级数求和公式、求导、整理可得kBT2（358）（358)利用等比级数求和公式、求导、整理可得kBT2（358）20其中其中 意义：意义：频率为频率为的格波温度为的格波温度为T T时的平均声子数。时的平均声子数。当当kBT时时，00.6,定定性性地地讲讲，此此格格波波已已激激发发，以以此此为为界界，温温度度为为T时时，只只有有kkBT的的格格波波才才能被激发。能被激发。（359)其中 意义：（359)21