场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边课件

第 2 章 静 电 场 静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。静电场是本电磁场课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。1第 2 章 静 电 场 静电场：本章任务：1.1.1 库仑定律2.1 电场强度 N(牛顿)适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力 无限大真空情况(式中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)N(牛顿)图2.1.1 两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。试验表明:真空中两个静止的点电荷 q1 与 q2 之间的相互作用力:21.1.1 库仑定律2.1 电场强度 N(牛顿)适用条2.1.2 静电场基本物理量电场强度定义：V/m(N/C)电场强度E 表示单位正电荷在电场中所受到的力(F),它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了E 的大小、方向与单位。a)点电荷产生的电场强度V/mV/m图2.1.2 点电荷的电场32.1.2 静电场基本物理量电场强度定义：V/m b)n个点电荷产生的电场强度(矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布面电荷分布线电荷分布图2.1.3 体电荷的电场4 b)n个点电荷产生的电场强度(矢量叠加)c)连例1 真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为,试求P 点的电场.解:采用直角坐标系,令y轴经过场点p,导线与x轴重合。(直角坐标)(圆柱坐标)图2.1.4 带电长直导线的电场5例1 真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为,试求 无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分,然后再合成,即 点电荷的数学模型 积分是对源点 进行的,计算结果是场点 的函数。点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。当 时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数 表示点电荷的密度分布。单位点电荷的密度分布点电荷的密度6 无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。点电荷矢量恒等式直接微分得故电场强度E 的旋度等于零2.2 静电场的无旋性和高斯定律 1.静电场旋度2.2.1 静电场的无旋性7点电荷矢量恒等式直接微分得故电场强度E 的旋度等于零2.2 可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2 2.静电场的环路定律 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得 二者等价。8 可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的3.电位函数 在静电场中可通过求解电位函数，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷1)电位的引出以点电荷为例推导电位：根据矢量恒等式93.电位函数 在静电场中可通过求解电位函数，再利3)E与 的微分关系 在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：4)E与 的积分关系设P0为参考零点E与 的积分关系103)E与 的微分关系 在静电场中，任意一点的电场5)电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：表达式无意义 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。115)电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参6)电力线与等位线（面）E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，若 dl 是电力线的长度元，E E 矢量将与 dl 方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线的方程。当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:例2 计算电偶极子的电场(rd)。126)电力线与等位线（面）E 线：曲线上每一点切线方在球坐标系中：代入上式，得用二项式展开，又有，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图1.2.2 电偶极子图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线r1r2(r,)13在球坐标系中：代入上式，得用二项式展开，又有，得 对上式等号两端取散度；利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得2.2.2 真空中的高斯定律1.静电场的散度高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式其物理意义表示为 高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。14 对上式等号两端取散度；利用矢量恒等式及矢量积2.高斯定律的积分形式式中 n 是闭合面包围的点电荷总数。散度定理图2.2.11 闭合曲面的电通量 E的通量仅与闭合面S 所包围的净电荷有关。图2.2.12 闭合面外的电荷对场的影响 S面上的E是由系统中全部电荷产生的。152.高斯定律的积分形式式中 n 是闭合面包围的点电荷总数电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度E为零，静电平衡；电荷分布在导体表面，且任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）接地导体都不带电。（）2.2.3.电介质中的高斯定律1.静电场中导体的性质2.静电场中的电介质图2.2.13 静电场中的导体?16电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。无极性分子有极性分子图2.2.14 电介质的极化用极化强度P P表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度17 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 e电介质的极化率,无量纲量。均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；一个电偶极子产生的电位：极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：式中图2.2.15 电偶极子产生的电位P(r,)18 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 e电介质矢量恒等式：图2.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位散度定理 令极化电荷体密度极化电荷面密度19矢量恒等式：图2.2.16 体积V内电偶极矩产 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 这就是电介质极化后，由面极化电荷 p 和体极化电荷 p 共同作用在真空 0 中产生的电位。根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为20 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 这就是3.电介质中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement）则有电介质中高斯定律的微分形式代入 ,得其中相对介电常数；介电常数，单位（F/m）在各向同性介质中 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。213.电介质中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线E线P线图2.2.17 D、E与 P 三者之间的关系22图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的()()()D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。B）高斯定律的积分形式散度定理图2.2.18 点电荷的电场中置入任意一块介质qq图2.2.19 闭合面外的电荷对场的影响23()()()D 的通量与介质无关，例2.2.2 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：D 线皆垂直于导线，呈辐射状态；等 r 处D 值相等；取长为L，半径为 r 的封闭圆柱面为高斯面。由 得图2.2.20 电荷线密度为 的无限长均匀带电体4.高斯定律的应用计算技巧：a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。24例2.2.2 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场图2.2.22 球壳内的电场图2.2.21 球壳外的电场例2.2.3 试分析图2.2.21与2.2.22的电场能否直接用高斯定律来求解场的分布？图2.2.21 点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场图2.2.22 点电荷q分别置于金属球壳内的中心处与球壳外的电场25图2.2.22 球壳内的电场图2.2.21 球壳外的电场2.3 静电场的基本方程 分界面上的衔接条件2.3.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,例2.3.1 已知 试判断它能否表示静电场？对应静电场的基本方程 ，矢量 A 可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?问问262.3 静电场的基本方程 分界面上的衔接条件2.3.以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（）。2、电场强度E的衔接条件 以点P 作为观察点，作一小矩形回路（）。2.3.2 分界面上的衔接条件1、电位移矢量D的衔接条件分界面两侧 E 的切向分量连续。分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。图2.3.2 在电介质分界面上应用环路定律则有 根据 根据 则有 图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律27 以分界面上点P作为观察点，作一2、电场强度E的衔接条 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：图2.3.3a 导体与电介质分界面在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。折射定律图2.3.3 分界面上E线的折射28 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直因此表明:在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数 表示分界面上的衔接条件 设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，,则表明:一般情况下 ,电位的导数是不连续的。图2.3.4 电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何呢？思考29因此表明:在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数 解：忽略边缘效应图（a）图（b）例2.3.2 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 ,图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。（a）（b）图2.3.5 平行板电容器30解：忽略边缘效应图（a）图（b）例2.3.2 如图2.4 静电场边值问题 唯一性定理2.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例2.4.1 列出求解区域的微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯算子2.4.2 静电场的边值问题图2.4.1 三个不同媒质区域的静电场312.4 静电场边值问题 唯一性定理2.4.1 泊松方程已知场域边界上各点电位值边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即32已知场域边界边值问题框图自然参考点电位边值问题微分方程边界条 例2.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域）场的边值问题图2.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面33 例2.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面边界条件积分之，得通解 例2.4.3 设有电荷均匀分布在半径为 a 的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图2.4.5 体电荷分布的球形域电场 34边界条件积分之，得通解 例2.4.3 设有电荷均匀分布解得 电场强度（球坐标梯度公式）：对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。电位：35解得 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：例 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案：（C）唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了理论根据。2.5 唯一性定理36 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：2.6 镜像法2.6.1 镜像法1.平面导体的镜像 镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。图2.6.1 平面导体的镜像 上半场域边值问题：（除 q 所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S 为包围q 的闭合面）372.6 镜像法2.6.1 镜像法1.平面导体的镜像 镜像（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为例2.6.1 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。解:设点电荷 离地面高度为h，则图2.6.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布38（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为例2.6.1 求空2.不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除 q点外的上半空间)图2.6.8 点电荷对无限大介质分界面的镜像和392.不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除 q点 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。即图2.6.9 点电荷 位于不同介质平面上方的场图 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极化电荷的影响。注意40 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间，是镜像法小结 镜像法的理论基础是静电场唯一性定理；镜像法的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置；应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。41镜像法小结 镜像法的理论基础是静电场唯一性定理；412.7 电容及部分电容 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路：2.7.1 电容定义：单位：例2.7.1 试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为 ,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）图2.7.1 球形电容器422.7 电容及部分电容 电容只与两导体多导体系统、部分电容1.已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即 静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；部分电容概念 以三导体系为例，接地导体为电位参考点,其余导体的电位与各导体上的电荷的关系为图2.7.2 三导体静电独立系统43多导体系统、部分电容1.已知导体的电荷，求电位和电位系数 以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献；互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献；写成矩阵形式为（非独立方程）注：的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位 而得。44 以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；ii 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献；ij 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i电荷的贡献。通常，的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 而得。452.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 静电感应3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（自有部分电容）。部分电容性质:所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关；互有部分电容 ，即为对称阵；(n+1)个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；463.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）式2.8 静电能量1.带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)连续分布电荷系统的静电能量假设：电荷系统中的介质是线性的；2.8.1 静电能量 电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为 、,在充电过程中，与 的增长比例为 m，。建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。472.8 静电能量1.带电体系统中的静电能量 这个功转化为静电能量储存在电场中。体电荷系统的静电能量 t 时刻，场中P点的电位为 若将电荷增量 从无穷远处移至该点，外力作功t时刻电荷增量为即电位为 48 这个功转化为静电能量储存在电场中。体电荷系 式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。自有能互有能 自有能是将许多元电荷 “压紧”构成 q 所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。自有能与互有能的概念 是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。例如，空间中有两带电体，单独存在时，导体的电位、电荷分别为1，q1和2，q2。将带电体2放入带电体1的电场中，两导体的电位会发生变化，如图所示。49 式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。自有能互2.静电能量的分布及能量密度V扩大到无限空间，S所有带电体表面。将式(2)代入式(1),得应用散度定理得（焦耳）静电能量图2.8.1 推导能量密度用图能量密度：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论矢量恒等式502.静电能量的分布及能量密度V扩大到无限空间，S所例2.8.1 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 a 的介质球产生的静电能量。有限，应用高斯定理，得 解法一由微分方程法得电位函数为解法二51例2.8.1 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 a 的介2.8.2 静电力2.虚位移法(Virtual Displacement Method)虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义 坐标增加增加的方向。二者关系：广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度 广义力 机械力 表面张力 压强 转矩 （单位）（N）（N/m）（N/m2）Nm广义力广义坐标=功1.由电场强度E的定义求静电力，即522.8.2 静电力2.虚位移法(Virtual Dis常电荷系统（K打开）：它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。常电位系统（K合上）：外源提供能量的增量静电能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。设(n+1)个导体组成的系统,只有P号导体发生位移 ，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为外源提供能量静电能量增量=+电场力所作功图2.8.4 多导体系统53常电荷系统（K打开）：它表示取消外源后，电场力做功必 上述两个公式所得结果是相等的例2.8.3 试求图示平行板电容器的电场力。解法一：常电位系统解法二：常电荷系统可见，两种方法计算结果相同，电场力有使d减小的趋势，即电容增大的趋势。两个公式所求得的广义力是代数量。还需根据“”号判断其方向。图2.8.5 平行板电容器54 上述两个公式所得结果是相等的例2.8.3 试求图示平工程上，静电力有广泛的应用。静电分离静电喷涂 55工程上，静电力有广泛的应用。静电分离静电喷涂 55基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE 的旋度E E 的散度基本方程微分方程边值问题唯一性定理分界面衔接条件电位（）边界条件数值法解析法直接积分法镜像法图1.0 静电场知识结构图积分方程56基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE 的旋度E 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。试问：能否选取正方形的高斯面求解球对称场(a a)(b b)(c c)图2.2.20.球对称场的高斯面图2.2.21.轴对称场的高斯面57 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等 无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。(a a)(b b)(c c)图3.平行平面场的高斯面试问：能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？58 无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。(对场点坐标作散度运算静电场高斯散度定理的推导矢量恒等式：式中：59对场点坐标作散度运算静电场高斯散度定理的推导矢量恒等式：式中无电荷区内，电场强度的散度等于零。则图1.2.10 源点与场点的坐标的矢量表示 60无电荷区内，电场强度的散度等于零。则图1.2.10 源