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反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点（即特征方程的根）的分布所决定，因此分析系（即特征方程的根）的分布所决定，因此分析系统必须求解特征方程的根。但求解高阶系统特征统必须求解特征方程的根。但求解高阶系统特征方程异常困难，这就限制了时域分析法在二阶以方程异常困难，这就限制了时域分析法在二阶以上系统中的应用。上系统中的应用。19481948年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数确之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数确定闭环特征根（即闭环极点）的新方法，并且建定闭环特征根（即闭环极点）的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得广泛应用的立了一套法则，这就是在工程上获得广泛应用的根轨迹法。根轨迹法。第4章 根轨迹法根轨迹法一种由系统开环零极点确定闭环极点的图解方法4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 广义根轨迹广义根轨迹4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.1.1 根轨迹(Root Locus)所谓根轨迹，是指当系统开环传递函数中的某个参数（如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征根在S S平面上移动的轨迹。S-2 0KKK=0.5分析系统：1、K由0变化至无穷，闭环特征根始终在S的左半平面移动，所以系统稳定；2、K=0.5时，系统处于临界阻尼状态；K0.5时，系统处于欠阻尼状态；根轨迹根轨迹快速入门快速入门4.1.2 根轨迹方程及幅角、幅值条件 满足上式的满足上式的s s值，都是特征方程的根，值，都是特征方程的根，都必定是根轨迹上的点都必定是根轨迹上的点故称上式为根轨迹方程。故称上式为根轨迹方程。下面利用幅角、幅值条件画根轨迹S-2 0MN利用幅值条件可算出各根轨迹上的 值。S-2 0MN 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则根轨迹的分支数；根轨迹的分支数；根轨迹的对称性；根轨迹的对称性；根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹根轨迹的渐进线根轨迹的渐进线根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角分离点的坐标分离点的坐标根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点实轴上的分离点的分离角恒为实轴上的分离点的分离角恒为90实轴上的会合点的会合角恒为实轴上的会合点的会合角恒为90S-3 -2 -1 0一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数根轨迹在根轨迹在SS平面上的分支数平面上的分支数=闭环特征方程的阶数闭环特征方程的阶数n n 这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由 变化时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。二、根轨迹的对称性二、根轨迹的对称性 因为开环极点、零点或闭环极点都因为开环极点、零点或闭环极点都是实数或共轭复数，它们在是实数或共轭复数，它们在SS平面上的平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。实轴。S三、根轨迹的起点与终点三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点零点 如果开环零点数如果开环零点数m m小于开环极点数小于开环极点数n,n,则有则有(n-m)(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。S证明：四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数目之和应为奇数。极点数目之和应为奇数。这个结论可由幅角条件证明。S五、根轨迹的渐进线五、根轨迹的渐进线极点之和减去极点之和减去零点之和。零点之和。例1、某单位反馈系统的开环传递函数为S-2 -1 0六、根轨迹的起始角与终止角六、根轨迹的起始角与终止角 起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方向的夹角。处的切线与水平线正方向的夹角。终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角。处的切线与水平线正方向的夹角。SSS起始角：起始于开环起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正处的切线与水平线正方向的夹角。方向的夹角。所有零点到所有零点到 的向量夹角的向量夹角其它零点到其它零点到 的向量夹角的向量夹角所有极点到所有极点到 的向量夹角的向量夹角起始于起始于 的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角终止于终止于 的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角七、分离点的坐标七、分离点的坐标几条根轨迹在几条根轨迹在SS平面上相遇后又分开的点，称为平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。根轨迹的分离点（或会合点）。例1、某单位反馈系统的开环传递函数为S-2 -1 0例2S-3 -2 -1 0(2)实轴上的根轨迹S-3 -2 -1 0会合点八、实轴上的分离点的分离角恒为八、实轴上的分离点的分离角恒为90 实轴上的会合点的会合角恒为实轴上的会合点的会合角恒为90S-3 -2 -1 0会合时，根轨迹会合时，根轨迹切线的倾角切线的倾角 九、根轨迹与虚轴的交点九、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根有纯虚根 ，系统处于临界稳定状态，因，系统处于临界稳定状态，因此，将此，将 代入特征方程中得代入特征方程中得例3、某单位反馈系统的开环传递函数为S-2 -1 0S-2 -1 0S-2 -1 0S-3 -2 -1 0S-3 -2 -1 0S-3 -2 -1 0S-3 -2 -1 0S-3 -2 -1 0作业4-2、4-44.3 广义根轨迹广义根轨迹上述根轨迹的绘制都是开环增益变化时系统的闭环根轨迹，上述根轨迹的绘制都是开环增益变化时系统的闭环根轨迹，称为常规根轨迹。在负反馈控制系统中，有时需要研究闭称为常规根轨迹。在负反馈控制系统中，有时需要研究闭环极点跟随某个其它参数变化的轨迹，而不是绘制根轨迹环极点跟随某个其它参数变化的轨迹，而不是绘制根轨迹增益由零变化到无穷的根轨迹，例如某个积分时间常数、增益由零变化到无穷的根轨迹，例如某个积分时间常数、反馈系数或校正环节参数的变化对系统闭环极点的影响。反馈系数或校正环节参数的变化对系统闭环极点的影响。这里引入这里引入等效传递函数等效传递函数的概念，利用常规根轨迹绘制法则的概念，利用常规根轨迹绘制法则来绘制参变量根轨迹。来绘制参变量根轨迹。参变量根轨迹中的参数通常有两种形式，参变量根轨迹中的参数通常有两种形式，一种是参数在开一种是参数在开环零点，即绘制开环零点变化的根轨迹；另一种形式是参环零点，即绘制开环零点变化的根轨迹；另一种形式是参数在开环极点，即绘制开环极点变化的根轨迹。数在开环极点，即绘制开环极点变化的根轨迹。例4.3.1已知某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制当时，参数由零变化到无穷闭环系统的根轨迹。等效的开环传递函数为解：按常规根轨迹绘制法则，以a为根轨迹增益，绘制a由零变化到无穷系统的根轨迹：(1)n=3,m=0,开环极点为(2)负实轴上根轨迹范围是(3)系统有三条根轨迹，起始于三个开环极点，沿着三条渐近线趋向于无穷远。渐近线的坐标为 (4)分离点坐标得到分离点坐标d1=-1/6，d2=-1/2(舍去)(5)根轨迹与虚轴的交点坐标s=jw，代入闭环特征方程中，得到 实部和虚部都等于零，得到 例例4.3.2已知某负反馈系统的开环传递函数为试绘制当 k*=20时，参数由零变化到无穷闭环系统的根轨迹。解解 要考察的参数在开环极点内，系统闭环特征方程为：变化表现形式为这样，等效的开环传递函数为按常规根轨迹绘制法则，以a为根轨迹增益，绘制a由零变化到无穷系统的根轨迹。-2、实轴上的根轨迹；S-3 -2 -1 0S-3 -2 -1 0S-3 -2 -1 04.4.1 闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能4.4.2 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能一、系统单位阶跃响应表达式一、系统单位阶跃响应表达式4.4.1 闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系闭环零点极点的分布与阶跃响应的关系 一个控制系统总是希望它的输出量尽可能的复现给定输入量，要求动态过程的快速性、平稳性要好一些。要保证这些要求，闭环的零点、极点应如何分布呢？二、闭环零点、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零点、极点分布与阶跃响应的定性关系1、为保证系统稳定，闭环极点必须在左半S平面。2、为保证快速性好，应使阶跃响应 中每一分量 衰减得快，即 应远离虚轴。（若为共轭复极点，实部决定衰减快慢，虚部决定阻尼振荡频率）S012341234123141比较系统振荡频率高低阻尼比大小衰减速度快慢相等相等低高低高相等相等大小小大相等相等慢快慢快比较内容1、2、3、4为4对二阶系统的极点3、要求平稳性好。控制系统的单位阶跃响应的平稳性由系统的超调量度量。为保证平稳性好，系统的闭环极点的阻尼角应尽可能小，但为了兼顾系统的快速性，复极点最好设在与负实轴成 线上，这时，可获得最佳阻尼比 。4、远离虚轴的闭环极点对瞬态响应影响很小。一般情况下，若某一极点比其它极点远离虚轴4646倍时，则它对瞬态响应的影响可以略去不计。闭环极点间闭环极点间距要大距要大闭环极点与闭环闭环极点与闭环零点间距要小零点间距要小6.运动形态。运动形态。如果闭环极点为实数，即对应的根轨迹位于实轴上，此时阻尼如果闭环极点为实数，即对应的根轨迹位于实轴上，此时阻尼比大等于比大等于1，系统处于过阻尼状态或临界阻尼状态，系统的时，系统处于过阻尼状态或临界阻尼状态，系统的时间响应是单调的，其中当系统的闭环极点是重根时，系统处于间响应是单调的，其中当系统的闭环极点是重根时，系统处于临界阻尼状态；临界阻尼状态；如果系统的闭环极点为复数，则系统的时间响应是有振荡的，如果系统的闭环极点为复数，则系统的时间响应是有振荡的，此时，系统处于欠阻尼状态；此时，系统处于欠阻尼状态；如果系统的闭环极点是纯虚根，则系统的时间响应是等幅振荡如果系统的闭环极点是纯虚根，则系统的时间响应是等幅振荡的，此时，系统处于无阻尼状态；的，此时，系统处于无阻尼状态；当系统的闭环极点是平面右半部的根时，系统时间响应发散，当系统的闭环极点是平面右半部的根时，系统时间响应发散，当是右半部的实轴上的根时，系统单调发散，当是右半部的复当是右半部的实轴上的根时，系统单调发散，当是右半部的复平面上的根时，系统振荡发散。平面上的根时，系统振荡发散。例例4.4.1 某飞机在纵向运动中的开环传递函数可简化为4.4.2 利用根轨迹法分析系统性能利用根轨迹法分析系统性能绘制出闭环系统的根轨迹之后，对于一个给定的增益，利用待定绘制出闭环系统的根轨迹之后，对于一个给定的增益，利用待定系数法可以确定系统的部分闭环极点，即将待求的根带入幅值方系数法可以确定系统的部分闭环极点，即将待求的根带入幅值方程。而系统其他的闭环极点可以根据闭环极点的和与闭环极点的程。而系统其他的闭环极点可以根据闭环极点的和与闭环极点的积性质求出。需要注意的是，在用待定系数法过程中，可以根据积性质求出。需要注意的是，在用待定系数法过程中，可以根据根轨迹图的特殊点，例如分离点、根轨迹与虚轴的交点等，确定根轨迹图的特殊点，例如分离点、根轨迹与虚轴的交点等，确定待求闭环极点的形式（实数还是复数）。系统的闭环极点确定，待求闭环极点的形式（实数还是复数）。系统的闭环极点确定，则系统的动态性能便可计算。则系统的动态性能便可计算。例例4.4.4已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统根轨迹，并用根轨迹法求k*=1.05时系统的单位阶跃响应。，下面求系统的阶跃响应。将分离点坐标代入系统特征方程中，得到分离点处的根轨迹增益为K*=0.385，题中给定分析K*=1.05时系统的单位阶跃响应，所以此时系统有一对共轭闭环极点，而且这两个闭环极点的实部范围是-0.432,0)，虚部的的范围是 。设系统闭环极点为s1，应满足幅值方程，有则系统的闭环传递函数为：则系统的阶跃响应为：例10画根轨迹并分析 对系统动态过程的影响-S-4 -2 0该两点距该两点距-4均为均为2.82,根轨迹为以根轨迹为以-4为圆心，为圆心，2.82为半径的圆。为半径的圆。S-4 -2 0s1=-+j12在根轨迹的曲线部分任设一点s1=-+j，由根轨迹的相角条件，得即圆心为4，直径为8的圆S-4 -2 0S-4 -2 0S-4 -2 01此时系统快速性、平稳性均较好小结：常规根轨迹；常规根轨迹；广义根轨迹；广义根轨迹；性能分析；性能分析；7、下图为某系统的根轨迹图，其中由开环极点P2、P3出发的两条根轨迹与虚轴交点频率为1.61,对应的开环根轨迹增益K*=7,则使该系统闭环稳定的范围是()，使该系统临界稳定的范围是()。A K*7 B K*7 -6-3-2-10j-4-6-3-2-10j-41、已知开环零点z、极点p，试概略画出相应的闭环根轨迹图。(1)z=-2,-6,p=0,-3;(2)z=-2,-4,p=0,-6;(3)p1=-1,p2,3=-2j1;j-3-2-1-1-2-33210p2p3p1-1.6760o-45o(4)z=-6,-8,p=0,-3 j-8-6-3-10-6.8-1.92(5)p=0,-2,z=-4j4(5)p=0,-1,-5,z=-4,-6j-4-4-2-2240j-6-5-4-10解：-5-3-2-10j j-4-44-33-2-22-1-110解：p1p2p323(1)、a1(1)、a=1-10j-10j-aa3 1a3(3)、0a1(4)、a=0-a-10j-10j
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