第6章-平面问题高阶单元课件

第第7 7章章 平面问题高阶单元平面问题高阶单元 7.1 位移模式阶次的选择位移模式阶次的选择 在在前前面面两两章章中中讨讨论论了了平平面面问问题题三三结结点点三三角角形形单单元元，其其位位移移模模式式的的最最高高阶阶是是坐坐标标x、y的的一一次次项项。这这种种位位移移模模式式导导致致单单元元常常应应变变、常常应应力力特特性性，单单元元应应变变矩矩阵阵、应应力力矩矩阵阵、刚刚度度矩矩阵阵均均为为常常数数矩矩阵阵，因因此此计计算算非非常常简简单单。但但这这种种单单元元难难以以反反映映应应力力梯梯度度的的迅迅速速变变化化。要要想想提提高高计计算算精精度度，必必须须细细分网格，增加单元数和点数，因而加大输入数据的工作量。分网格，增加单元数和点数，因而加大输入数据的工作量。提提高高计计算算精精度度的的另另一一条条有有效效途途径径是是采采用用高高阶阶单单元元。由由于于高阶单元的应变、应力不再是常数，因此采用少量单元就高阶单元的应变、应力不再是常数，因此采用少量单元就 可可能能达达到到较较高高的的精精度度。图图7-1悬悬臂臂梁梁分分别别采采用用高高、低低阶阶单单元元计算就是一个典型的例子。计算就是一个典型的例子。h4hPAB悬臂深梁悬臂深梁解析解：解析解：A=1.0 B=1.0常应变单元：常应变单元：A=0.866 B=0.619高阶单元：高阶单元：A=0.99 B=0.99图图7-1选择位移模式时，第选择位移模式时，第2章提到要考虑章提到要考虑解的收敛性解的收敛性，即要考虑，即要考虑到到位移模式的完备性和协调性位移模式的完备性和协调性。实际操作中，一般应考虑。实际操作中，一般应考虑位移模式的对称性。这是因为，有限元位移模式的选择实位移模式的对称性。这是因为，有限元位移模式的选择实际是以帕斯卡（际是以帕斯卡（Pascal）三解形基础上的（如图三解形基础上的（如图7-2所示），所示），由低价至高阶，顺序选取，组成多项式。由低价至高阶，顺序选取，组成多项式。多项式中的项数多项式中的项数等于单元节点自由度数等于单元节点自由度数。如三节点三角形单元，位移。如三节点三角形单元，位移模式取完全一次式，共模式取完全一次式，共3项。项。六节点三角形单元，位移模六节点三角形单元，位移模式取完全二次式共式取完全二次式共6项。如项。如果某一阶次不能全取，则果某一阶次不能全取，则应按对称性原则适当选取。应按对称性原则适当选取。1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 图图7-2 多项式选择的多项式选择的 怕斯卡三角形怕斯卡三角形 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 图图7-2 多项式选择的多项式选择的 怕斯卡三角形怕斯卡三角形例如在下节将要讨论的四例如在下节将要讨论的四结点矩形单元中，位移模结点矩形单元中，位移模式不能取式不能取1，x，y，x2四项，四项，也不能取也不能取1，x，y，y2四项，四项，而应取而应取1，x，y，xy四项。四项。7.2 四节点矩形单元四节点矩形单元 图图7-3示出的矩形单元，边长分别为示出的矩形单元，边长分别为2a和和2b。取取4个角点为个角点为节点，编号为节点，编号为i，j，l，m。将将x轴和轴和y轴置于单元的对称轴上。轴置于单元的对称轴上。单元的位移函数可取为：单元的位移函数可取为：1、位移函数、位移函数 在上式表示的位移模式中，在上式表示的位移模式中，a1,a2,a3,a5,a6,a7，a8反映了单元的刚体位移和常反映了单元的刚体位移和常应变。在单元的边界应变。在单元的边界(x=a或或y=a)上（或），位移是上（或），位移是按线性分布的。因此，相邻按线性分布的。因此，相邻单元在公共边上的位移是连单元在公共边上的位移是连续的。这样，位移模式满足续的。这样，位移模式满足了解答收敛性的充分条件。了解答收敛性的充分条件。ijlmxyaabb图图7-3在式（在式（7-1）中代入节点位移和节点坐标后，可解出）中代入节点位移和节点坐标后，可解出（7-1）式中形函数为式中形函数为：（7-3）（7-2）各待定系数各待定系数(a1 a8)。将这些系数再代入式（将这些系数再代入式（7-1），可得：），可得：则式（则式（7-3）可简写为）可简写为（7-4）将位移函数写成矩阵形式，即有与式（将位移函数写成矩阵形式，即有与式（2-20）相同的形式）相同的形式（7-5）式中式中（7-6）令令 在节点上的值为：在节点上的值为：（7-7）其中，其中，I为二阶单位矩阵。为二阶单位矩阵。2、应变矩阵、应变矩阵根据几何方程，可得与式（根据几何方程，可得与式（2-25）同样的形式）同样的形式（7-8）把把应变矩阵应变矩阵B写成子矩阵形式写成子矩阵形式（7-9）其其 中中（7-10）由此可见，由此可见，B是是、的函数，即是的函数，即是x、y的函数。因的函数。因此此单元中的应变不再是常数单元中的应变不再是常数。3、应力矩阵、应力矩阵根据应力根据应力-应变关系，可以计算单元中的应力，得到式（应变关系，可以计算单元中的应力，得到式（2-28）同样形式）同样形式（7-11）应力矩阵应力矩阵S具有与式（具有与式（2-29）同样形式）同样形式（7-12）将将S写成子矩阵形式写成子矩阵形式（7-13）其其 中中（7-14）上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只需将其中上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只需将其中的的E，作相应的改变即可。作相应的改变即可。4、单元刚度矩阵、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可采用式（单元刚度矩阵可采用式（2-33a）进行计算进行计算（2-33a）在四节点矩形单元中，在四节点矩形单元中，k是一个是一个88的矩阵。将的矩阵。将k写成分写成分块形式：块形式：（7-16）其中的子矩阵其中的子矩阵krs22可由下式计算可由下式计算（7-17）上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只须将上式上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只须将上式中的中的E、作相应的改变。作相应的改变。5、等价节点力、等价节点力 单单元元体体积积力力和和表表面面力力引引起起的的节节点点力力仍仍可可用用式式（2-45）和和（2-46）进行计算。）进行计算。对对本本问问题题给给定定的的位位移移函函数数，若若体体积积力力是是重重力力的的情情形形（设设重度为重度为），），单元等价节点载荷列阵为：单元等价节点载荷列阵为：（2-45）（2-46）（7-18）有了对单元的上述结果，便可应用第有了对单元的上述结果，便可应用第5章的方法组集结章的方法组集结构刚度矩阵和节点荷载向量；求解节点位移；计算内力和构刚度矩阵和节点荷载向量；求解节点位移；计算内力和应力。应力。四四节节点点矩矩形形单单元元采采用用较较高高阶阶的的位位移移模模式式，具具有有比比三三节节点点三角形单元较高的计算精度。但矩形单元也有缺点三角形单元较高的计算精度。但矩形单元也有缺点，在三角形单元在三角形单元i,j,m的各边中点增设一个节点，的各边中点增设一个节点，使每个单元具有使每个单元具有6个节点，个节点，得到图得到图7-4所示的六节点所示的六节点三角形单元。三角形单元。这种单元具有这种单元具有12个个自由度，可以采用完全自由度，可以采用完全二次多项式的位移模式：二次多项式的位移模式：一是不能适应斜线及曲线边界，二是不便于采用大小不同一是不能适应斜线及曲线边界，二是不便于采用大小不同的单元的单元。7.3 六节点三角形单元六节点三角形单元 1、位移模式、位移模式 ijmi j m xy图图7-4（7-20）所取位移模式反映了单元的所取位移模式反映了单元的刚体位移和常应变刚体位移和常应变；单元内部；单元内部是是连续的连续的；在单元边界上位移分量按抛物线变化，而每条；在单元边界上位移分量按抛物线变化，而每条公共边界上有公共边界上有3个公共结点个公共结点，可以保证相邻两单元位移的，可以保证相邻两单元位移的连续性。因此，上述位移模式满足连续性。因此，上述位移模式满足收敛的必要和充分条件收敛的必要和充分条件。上上述述位位移移模模式式确确定定之之后后，可可以以用用分分析析三三节节点点三三角角形形单单元元和和四四节节点点矩矩形形单单元元相相同同的的方方法法进进行行分分析析。得得到到形形函函数数、应应变变矩矩阵阵、应应力力矩矩阵阵、单单元元刚刚度度矩矩阵阵、等等价价节节点点力力向向量量。但但其过程十分繁复，采用其过程十分繁复，采用面积坐标面积坐标可以大大简化计算。可以大大简化计算。2、面积坐标、面积坐标 对对于于一一个个三三角角形形ijm（图图7-5），三三角角形形内内任任一一点点P（x,y）的的位置，可以用如下的三个比值来确定：位置，可以用如下的三个比值来确定：ijmxy图图7-5P（7-21）AiAjAm（1）定义）定义其中其中A为三角形为三角形ijm的面积，的面积，Ai,Aj,Am分别为三角形的分别为三角形的Pjm,Pmi,Pijd的面积。这三个比值的面积。这三个比值Li,Lj,Lm称为称为P点的面积坐点的面积坐标。标。由于由于 则则（7-22）由此可见，由此可见，P点的三个面积坐标不是独立的。同时，面积点的三个面积坐标不是独立的。同时，面积坐标只是用以确定三角形内部某点的位置，因而是一种局坐标只是用以确定三角形内部某点的位置，因而是一种局部坐标。下面进一步给出面积坐标的几个性质。部坐标。下面进一步给出面积坐标的几个性质。（2）面积坐标与直角坐标的关系）面积坐标与直角坐标的关系在图在图7-5中，三角形中，三角形Pjm的面积为的面积为（7-23）由式（由式（7-23），式（），式（7-21）化为）化为（7-24）将式（将式（7-24）、（）、（7-23a）和式（和式（2-18）、）、（2-17）对比，）对比，可知，面积坐标就是三节点三角形单元的形函数可知，面积坐标就是三节点三角形单元的形函数（7-23a）Ni、Nj、Nm。将将式式（7-24）的的3个个式式子子分分别别乘乘以以xi,xj,xm，然然后后相相加加，并利用关系式（并利用关系式（7-23a），），有有同理同理（7-25）（3）面积坐标的导数公式）面积坐标的导数公式 根根据据面面积积坐坐标标与与直直角角坐坐标标的的关关系系，由由复复合合函函数数的的求求导导公公式，有式，有（7-26）（4）面积坐标的积分公式）面积坐标的积分公式下面给出面积坐标的幂函数积分公式。它们在计算单元刚下面给出面积坐标的幂函数积分公式。它们在计算单元刚度矩阵和等效结点载荷时有用。度矩阵和等效结点载荷时有用。在三角形单元上进行积分时，有在三角形单元上进行积分时，有（7-27）在三角形某一边（设在三角形某一边（设ij边，边长为边，边长为l）上进行积分时，有上进行积分时，有（7-28）3、用面积坐标表示六节点三角形单元计算公式、用面积坐标表示六节点三角形单元计算公式 对应如图对应如图7-4所示的六节点三角形单元，所示的六节点三角形单元，形函数可用面积形函数可用面积坐标表示为坐标表示为（1）形函数和位移表达式）形函数和位移表达式ijmi j m xy图图7-6现利用形函数的性质检验式（现利用形函数的性质检验式（7-29）的正确性。先考虑三）的正确性。先考虑三角形的角点，例如图角形的角点，例如图7-6中的中的i点，有点，有 由式（由式（7-21）（）（P16），），有有代入式（代入式（7-29），有），有（7-29）再考虑三角形的边中点，例如再考虑三角形的边中点，例如i 点，面积划分如图点，面积划分如图7-7所示。显然有：所示。显然有：ijmi j m xy图图7-7由式（由式（7-21）(P16)，有有 代代入入式式（7-29）(P16)，进一步说明式（进一步说明式（7-29）所表示的）所表示的形函数的正确性形函数的正确性。说明形函数说明形函数Ni在在i点等于点等于1，在其它节点等于，在其它节点等于0，因此是正确的，因此是正确的。形函数确定后，单元中任意一点的位移可以表示为：形函数确定后，单元中任意一点的位移可以表示为：（7-30）其其 中中（7-31）（7-32）其中其中I为二阶单位阵，形函数由式（为二阶单位阵，形函数由式（7-29）确定。）确定。（2）应变矩阵）应变矩阵单元中的应变仍可表示为：单元中的应变仍可表示为：（7-33）式中应变矩阵式中应变矩阵B为：为：（7-34）其中其中（7-35）单元中的应力仍可表示为：单元中的应力仍可表示为：（3）应力矩阵）应力矩阵（7-36）式式中中D是是弹弹性性矩矩阵阵，由由式式（2-9）确确定定；应应变变矩矩阵阵由由式式（7-34）、（7-35）确确定定。根根据据矩矩阵阵乘乘法法，可可以以给给出用面积坐标表示的应力矩阵出用面积坐标表示的应力矩阵S（4）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 单元刚度矩阵仍可表示为：单元刚度矩阵仍可表示为：（7-37）根据根据B、D的表达式以及面积坐标的积分公式（的表达式以及面积坐标的积分公式（7-27），可以），可以求出求出k中元素的显式表示。由于较为繁复，这里就不列出详细结果。中元素的显式表示。由于较为繁复，这里就不列出详细结果。（5）等价节点力向量）等价节点力向量 由于位移模式是非线性的，因此体积力和表面力引起由于位移模式是非线性的，因此体积力和表面力引起的节点力向量不能采用静力等效原理进行分配，而应采用的节点力向量不能采用静力等效原理进行分配，而应采用相应公式进行计算。相应公式进行计算。单元体积力引起的等价节点力计算公式仍为：单元体积力引起的等价节点力计算公式仍为：（7-38）将由式（将由式（7-29）、（）、（7-32）表示的）表示的N代入，并应用积分式代入，并应用积分式（7-27），可以计算），可以计算 FV e。例如对于重力引起的例如对于重力引起的 FV e，有有 它表示各边中点承担单元重力的它表示各边中点承担单元重力的1/3。单元表面力引起的结点力计算公式仍为：单元表面力引起的结点力计算公式仍为：（7-39）设在设在ij边上受有边上受有x方向的均匀分布力方向的均匀分布力ps，对应的等价节点力对应的等价节点力向量为（图向量为（图7-8）pslh/6pslh/64pslh/6ijmi j m xy图图7-9lpsijmi j m xy图图7-8lpspslh/62pslh/6如在如在ij边上受到边上受到x方向的三角形分布面力，其集度在方向的三角形分布面力，其集度在i点为点为ps，在在j点为点为0。对应的节点力向量为（图。对应的节点力向量为（图3-9）它表示边中点承担载荷的它表示边中点承担载荷的2/3，载荷集度大的角节点承担，载荷集度大的角节点承担1/3。六结点三角形单元中的应变、应力不为常量，因此可以应用于六结点三角形单元中的应变、应力不为常量，因此可以应用于应力梯度较大的地方，精度较高。显然，其计算也较复杂。应力梯度较大的地方，精度较高。显然，其计算也较复杂。7.4 四节点四边形等参数单元四节点四边形等参数单元 1、等参数单元的概念、等参数单元的概念 现在，我们从任意四边形单元着手，介绍等参数单元现在，我们从任意四边形单元着手，介绍等参数单元的概念。的概念。1234xy图图7-10 任意四边形单元任意四边形单元 前面讲到的四节点矩形单元虽然比较简单，但难以应前面讲到的四节点矩形单元虽然比较简单，但难以应用于斜线边界。图用于斜线边界。图7-10所示四节点任意四边形单元容易适所示四节点任意四边形单元容易适应这种边界，应这种边界，但要在整体坐标系内，写出它的统一的形函但要在整体坐标系内，写出它的统一的形函数又是相当复杂和困难的数又是相当复杂和困难的。但但是是若若能能找找到到它它与与一一个个规规则则正正方方形形的的关关系系，就就能能写写出出它它的的统统一一的的位位移移模模式式，这这可可以以通通过过坐坐标标变变换换来来解解决决。在在图图7-10所所示示四四边边形形单单元元上上，用用等等分分四四边边的的两两族族直直线线分分割割该该四四边边形形，以以两两族族曲曲线线的的中中心心（=0、=0）为为原原点点，沿沿、增增大大的的方方向向作作 轴轴和和 轴轴，并并令令四四边边的的=1、=1，就就得得出出一一组新坐标系组新坐标系 （图（图7-11）。）。1234xy图图11 实际单元实际单元=-1=1=1=-1 这里，这里，、是一种局部（单元）是一种局部（单元）坐标，它只应用于单元范围内。坐标，它只应用于单元范围内。而而x，y是整体（结构）坐标，是整体（结构）坐标，它适用于所有的单元。图中的它适用于所有的单元。图中的任意四边形单元是研究对象，任意四边形单元是研究对象，称为实际单元称为实际单元。参照式（参照式（7-2）和（）和（7-3）P6，此基本单元位移函数可写为：此基本单元位移函数可写为：（7-40）1234=-1=1=-1=1图图7-12 基本单元基本单元 为了得出实际单元的位移模式和局部坐标与整体坐标为了得出实际单元的位移模式和局部坐标与整体坐标之间的变换关系，引入一个四节点的正方形单元，称之间的变换关系，引入一个四节点的正方形单元，称基本基本单元单元（图（图7-12）。其中，形函数应为：其中，形函数应为：引入新变量引入新变量 i、i （i=1,2,3,4)基本单元的形函数被写成：基本单元的形函数被写成：（7-41）现在，把基本单元的位移模式（现在，把基本单元的位移模式（7-40）和形函数式（）和形函数式（7-41）移用于图（）移用于图（7-11）所示的实际单元）所示的实际单元，则实际单元的位，则实际单元的位移模式取为移模式取为：（7-40）在结点处在结点处：在其它结点处：在其它结点处：且，式中的形函数且，式中的形函数Ni仍由式（仍由式（7-41）确定。而把式（）确定。而把式（7-41）中的中的、理解为理解为图图7-11所示所示实际单元的局部坐标，实际单元的局部坐标，i、i便便是实际单元中节点是实际单元中节点i的局部坐标。的局部坐标。（7-42）利用形函数的上述性质，可以将任意四边形的整体坐标写利用形函数的上述性质，可以将任意四边形的整体坐标写成：成：任意四边形单元中结点的整体坐标，任意四边形单元中结点的整体坐标，如果它已知，那么如果它已知，那么(7-42)表示了局部表示了局部坐标与整体坐标的变换坐标与整体坐标的变换 另另一一方方面面，式式（7-42）表表明明了了实实际际单单元元中中局局部部坐坐标标（、）与与整整体体坐坐标标（x、y）的的一一一一对对应应关关系系，是是一一个个坐坐标变换式。标变换式。实际单元是任意四边形四节点单元，基本单元是正方实际单元是任意四边形四节点单元，基本单元是正方形单元，可以认为：实际单元是对基本单元通过变换得来形单元，可以认为：实际单元是对基本单元通过变换得来的。的。由于实际单元的位移模式中采用了基本单元等同的形由于实际单元的位移模式中采用了基本单元等同的形函数，这个实际单元就称为等参数单元函数，这个实际单元就称为等参数单元。类似于本章类似于本章3.2节进行的四结点矩形单元的特性分析，节进行的四结点矩形单元的特性分析，可以建立等参单元的应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、节可以建立等参单元的应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、节点力向量等的计算公式。与前面不同之处在于，在等参数点力向量等的计算公式。与前面不同之处在于，在等参数单元法中，要将对整体坐标单元法中，要将对整体坐标x、y的导数计算和积分计算转的导数计算和积分计算转换为对局部坐标换为对局部坐标、的导数计算和积分计算。的导数计算和积分计算。例：实际单元的结点整体坐标如图例：实际单元的结点整体坐标如图(a)中括号内数字所示，中括号内数字所示，基本单元的结点局部坐标如图基本单元的结点局部坐标如图(b)中括号内数字所示。中括号内数字所示。图图(a)实际单元实际单元1(0,0)(1)试验证基本单元上的结点局部坐标与实际单元上对应点的整体坐试验证基本单元上的结点局部坐标与实际单元上对应点的整体坐标的对应关系。标的对应关系。(2)求基本单元的局部坐标原点求基本单元的局部坐标原点(),在实际单元上的整体在实际单元上的整体坐标坐标(x,y)是多少？是多少？4(0,1)3(1,2)2(2,0)xy0(3/4,3/4)01(1,1)2(1,1)3(1,1)4(1,1)图图(b)基本单元基本单元解解（1）以）以3结点为例，根据形函数的性质：结点为例，根据形函数的性质：在在3结点处结点处：应用式（应用式（7-42）说明了由基本单元上结点的局部坐标可映射出说明了由基本单元上结点的局部坐标可映射出实际单元上对应的结点整体坐标实际单元上对应的结点整体坐标（2）由于）由于 ，由（，由（7-40）P33 得：得：代入（代入（7-42）由上例由上例可知：利用（可知：利用（7-42）在基本单元上任意一点）在基本单元上任意一点 ，都可以在实际单元上找到一个对应点的坐标，都可以在实际单元上找到一个对应点的坐标(x,y),这样这样就把实际单元与基本单元紧密地联系起来。反之，则比较就把实际单元与基本单元紧密地联系起来。反之，则比较困难，这是因为形函数是一个二次函数。为了避开这个困困难，这是因为形函数是一个二次函数。为了避开这个困难，一般都假定基本单元上已知点去求实际单元上的对应难，一般都假定基本单元上已知点去求实际单元上的对应点。点。2、应变矩阵、应变矩阵 单元的几何方程与式（单元的几何方程与式（7-8）、（）、（7-9）相同，）相同，即：即：（7-8）（7-9）（7-43）式中式中（7-44）?这里采用记号这里采用记号 由由于于形形函函数数式式（3-41）是是用用局局部部坐坐标标、给给出出的的，将将、看看作作x、y的的函函数数，根根据据复复合合函函数数的的求求导导规规则则，有：有：上式可记为：上式可记为：（7-45）上式右边第一个矩阵称为雅可比（上式右边第一个矩阵称为雅可比（Jacobi）矩阵：矩阵：其逆矩阵为：其逆矩阵为：式中式中|J|为雅可比行列式为雅可比行列式（7-48）由式（由式（7-42）p35，有有(7-46)(7-47)（7-49）由式（由式（7-41）p34，有有（7-50）由式（由式（7-45）p41，有有（7-51）式中式中分别由式（分别由式（7-47）和（）和（7-50）确定。）确定。从而由式（从而由式（3-43）、）、（3-44）确定出应变矩阵）确定出应变矩阵B。和和3、应力矩阵、应力矩阵应力矩阵仍由下式得到应力矩阵仍由下式得到（7-52）4、单元刚度矩阵、单元刚度矩阵单元刚度矩阵是一个单元刚度矩阵是一个88的矩阵，仍为的矩阵，仍为（7-53）由于由于B是用局部坐标系是用局部坐标系、给出的，坐标变换时有面积微给出的，坐标变换时有面积微元公式元公式 因此，因此，k可由下式计算可由下式计算 5、等价节点力向量、等价节点力向量（1）体积力）体积力 设设单单元元的的体体积积力力是是 ，则则等等价价节节点点力力公公式式为为（7-54）(2)表面表面力力 设设单单元元的的某某边边（如如对对应应的的=1）上上作作用用有有表表面面力力 ps=psx psyT，则该边上节点的节点力为则该边上节点的节点力为（7-55）上式中，用到坐标变换时线积分微元公式上式中，用到坐标变换时线积分微元公式(当当=常量时常量时)p37对于对于=1的边界表面力，等价节点力的计算过程完全一样。的边界表面力，等价节点力的计算过程完全一样。6、关于高斯（、关于高斯（Gauss）积分积分 在在计计算算单单元元刚刚度度矩矩阵阵式式（7-53）和和等等价价节节点点载载荷荷向向量量式式（7-54）、（7-55）时时，由由于于被被积积函函数数比比较较复复杂杂，通通常常可可采采用数值积分。即在单元上选择某些点，称为用数值积分。即在单元上选择某些点，称为积积分分点点，求求出出被被积积函函数数在在这这些些积积分分点点上上的的数数值值，再再用用一一些些权权函函数数乘乘这这些些函函数数值值后后求求和和，就就可可得得到到近近似似积积分分值值。高高斯斯积积分分法法是是数数值值积积分分法法中中具具有有较较高高精精度度的的方方法法。现现简简要要介介绍绍如下：如下：（1）一维高斯积分公式）一维高斯积分公式（7-56）式式中中Hi对对应应于于积积分分点点 i的的权权函函数数，对对于于n=24个个积积分分点，其坐标点，其坐标 i和权函数和权函数Hi列于表列于表7-1中。中。niHi20.5773502692 1.000000000030.77459666920.00000000000.55555555560.888888888940.86113631160.33998104360.34785484510.6521451549表表3-1 高斯求积公式中的积分点坐标和权系数高斯求积公式中的积分点坐标和权系数（2）二维高斯积分公式）二维高斯积分公式（7-57）积分点积分点 j、i 和权函数和权函数Hi、Hj同样可按表同样可按表3-1进行取值。进行取值。对式（对式（7-53）进行高斯积分，有）进行高斯积分，有（7-58）对式（对式（7-54）进行高斯积分，有）进行高斯积分，有（7-59）对式（对式（7-55）进行高斯积分，有）进行高斯积分，有（7-60）7.5 八节点四边形等参数单元八节点四边形等参数单元 上上节节讨讨论论的的四四结结点点四四边边形形等等参参数数单单元元有有时时仍仍然然不不够够理理想想。一一是是其其实实际际单单元元为为直直线线边边界界，不不能能准准确确拟拟合合物物体体的的曲曲线线边边界界；二二是是位位移移模模式式的的阶阶次次还还不不够够高高，影影响响计计算算精精度度。为为此此，本本节节介介绍绍一一种种精精度度更更高高、应应用用广广泛泛的的八八节节点点四四边边形形等参数单元。其实际单元和基本单元如图等参数单元。其实际单元和基本单元如图7-13、7-14所示。所示。图图7-14 基本单元基本单元 =-1=1=-1=113567824图图7-13 实际单元实际单元xy12345678=-1=1=-1=1基本单元的位移模式可取为：基本单元的位移模式可取为：（7-61）采用形函数表示，将位移模式写成采用形函数表示，将位移模式写成（7-62）式中式中（7-63）仿照位移模式，将坐标变换式取为仿照位移模式，将坐标变换式取为（7-64）显然，该坐标变换式将显然，该坐标变换式将平面上的正方形映射为平面上的正方形映射为xy平面上的曲边四边形。平面上的曲边四边形。xy平面上每一条边都是一条二次平面上每一条边都是一条二次曲线，它完全由对应边上曲线，它完全由对应边上3个结点的坐标唯一确定。因此，个结点的坐标唯一确定。因此，单元是协调的，同时也可证明，单元的位移函数反映刚单元是协调的，同时也可证明，单元的位移函数反映刚体位移和常应变，具有完备性。体位移和常应变，具有完备性。有关八节点四边形单元的特性分析和等价节点力计算有关八节点四边形单元的特性分析和等价节点力计算过程与四节点四边形单元完全相同，具体公式形式也一致。过程与四节点四边形单元完全相同，具体公式形式也一致。区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同，具体是：区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同，具体是：（1）四节点单元的）四节点单元的e是一个是一个81列阵；而八结点单列阵；而八结点单元的元的e是一个是一个161列阵。列阵。（2）四节点单元的）四节点单元的B是一个是一个38矩阵，由矩阵，由B1B4 4个子块个子块阵组成；而八节点单元的阵组成；而八节点单元的B是一个是一个316矩阵，由矩阵，由B1B8 8个个子块阵组成。个个子块阵组成。（3）四节点单元的）四节点单元的k是一个是一个88矩阵，而八节点单元的矩阵，而八节点单元的k是一个是一个1616矩阵。矩阵。（4）四四结结点点单单元元某某边边表表面面力力引引起起的的等等价价节节点点力力 Fs i公公式式对对应应于于该该边边上上的的2个个节节点点；而而八八节节点点单单元元对对应应于于该该边边上上的的3个节点。个节点。7.6 八节点四边形等参数单元计算程序八节点四边形等参数单元计算程序