第二章导数的概念课件

1第二章 导数与微分 导数思想最早由法国数学家导数思想最早由法国数学家 Fermat在研究在研究极值问题极值问题中提出中提出微分学的创始人微分学的创始人英国数学家英国数学家 Newton （1642 1727）德国数学家德国数学家 Leibniz （1646 1716）(16011665)2第二章 导数与微分微分学微分学导数导数描述函数描述函数变化快慢变化快慢微分微分描述函数描述函数变化程度变化程度是描述物质运动的工具是描述物质运动的工具(从从微观上微观上研究函数研究函数)3第一节第一节导导 数数 概概 念念 第二章第二章 一一.引例引例二二.导数的定义导数的定义三三.导数的几何意义导数的几何意义四四.函数可导性与连续性的关系函数可导性与连续性的关系4一一.引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动的位置函数为设描述质点运动的位置函数为则则 到到 的的平均速度平均速度为为而在而在 时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度为为自由落体运动52.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线在在 M 点处的切线点处的切线割线割线 MN 的的极限位置极限位置MT (当当 时时)割线割线 M N 的斜率的斜率切线切线 MT 的斜率的斜率6两个问题的共性两个问题的共性:瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为所求量为函数增量与自变量增量之比的极限函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变变化化率率问问题题7二二.导数的定义导数的定义定义定义1.设函数设函数在点在点 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,存在存在,在点在点 处可导处可导,并称此极限为并称此极限为在点在点 的导数的导数.记作记作:即即则称则称函数函数若若8运动质点的位置运动质点的位置在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度曲线曲线在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率9若上述极限不存在若上述极限不存在,若若也称也称在在 的的导数为无穷大导数为无穷大.若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数,记作记作:注意注意:在点在点 不可导不可导.就说函数就说函数内可导内可导。就称函数就称函数在在 I 10例例1.求函数求函数(C 为常数为常数)的导数的导数.解解:即即例例2.求函数求函数在在处的导数处的导数.解解:11说明：说明：对一般幂函数对一般幂函数(为常数为常数)例如：例如：（以后将证明）（以后将证明）12例例3.求函数求函数的导数的导数.解解:令令则则即即类似可证得类似可证得13例例4.求函数求函数的导数的导数.解解:即即14例例5*.求函数求函数的导数的导数.解解:即即15令令则则原式原式是否可按下述方法作是否可按下述方法作:例例6.证明函数证明函数在在x=0 不可导不可导.证证:不存在不存在,即即 在在x=0不可导不可导.例例7.设设存在存在,求极限求极限解解:原式原式16解解:存在存在,且且求求所以所以例例8.设设17在点在点的某个的某个右邻域右邻域内有内有若极限若极限存在存在,在在 处的处的右导数右导数,记作记作,即即(左左)(左左)例如：例如：在在 x=0 处有处有定义定义2.设函数设函数定义定义,则称这个极限值为则称这个极限值为18在开区间在开区间 内可导内可导,且且定理定理1.函数函数在点在点可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是与与存在存在,且且如果函数如果函数与与都存在都存在,则称则称在闭区间在闭区间 上可导上可导.19三三.导数的几何意义导数的几何意义曲线曲线在点在点的切线斜率的切线斜率若若曲线过曲线过上升上升;若若曲线过曲线过下降下降;若若切线与切线与x 轴平行轴平行,称为称为驻点驻点;若若切线与切线与 x 轴轴垂直垂直.曲线曲线在点在点 处的处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:2021证证:四四.函数可导性与连续性的关系函数可导性与连续性的关系定理定理2.若函数若函数 在点在点 处可导处可导,则则 在在 处连续处连续.设设在点在点 x 处可导处可导,存在存在,因此必有因此必有其中其中故故所以函数所以函数在点在点 x 连续连续.注意注意:函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.即即22定理定理3.函数函数在点在点处处右右导数存在导数存在,则则在点在点必必右右连续连续.(左左)(左左)显然显然:在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导23解：解：但在但在 处，处，例例10.讨论函数讨论函数在在 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.在在 处连续处连续.当当 时，时，在在1和和1之间振荡，极限不存在，之间振荡，极限不存在，在在 处不可导处不可导.241.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;内容小结内容小结3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.可导必连续，但连续不一定可导可导必连续，但连续不一定可导;5.已学求导公式已学求导公式:6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2.25思考与练习思考与练习1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数 与导函数与导函数区别区别:是函数是函数,是数值是数值;联系联系:注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系?？262.设设存在存在,则则3.已知已知则则4.若若时时,恒有恒有问问是否在是否在可导可导?解：解：由题设由题设由夹逼准则由夹逼准则故故在在可导可导,且且275.设设,问问a 取何值时取何值时,在在都存在都存在,并求出并求出解解:故故时时此时此时在在都存在都存在,28在在 处连续处连续,且且存在，存在，证明证明:在在处可导处可导.证：因为证：因为存在，存在，则有则有又又在在处连续处连续,所以所以即即在在处可导处可导.6.设设故故297.若若且且存在存在,求求解解:原式原式=且且联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式30作业作业 习题习题2-1 1 2 3 5 31费马费马(1601 1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.