第二章地球坐标系和地球椭球课件

2.1 概概 述述大地测量采用的坐标系：大地测量采用的坐标系：天球坐标系、地球坐标系地球坐标系：地球坐标系：固定在地球上与地球一起自转和公转的 坐标系地球坐标系分类：地球坐标系分类：参心坐标系、地心坐标系定义坐标系的要素：定义坐标系的要素：原点位置与坐标轴指向；若采用大地 坐标还需要椭球元素。2.2 地球椭球面的数学计算和有关计算地球椭球面的数学计算和有关计算2.2.1 地球椭球的几何、物理元素地球椭球的几何、物理元素椭球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：XYZO2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续地球椭球的几何、物理元素（续1）几个关系式：几个关系式：1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续地球椭球的几何、物理元素（续2）1980年大地坐标系采用第16届 IAGIUGG 椭球，其椭球元素为：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质旋转椭球面的参数表示及数学性质1、经线和纬线的曲线方程、经线和纬线的曲线方程在XOZ坐标面上的起始经线方程：OXYZM1M0MLLrARSM0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：经度为L的经线方程：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续1）OXYZM1M0MLLrARS纬圈方程：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续2）2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的Frenet标标架架POQMPRTNA如图为过M点的子午面。子午线的主法线MP位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP。所以，MP垂直于椭球面在M点的切平面，因此它是椭球面的法线。Frenet标架：标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位向量构成是三维直角坐标系。一般取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续3）3、旋转椭球面及经纬线的参数方程、旋转椭球面及经纬线的参数方程1).以大地经度以大地经度L及归化纬度及归化纬度u为参数的方程为参数的方程uaXZOMM在XOZ子午面内，有在三维空间坐标系中：(2).以大地经纬度以大地经纬度L、B为参数的方程为参数的方程XZK0B90+BOTM 0切线M0T的斜率的导数式：由椭圆方程求导得：代入第一式得：12.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4）2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续5）将 代入椭圆方程，化简后得：1引入辅助符号：则有：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续6）在三维空间坐标系中，椭球面上点的三维坐标的经纬度表示为：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续7）(3).以大地经度以大地经度L及球心纬度为参数的方程及球心纬度为参数的方程XZOM 0 球心纬度，向径，则对于XOZ平面上的椭圆有：在椭圆上，向径由球心纬度唯一确定，将上式代入椭圆方程，得：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续8）对于XOZ平面上的椭圆有：在三维空间坐标系中，椭球面上点的经度、球心纬度表示为：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续9）不难得出，u,B,的关系为：因此有：由球心纬度公式，得：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续10）4、旋转椭球面的几何性质、旋转椭球面的几何性质 a).对称性 b).有界性 c).正则性：曲面上每点都对应于唯一确定的非零法向量。其单位法向量可表示为：d).不可展性2.2.3 法截线曲率及曲率半径法截线曲率及曲率半径 1、空间曲线的曲率几曲率半径、空间曲线的曲率几曲率半径 若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。则曲线的曲率为：若以t参数，则曲线的曲率可表示为：2、椭球面法截线的曲率、椭球面法截线的曲率(1).子午线曲率半径子午线曲率半径 不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化纬度u为子午线方程的参数，则有：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续1）2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续2）则有：同理，若以大地纬度为参数，得：子午曲率半径M，就是曲率是倒数，即：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续3）(2).卯酉线曲率半径卯酉线曲率半径定义：定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯 酉线。根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率kn与平行圈曲率kr的关系为：平行圈半径为子午面XOZ 平面内的X坐标，即：则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续 4）(3).任意方向法截线的曲率半径任意方向法截线的曲率半径 根据微分几何中的Euler公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：因此，任意方向的曲率半径为：当A为0，/2，3/2时，取得极值。2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续 5）(4).平均曲率半径平均曲率半径 定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。代入上式，得：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续 6）不难得到：N R M引入辅助量：存在下列关系：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算椭球面上第一基本形式及弧长面积计算1.椭球面的第一基本形式椭球面的第一基本形式椭球面上点的向量：椭球面上的微分弧长：其中：对于椭球面：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续1）2、子午线弧长、子午线弧长子午线微分弧长：积分得：用二项式展开，并逐项积分得：常数 A、B、C、D、E、F、G的计算公式见教材2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续2）对于小于400km的弧长，可采用以下简化式。其中：根据：求出导数，代入上式并化简，得：对于小于40km的弧长，可进一步简化为：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续3）已知B1和弧长S12求B2称为反算，可采用叠代法计算。初值：叠代格式：其中：要求：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续4）3、平行圈的半径与弧长、平行圈的半径与弧长相同经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续5）4、利用经纬格网计算椭球面的面积、利用经纬格网计算椭球面的面积LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续6）上式利用二项式展开并积分，得：取 L2-L1=2，B2=/2，B1 =0 算得半球面积，乘2可以估算全球面积约为5.1亿平方公里习习 题题1、导出三种纬度、u与B的关系。2、导出子午曲率半径M与卯酉曲率半径N的计算公式。3、M、N、R的关系如何？在什么条件下三者相同？4、某点到赤道的子午弧长 ,求该点的纬度。a=6378245,=1/298.35、已知某点的纬度 ,求该点自赤道起的子午弧长。a=6378245,=1/298.3谢谢