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12.2 12.2 全等三角形的判定全等三角形的判定1情境问题:小明家的衣橱上小明家的衣橱上镶有两有两块全等的三角形玻璃装全等的三角形玻璃装饰物物,其其中一中一块被打碎了被打碎了,妈妈让小明小明到玻璃店配一到玻璃店配一块回来回来,请你你说说小明小明该怎么怎么办?2AB=DE BC=EF CA=FD A=D B=E C=FABCDEF 1、什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫能够重合的两个三角形叫 全等三角形全等三角形。2、全等三角形有什么性质？全等三角形有什么性质？31.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。只给一条边：只给一条边：只给一个角：只给一个角：606060探究一：探究一：42.给出两个条件：给出两个条件：一边一内角：一边一内角：两内角：两内角：两边：两边：303030303050502cm2cm4cm4cm可以发现按这可以发现按这些条件画的三些条件画的三角形都一定全角形都一定全等。等。53.给出三个条件给出三个条件三条边三条边三个角三个角两角一边两角一边两边一角两边一角6你会用刻度尺和圆规画你会用刻度尺和圆规画你会用刻度尺和圆规画你会用刻度尺和圆规画 DEF DEF吗？吗？吗？吗？使其三边分别为使其三边分别为使其三边分别为使其三边分别为3cm3cm，4cm4cm和和和和5cm5cm。把你画的三角形与其他同学所画的三角形剪把你画的三角形与其他同学所画的三角形剪下来，进行比较，它们能否互相重合？下来，进行比较，它们能否互相重合？1 1、画线段、画线段、画线段、画线段EF=3cmEF=3cm。2 2、分别以、分别以、分别以、分别以E E、F F为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，5cm 5cm，4cm4cm长为半径画两条圆弧，交于点长为半径画两条圆弧，交于点长为半径画两条圆弧，交于点长为半径画两条圆弧，交于点D D。3 3、连结、连结、连结、连结DEDE，DFDF。DEF DEF就是所求的三角形就是所求的三角形就是所求的三角形就是所求的三角形画法：画法：画法：画法：7 有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等.可以可以简写成写成 “边边边”或或“SSS”ABCDEF用用 数学语言表述数学语言表述：在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DE BC=EF CA=FD8 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。全等。CABDO议一议：在下列推理中填写需议一议：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：要补充的条件，使结论成立：如图，在如图，在AOBAOB和和DOCDOC中中AO=DO(已知已知)_=_(已知已知)BO=CO(已知已知)AOBDOC（SSS）9解：解：ABC DCB理由如下：理由如下：AB=CDAC=DB=SSS SSS 2 2、如图，、如图，D D、F F是线段是线段BCBC上的两点，上的两点，AB=ECAB=EC，AF=EDAF=ED，要使，要使ABFECD ABFECD，还需要条件还需要条件 AE B B D D F F C C A ABCD想一想想一想 ABC （）1 1、如图，、如图，AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，ABCABC和和DCBDCB是否全等？试说是否全等？试说明理由。明理由。DCBBCBCCBCBBF=CD 或或 BD=CF10例例1.如下图，如下图，ABC是一个刚架，是一个刚架，AB=AC，AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架。的支架。求证：求证：ABD ACD分析：分析：要证明要证明 ABD ACD，首先看这两个三角形的三条边是首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。否对应相等。结论结论：从这题的证明中可以看出，证明是由：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。后推出结论正确的过程。11准备条件：证全等时要用的间接准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：12（SSSSSS）A AB BC CD D拓展与提高：拓展与提高：拓展与提高：拓展与提高：如图，在四边形如图，在四边形如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCDABCDABCD中中中中AB=CDAB=CDAB=CDAB=CD，AD=BCAD=BCAD=BCAD=BC，则，则，则，则A=C请说明理由。请说明理由。解：解：在在 ABD和和 CDB中中AB=CD AB=CD AB=CD AB=CD （已知）（已知）（已知）（已知）AD=BC AD=BC AD=BC AD=BC （已知）（已知）（已知）（已知）BD=DBBD=DBBD=DBBD=DB（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）ABD CDB A=C A=C （）全等三角形的对应角相等13小结小结2.三边对应相等的两个三角形全等（边边边三边对应相等的两个三角形全等（边边边或或SSS）；）；1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。知道三角形三条边的长度怎样画三角形。3、体验分类讨论的数学思想、体验分类讨论的数学思想4、初步学会理解证明的思路、初步学会理解证明的思路14作业A.作业本作业本1-4题及画一个三角形题及画一个三角形,是它的三边分是它的三边分别为别为3cm,4cm,3cm和习题精选和习题精选P88 6题题B.作业本作业本1-4题及画一个三角形题及画一个三角形,是它的三边分是它的三边分别为别为3cm,4cm,3cm和习题精选和习题精选P88 8题题C.作业本作业本1-4,6,7题及画一个三角形题及画一个三角形,是它的三是它的三边分别为边分别为3cm,4cm,3cm15已知已知:如图如图,AC=AD,BC=BD.求证求证:CD.ABCD解解:在在ACB 和和 ADB中中 AC =A D BC =BD A B =A B (公共边）公共边）ACBADB（SSS）议一议：议一议：连结连结ABCD.（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）16ABCEFGAB=EFBC=FGAC=EG（SSS）复习：复习：1.三角形全等方法三角形全等方法1三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等在在ABC 和和 EFG中中ABC EFG17做一做：先任意画出做一做：先任意画出 ABC.再画一个再画一个 A/B/C/,使使A/B/=AB,A/C/=AC,A/=A.(即有两边和即有两边和它们的夹角相等它们的夹角相等).把画好的把画好的 A/B/C/剪下剪下,放到放到 ABC上上,它们全等吗它们全等吗?画法：画法：2.在射线在射线A/M上截取上截取A/B/=AB3.在射线在射线A/N上截取上截取A/C/=AC1.画画 MA/N=A4.连接连接B/C/A/B/C/就是所求的三角形就是所求的三角形18A A/M MN NC C/B B/A AB BC CA AB BC C探究探究3 3的结果反映了什么规律的结果反映了什么规律?两边和它们的夹角对应相等的两两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等个三角形全等.(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”)”)19 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2 2用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在 ABC与与 DEF中中AB=DE B=EBC=EFABCDEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的夹角对应相等的两个三角两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。形全等。简写成简写成“边角边边角边”或或“SAS”20分分别找出各找出各题中的全等三角形中的全等三角形ABC40 40 DEF(1)DCAB(2)ABCEFD ABCEFD 根据根据“SAS”SAS”ADCCBA ADCCBA 根据根据“SAS”SAS”21知识应用例例2、如图，有一池塘，要测池塘端、如图，有一池塘，要测池塘端A、B的距离，的距离，可先在平地上取一个可以直接到达可先在平地上取一个可以直接到达A和和B 的点的点C，连结，连结AC并延长到并延长到D,使使CD=CA.连结连结BC并并延长到延长到E,使使CE=CB.连结连结DE,那么量出那么量出DE的长，的长，就是就是A、B的距离的距离.为什么？为什么？ABCED分析分析:如果能证明如果能证明ABC DEC,就可以得出就可以得出AB=DE在在ABC 和和DEC中中,CA=CD,CB=CE.如果能得出如果能得出ACB=DCE,ABC 和和DEC就全等了就全等了.22知识应用例例2、如图，有一池塘，要测池塘端、如图，有一池塘，要测池塘端A、B的距离，的距离，可先在平地上取一个可以直接到达可先在平地上取一个可以直接到达A和和B 的点的点C，连结，连结AC并延长到并延长到D,使使CD=CA.连结连结BC并并延长到延长到E,使使CE=CB.连结连结DE,那么量出那么量出DE的长，的长，就是就是A、B的距离的距离.为什么？为什么？ABCED证明证明:在在ABC 和和DEC中中ABC DEC(SAS)AB=DE(全等三全等三角形的对应边相等角形的对应边相等)23 我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？探究4ABCD24猜一猜：猜一猜：是不是二条边和一个角对应相等，这样的两是不是二条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？如图如图ABCABC与与ABDABD中，中，AB=ABAB=AB，AC=BDAC=BD，B=BB=B他们全等吗？他们全等吗？BACD注注：这个角一定要是这两边所夹的角这个角一定要是这两边所夹的角25ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两两边及其一边所对的角相等，两个三角形个三角形不一定不一定全等全等 以以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为三角形的两边，长度为为2.5cm的边所对的角为的边所对的角为40 40，情况又怎，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？样？动手画一画，你发现了什么？26ABCDO补充充题：例例1 如图如图AC与与BD相交于点相交于点O,已知已知OA=OC，OB=OD，说明，说明 AOBCOD的理由。的理由。例例2 如图，如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断，你能判断BC=AD吗吗？说明理由。？说明理由。ABCD归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到过从它们所在的两个三角形全等而得到。证明证明:在在 AOB和和 COD中中AOB=CODAOB=CODOB=ODOB=OD AOBCOD(SAS)27小明做了一个如图所示的风筝，其中小明做了一个如图所示的风筝，其中EDH=FDH,EDH=FDH,ED=FD ED=FD，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道道EH=FHEH=FH吗？与同桌进行交流。吗？与同桌进行交流。EFDHEDHFDH 根据“SAS”，所以EH=FH28要点复习与回顾：要点复习与回顾：1、边角边的内容是什么？、边角边的内容是什么？2、边角边的作用、边角边的作用:（证明两个三角形全等，也可间接证明线段，角相等）（证明两个三角形全等，也可间接证明线段，角相等）3、怎样找已知条件、怎样找已知条件:一是已知中给出的，二是图形中隐含的一是已知中给出的，二是图形中隐含的(如：公共边如：公共边、公共角、对顶角、邻补角，外角、平角等）、公共角、对顶角、邻补角，外角、平角等）总结：已知中总结：已知中找找。图形中。图形中看看29 3.利用全等三角形证明线段或角相等利用全等三角形证明线段或角相等,是是证明证明 线段线段 或角相等的重要方法之一，或角相等的重要方法之一，其其思路如下思路如下：观察要证的线段和角在哪两个可能全等三观察要证的线段和角在哪两个可能全等三角形之中角形之中.分析要证全等的这两个三角形，已知什么分析要证全等的这两个三角形，已知什么条件，还缺什么条件条件，还缺什么条件.课堂小结课堂小结:2.用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形1.三角形全等的条件三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等个三角形全等 (边角边边角边或或SAS)30 设法证出所缺的条件.2.利用全等三角形解决实际问题的步骤：先确定实际问题应用哪些几何知识解决.根据实际抽象出几何图形.结合图形和题意写出已知，求证.经过分析，找出证明途径.写出证明过程.作业:31补充练习：补充练习：.如图如图(1)，ABC中，中，BC=10cm，AB的中垂线的中垂线交于交于BC于于D，AC的中垂线交的中垂线交BC于于E，则，则 ADE的周的周长是长是_.ABCD E 如图如图(2),ABC中中,DE垂直平分垂直平分AC,AE=2.5cm,ABC的周长是的周长是9cm,则则 ABC的周长是的周长是_.ABCDE322.判定两个三角形全等要具备什么判定两个三角形全等要具备什么条件条件?33 有三边对应相等的两个三角形全等。边边边：34 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。边角边：35 一张教学用的三角形硬纸板不小心一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？36CBEAD37 先任意画出一个ABC，再画一个A/B/C/，使A/B/=AB，A/=A，B/=B。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？38已知：任意已知：任意 ABC，画一个，画一个 A/B/C/，使使A/B/AB，A/=A，B/=B：画法：画法：2、在、在 A/B/的同旁画的同旁画DA/B/=A，EB/A/=B，A/D，B/E交于点交于点C/。1、画画A/B/AB；A/B/C/就是所要画的三角形。就是所要画的三角形。问：通过实验可以发现什么事实？问：通过实验可以发现什么事实？39 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。探究反映的规律是：40例题讲解：例题讲解：例例1.已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于相交于 点点O，AB=AC，B=C。求证：求证：BD=CE 证明证明：在：在ADC和和AEB中中A=A（公共角）（公共角）AC=AB（已知）（已知）C=B（已知）（已知）ACDABE（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又AB=AC（已知）（已知）BD=CE411.如图，如图，1=2，3=4 求证：求证：AC=AD证明：证明：ABD=1803 ABC=1804而而3=4（已知）（已知）ABD=ABC在在ABD和和ABC中中1=2（已知（已知）AB=AB（公共边）（公共边）ABD=ABC （已知（已知）ABD ABC（ASA）AC=AD （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）巩固练习巩固练习123442 在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？探究2ABCDEF43例题讲解：例题讲解：例例1.已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于相交于 点点O，AD=AE，B=C。求证：求证：BD=CE 证明证明：在：在ADC和和AEB中中A=A（公共角）（公共角）AD=AE（已知）（已知）C=B（已知）（已知）ACDABE（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又 AD=AE（已知）已知）BD=CE44知识应用知识应用1.如图，要测量河两岸相对的两点如图，要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，可以在的距离，可以在AB的垂线的垂线BF上取两点上取两点 C，D，使，使BC=CD，再定出，再定出BF的垂线的垂线 DE，使，使A，C，E在一条直线上，这时在一条直线上，这时 测得测得DE的长就是的长就是AB的长。为什么？的长。为什么？ABCDEF452.已知，如图，已知，如图，1=2，C=D 求证：求证：AC=AD 在在ABD和和ABC中中1=2 （已知）（已知）C=D（已知）（已知）AB=AB（公共边）（公共边）ABDABC（AAS）AC=AD （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）证明：证明：1246（1）学习了ASA和AAS。（2）由实践证明角边角是真命题。（3）要根据题意选择适当的方法。（4）证明线段或角相等，就是证明 它们所在的两个三角形全等。47p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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