指数函数及其性质

第2课时指数函数及其性质的应用 1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题. 1.指数函数单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用(重点) 1函数yax(a0，且a1)的定义域是R，值域是_若a1，则当x0时，y_1；当x0时，y1；当x0时，y_1.若0a0时，y1，当x1时，函数yax在R上是_0a1时，函数yax在R上是_(0，)增函数减函数 3若ab1，当x0时，函数yax图象在ybx图象的上方；当xab0，当x0时，函数yax图象在ybx图象的上方；当x0，且a1)和yax(a0，且a1)的图象关于_对称y轴 复合函数yaf(x)单调性的确定：当a1时，单调区间与f(x)的单调区间_；当0a0.53x4，则x的取值范围是_解析：232x0.53x4 232x243x 32x43x x1.答案：x|x1 由题目可获取以下主要信息：所给函数与指数函数有关；定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解. 题后感悟对于yaf(x)这类函数，(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围 (2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域 解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t2x，利用换元法求值域. 解题过程函数定义域为R.令2xt(t0)，则y4x2x11t22t1(t1)2.t0，t11，(t1)21，y1，值域为y|y1，yR题后感悟如何求形如yb(ax)2caxd的值域？换元，令tax；求t的范围，tD；求二次函数ybtctd，tD的值域 如图所示：(1)f(x1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位得f(x1)的图象，如下图 (2)f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得f(x)的图象，如图(1)(3)f(x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(x)的图象，如图(2) 题后感悟利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)(2)；对称需分清对称轴是什么，如(3)(4) 利用复合函数的单调规律求之. 解题过程(1)设yau，ux22x3.由ux22x3(x1)24知，u在(，1上为减函数，在1，)上为增函数根据yau的单调性，当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1；当0a0且a1)的函数的单调性？方法一：利用单调性定义比较y1af(x1)与y2af(x2)时，多用作商后与1比较方法二：利用复合函数单调性：当a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相同；当0a0且a1)的图象与yax(a0且a1)的图象关于y轴对称，yax(a0且a1)的图象与yax(a0且a1)的图象关于x轴对称，函数yax(a0且a1)的图象与yax(a0且a1)的图象关于坐标原点对称 2y(ax)型或yaf(x)型函数的单调规律研究形如yaf(x)(a0，且a1)的函数的单调性，可以有如下结论：当a1时，函数yaf(x)的单调性与f(x)的单调性相同；当0a0，且a1)的函数单调性的研究，也需结合ax的单调性及(t)的单调性进行研究 复合函数yf(x)的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出yf(u)与u(x)两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数，为何有“同增异减”？我们可以抓住“x的变化u(x)的变化yf(u)的变化”这样一条思路进行分析 求方程2|x|x2的实根的个数解析：原方程可化为2|x|2x.令y12x，y22x.在同一坐标系内作出两函数图象，如图所示两函数有两个交点，方程2|x|x2有两个不同的根题后感悟本题巧妙地构造函数，利用图象交点个数判定方程解的个数，充分体现数形结合的观点 练规范、练技能、练速度