计算机图形学图形变换

北大计算机系多媒体与人机交互1 第6讲 图形变换 主要介绍二维几何变换窗口到视区的变换三维几何变换 北大计算机系多媒体与人机交互2 变换的数学基础(1/4) 矢量矢量和 zyxuuuU zyxvvvV zz yy xx vu vu vuVU 北大计算机系多媒体与人机交互3 变换的数学基础(2/4)矢量的数乘 矢量的点积性质 zyxkukukuUk zzyyxx vuvuvuVU UVVU VUVU 0 00 UUU 北大计算机系多媒体与人机交互4 变换的数学基础(3/4)矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角矢量的叉积 222 zyx uuuUUU VU VU cos zyx zyx vvv uuu kjiVU 北大计算机系多媒体与人机交互5 变换的数学基础(4/4)矩阵 阶矩阵n阶方阵零矩阵行向量与列向量单位矩阵矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 m n 北大计算机系多媒体与人机交互6 二维基本变换（1/3） 平移变换 TPP yxP yxttT yxP yxtyy txx 北大计算机系多媒体与人机交互9 齐次坐标与二维变换的矩阵表示 （1/4）为什么需要齐次坐标？多个变换作用于多个目标变换合成变换合成的问题引入齐次坐标 变换的表示法统一 北大计算机系多媒体与人机交互10 齐次坐标与二维变换的矩阵表示（2/4）齐次坐标定义 (x,y)点对应的齐次坐标为(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ( , , )x y hh h 0, hhyyhxx hh hz hyy hxx hhh 北大计算机系多媒体与人机交互11 齐次坐标与二维变换的矩阵表示（3/4）标准齐次坐标(x,y,1)二维变换的矩阵表示平移变换旋转变换 1),(1100 10 011 yxttTyxttyx yxyx记为 1)(1100 0cossin 0sincos1 yxRyxyx 记为 北大计算机系多媒体与人机交互12 齐次坐标与二维变换的矩阵表示（4/4）放缩变换变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现 1),(1100 00 001 yxssSyxssyx yxyx记为 北大计算机系多媒体与人机交互13 复合变换及变换的模式（1/6） 问题：如何实现复杂变换？关于任意参照点 的旋转变换 变换分解变换合成P x yr r r( , ) ),()(),();,( rrrrrr yxTRyxTyxR 北大计算机系多媒体与人机交互14 复合变换及变换的模式（2/6）关于任意参照点 的放缩变换 P x yr r r( , ) ),(),(),(),;,( rryxrryxrr yxTssSyxTssyxS 北大计算机系多媒体与人机交互15 复合变换及变换的模式（3/6）变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘法不可交换）Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();Translate2D(1,0);Rotate2D(45);House(); 北大计算机系多媒体与人机交互16 复合变换及变换的模式（4/6）变换的固定坐标系模式 相对于同一个固定坐标系先调用的变换先执行，后调用的变换后执行 Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House(); 北大计算机系多媒体与人机交互17 复合变换及变换的模式（5/6）人的思维方式每次变换产生一个新的坐标系变换的活动坐标系模式先调用的变换后执行，后调用的变换先执行（图形系统一般用堆栈实现） 北大计算机系多媒体与人机交互18 复合变换及变换的模式（6/6）Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House(); 例子 北大计算机系多媒体与人机交互19 其它变换（1/6） 对称变换关于x轴的对称变换关于y轴的对称变换 100 010 001xSY 100 010 001ySY 北大计算机系多媒体与人机交互20 其它变换(2/6)关于任意轴的对称变换 北大计算机系多媒体与人机交互21 其它变换(3/6)错切变换以y轴为依赖轴的错切变换 以y=0为参考轴 100 010 01)( xxy shshSH yy yshxx x 北大计算机系多媒体与人机交互22 其它变换(4/6）以 为参考轴y yref 100 0101),( refxxrefxy yshshyshSHx = x + shx ( y yref)y= y 北大计算机系多媒体与人机交互23 其它变换（5/6）以x轴为依赖轴的错切变换 yxshy xx y 100 01 001)( yyx shshSH 北大计算机系多媒体与人机交互24 其它变换（6/6）仿射变换 fdycxy ebyaxx 100 fdc ebaA f 北大计算机系多媒体与人机交互25 二维图形的显示流程图（1/4）坐标系：建立了图形与数之间的对应联系 世界坐标系(world coordinate) 用户坐标系(user coordinate) 局部坐标系(local coordinate) 北大计算机系多媒体与人机交互26 二维图形的显示流程图（2/4)屏幕坐标系(screen coordinate) 设备坐标系(device coordinate) 北大计算机系多媒体与人机交互27 二维图形的显示流程图（3/4）窗口在世界坐标系中指定的矩形区域 用来指定要显示的图形 视区在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置 窗口到视区的变换 北大计算机系多媒体与人机交互28 二维图形的显示流程图（4/4） 北大计算机系多媒体与人机交互29 窗口到视区的变换（1/2） 目标将窗口之中的图形变换到视区中变换的求法变换的分解与合成 ),(),(),( minminminmin yxTEEEESvuTM yvxxwv 北大计算机系多媒体与人机交互30 窗口到视区的变换（2/2） ),()(),(),( minminminmin yxTREEEESvuTM yvxxwv 北大计算机系多媒体与人机交互31 三维几何变换（1/5）三维其次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系 ),( hzyx hhh 0, hhzzhyyhxx hhh 北大计算机系多媒体与人机交互32 三维几何变换（2/5）平移变换 放缩变换 1000 100 010 001),( zyxzyx ttttttT 1000 100 010 001),( zyxzyx ssssssS 北大计算机系多媒体与人机交互33 三维几何变换（3/5）旋转变换绕x轴绕x轴 1000 0cossin0 0sincos0 0001)( xR 1000 0cossin 0010 0sin0cos)( yR 北大计算机系多媒体与人机交互34 三维几何变换（4/5）绕z轴错切变换 1000 0100 00cossin 00sincos)( zR 1000 0100 010 001),( yxyxz shshshshSH 北大计算机系多媒体与人机交互35 三维几何变换（5/5）对称变换关于坐标平面xy的对称变换三维变换的一般形式 1000 000333231 232221 131211 aaa aaa aaaA 1000 0100 0010 0001xySY 北大计算机系多媒体与人机交互36 坐标系之间的变换 什么是？建立坐标系之间的变换关系将图形从一个坐标系中变换到另一个坐标系中怎样求？ 北大计算机系多媒体与人机交互37 习题7、在坐标系oxyz中，求一个变换将P(1,1,1)Q(2,2,2)变换到z轴上：P在坐标原点，Q在z轴正半轴。xyz P Qo xyz Q o(P)M