线性代数第六章二次型试的题目及问题详解

第六章 二次型一、基本概念n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数，一般形式为=工a x2 + 2工ii if（X,X2,叫）=4的2+2&护匹+24护厲+2片/+ a22x22+2a23x1X3+.+2al xx + .+a x 2In 1 nnn n1=1它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A/（x ,x，兀）n a xx =（x ,x，兀）12nij i j12ni=l j=lr alia21a12a22aIna2n丫x）1X2anlan2ann人巴丿记 X = 1,*2,0 ,则 f（X,X2，.,xn）= XAX称对称阵A为二次型f的矩阵，称对称阵A的秩为二次型f的秩.注意:一个二次型/的矩阵A必须是对称矩阵且满足/ = XtAX ,此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型/和它的矩阵A （A为对称阵）是一一对应的，因此, 也把二次型/称为对称阵A的二次型。实二次型 如果二次型的系数都是实数，并且变量x , x ,x的变化范围也限 12n定为实数，则称为实二次型大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如M +兀2 + + 兀21122n n称为二次型的标准型。规范二次型 形如X2 + -X2 -%2 X2的二次型，即平方项的系数只1p 卩+1p+q1, -1, 0,称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f（xpx2,. ,xn）引进新的变量y】$2,. ,y并且把X冬, ,X“表示为它们的齐一次线性函数x=cy+ cy+ cy1111122Innx=cy+cy+ cy0,称二次型f（XpX2，. 称为正定二次型如果实对称矩阵A所决定的二次型正定，则称A为正定矩阵，于是A为正定矩 阵也就是满足性质:当於0时,一定有XMX0,且A定是是对称矩阵。二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的即实对称矩阵的正定 性在合同变换时保持不变.（2）性质与判断实对称矩阵A正定o合同于单位矩阵.即存在可逆矩阵0使QTAQ = E,或者存在可逆矩阵P,使得PTEP = A对任意可逆矩阵C, CTAC正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。oA的正惯性指数等于其阶数n.oA的特征值都是正数. oA的顺序主子式全大于0.顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式，第r个（或称r阶）顺序主子式即 A的左上角的r阶矩阵的行列式| Ar|.判断正定性的常用方法：顺序主子式法，特征值法，定义法.A = 0 u a不可逆O r（A） Y nOAx=0有非零解O 0是A的特征值OA的列（行）向量组线性相关A是”阶可逆矩阵：o|a|hO (是非奇异矩阵)；r(A) = n (是满秩矩阵)oA的行(列)向量组线性无关；o齐次方程组血=0只有零解；o *b wRn, Ax = b 总有唯一解；o A与E等价；o A可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0；o A7A是正定矩阵；可由叫，2，, an惟一线性表示fl=xial+x2a2+-+xanOAx=0有惟一解%=0严2,叫)T,A=(叫，性:，叫)O r(A)=r(A -fl)=nOIAIH0o血=0只有零解O久=o不是A的特征值AB=0 o 4(久為,)=0, B=( %力2,丿OAD.=0J=1,2,sO曾上2,，化均为Ax=0的解(=r(A)+r(B)zz)O若巧工0直A为n阶方阵时，巧为对应特征值妒0的特征向量 OA M列向量组线性相关，B的彳M向量组线性相头。AB=CA(b19 巧，,咕心,C2,-, C)O Ab.=C.,j=l ,2, :厂bAx=C.的解.OC ,C ,(可由A的列向量组a , a , a线性表示.12r12s= r(C)=r(AB) W 厂或 r(B)OC的行向量组可由B的行向量组线性表示。一、概念型题1.写出二次型/(x,x,x) = 2xx+ + 2x x -6x x 的矩阵21 32 3兀211 2X X1 3A =X X兀2X X2 122 3X XX X兀2L 3 13 23011232二次型/(冒211-31-302题答案:1200221001300000,X , X ) = X2 + 2x2 + 3%2 +4x X +2x X 的矩阵是341231 22 322-14-13对应的二次型是.答案：%2 + 2x2 + 3%2 +4x x + 8x x -2x x ,1231 21 32 34. 已知二次型 /(x ,x ,x ) = a(x2 + %2 + %3)+ 4x x + 4x x1 231221 21 3换x=Py可化成标准型/ = 6J2 ,贝ij a =解：心3a = 6 + 0 + 0 = 65 已矢口二次型Ax =兀2 5x2 + 兀2 + 2ax x +2x x +2bx x1 2(2, 1, 2) t是A的特征向量， 解：二次型对应的矩阵A为：的秩为2,31 21 32 3那么经正交变换后二次型的标准型是_1a1j1 一A =a-5b0 G+aZ)b-a1b10b-a0因为(2,r(A)= 2 二 a =方1, 2) t是A的特征向量,所以a-5aA XE =九匕 + 6)b 3)= 0 n 九=0,九=3,九=6, f = 3y2 6y212312二、化二次型为标准型1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其 规范形。(1) /(X , X , X ) = X2 + X2 - X2 + 2x x +2x X -2x X1231231 21 32 3解：先集中含有X的项，凑成一个完全平方，再集中含有X?的项，凑成完全平方/(X ,X ,X ) =(X2 +2x X +2x X ) + X2 - X2 - 2x X11 21 3232 3=x +x + X T2 - X2 - X2 - 2x X +X2 -X2 -2x X123232 32=G +x + X)2 - 2(x + X12323+ 2x22X1x + x = y32二 y3标准型:f = J2 -2j2 +2J2,正惯性指数:123规范性:张宀叫)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3.解:f(xpx2，x3)= ( x12+2x1x2-2x1x3 )+2x22+2x2x3=片X +x -X = V1231 = QyX1X2X3负惯性指数：q = 1+ x -x T2 + x + 2x J2 -5x223233设+2丁, 6,标准型：/十+写-讥正惯性指数： = 2,负惯性指数：q = l,规范性：/ = Z2+Z2Z2123 f(xfx2，x3)= -2xix2+2xix3+2x2x3.解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：_y1 12_i-17 = y2 1+ y , X = C2y，-i1X =J3y300101y = C 于=010z001设:标准型：/ = 22 +2乙2 +2乙2 ,规范性：/=Z2+Z2+Z21231232. 设二次型 f(x1，x2，x3)=XiX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3，(b0),其中 A 的特征值之和 为1,特征值之积为-12.(1)求a,b.(2)用正交变换化他严2迅)为标准型。解：二次型的矩阵：人上:,因为a + 2 2 = 1,A = 0 20b Q -2A| = 4a 2b 2 = -12 二 /? = -2(2) 九= d 2(X + 3)= 0 n 九=X =2,九=3123九=2 oc =(0,1,0 a 二(2,0,1 X = 3 ct = 6,0,211233因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。=(0,106,0,1=丄6,0,-23厉0 = G ,耳，耳)2-1A2 二 QtAQ = X V2 +X V2 +X V21231122333. 已知二次型 f(xx,x2，x3)=( 1 -a)x12+( 1 -a)x22+2x32+2( 1 +a)x1x2 的秩为 2.求a.求作正交变换X=QY,把f(X1，x2，x3)化为标准形.(3)求方程 f(xfx2，x3)=0 的解.解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个知识点，特别是第三部分比较新颖。1 01 + a011 (11+a 0二次型的矩阵A为：A =1 + a1 a0，a| =1+a1u 0=o 得 a=000200 2这里“111 0_1 0可求出其特征值为九z1二九2=2,X3=000 2解(2E A)x = O,得特征向量为：oc =Cl,0)oc =(0,0,1)1 2解(0E A)x 0,得特征向量为：oc = G,1,0)3由于oc ,oc a已经正交，直接将a ,a , a单位化，得:123123n =丄牡,0)“ = G,o,i)m =丄6,i,o)1 Aj A-. T 所 L.l 2 = 0 I BP a = 2 .II)若规范形为J2 + J2,说明有两个特征值为正，一个为0。则1 2若九=。=0,贝ij X =-20 , X =30,符合2 13若X =0 ,即a = -l,则九=-1 0 , X = -30 ,不符题意3 12综上所述，故a = 25. 已知向量a = (l, -1, 0卩是二次型 f(x,%2,%3) = xrAx = ax +%2 一2兀兀2 +2兀兀3 +2X2X3的矩阵A的特征向量，求正交变 换化该二次型为标准型。a -11、解:-10b,又因为oc = (l, -1, 0卩是A的特征向量， b 1J设a所对应的特征值为九，有Aa二血oa -1 Pr x -10 b-1=k-1, -1二-XJi99Ja +1 =九九=10-1n即1 =九 o a 0 ,则-101l-b = 0方=1J1b计算A的特征多项式XE-A =(X-1)(X2 _3),则A的特征值为九=1,九2二石,X3 = -3 ,其基础解系为 P=(l, 1, l + v;3) y =(1, 1, l-0,所以丨门11 t 14且 t 12 =4-5/20，5/2 + 4/0, -0-125所以，当牛 0# 2 0厂昇71 04. 设A是3阶实对称矩阵，满足A2 + 2A = 0,并且咻)=2.(1) 求A的特征值.(2)当实数k满足什么条件时kA + E正定？解：A2 + 2A = 0 n A Cl + 2)=0n 九=0,九二2因为厂(A)= 2,所以特征值为0, -2, -21(2) kA + E 的特征值为 l,l-2k,i-2kQk 012n证明:7. 已知A是n阶可逆矩阵，证明At A是对称、正定矩阵。 （4rA = AtA,所以AtA是对称矩阵。若/kA正定，贝AtA = ATEA ,所以/kA与E合同合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以AtA是正定矩阵。（2）因为A是可逆矩阵，所以|4|h0, Ax = Q,当|A|0时，只有0解。所以Axh0=xh0, xt=（AX（Ax）=（AX Ax） 0所以AtA正定。8. 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mxn实矩阵，为b的转置矩阵, 试证：BtAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=no证明：必要性，设BtAB为正定矩阵，对任意的实n维列向量兀工0,XTO A（Bx） 0 二 Bx 0,即凤=0只有0解， r（B）=n充分性,=BtAtB = BtAB为实对称矩阵，r（B）=n,所以Bx = O只有0解，对任意兀工0, BxO,又因为A为正对称矩阵，所以 凤工0, (Bx)r A(Bx) 0, (Bx)r A(Bx)= xt Bt ABx 0, x 0 ,所以BTAB为正定矩阵。9.设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B = XE + AtA , 试证：当九0时，矩阵B为正定矩阵。证明：Bt = (kE + AtA)t =XE + AtA = B,所以A为n阶实对称矩阵 对于任意的实 n 维向量 x, xtBx = xtKE + AtAx = Xxtx + xtAtAx(Ax(Ax)n 0,当九0时，任意的兀工0,有 xt Bx = Xxtx +=+ (AX(AX),所以B为正定矩阵。矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递性。矩阵A与3等价记作：A = BOA经过有限次初等变换化为3,即a与E是同型矩阵O厂(4)=厂(3)0存在可逆矩阵P与Q,使得A = PBQA与B合同，记为A9BO存在n阶可逆阵P使得PtAP = B,即a与B都是方阵xt Ax与的正、负惯性指数相等.= r(A) = r(B)=合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同矩阵A与B相似，记作AsB,O存在n阶可逆矩阵P,使P-1 AP=B,即A与B都是方阵n r(A)二r(B)=相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。=相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵不一定相似。因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数，相似的矩阵 有相同的特征值，所以相似的实对称矩阵有相同的正，负惯性指数，所以相似的实 对称矩阵一定合同。对任意实对称矩阵A都存在正交矩阵P,使PtAP = PtAP = A ,即任意实 对称矩阵都和对角阵即相似又合同。若矩阵不是实对称矩阵，相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似。 相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不一定等价。特征值相同的实对称矩阵A和B 定相似，因为实对称矩阵都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根据相似的 传递性，A和B-定相似。特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。若A和B都能相似对角化，一定相似。若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。若都不能对角化，可能相似，也可能相似。例题：已知矩阵A和B,判断能否相似，2-61_ 12rA =0-10B =-2-303-60003A和B有相同的特征值，A能对角化，B不能对角化，所以A和B不相似。131616_110 1_-4-3-2A =-5-7-6B =010P =111-6-8-700-3211B = P-iAPA和B有相同的特征值,2.rz i i qG o oA=iiii,B=0 0 0 0iiii0 0 0 0i i i yl,其特征值为，显 然A、为实对称矩阵，且A B,于是A与B也合同。当A. B为实对称矩阵时，若A-B,则A、有相同的特征值xAx与兀t氐有相同的正负惯性指数与合同但若A、为非对称矩阵，则A与不合同3已知心44_41o-,c=22o-041220000002B=试判断A, B, C中那些矩阵相似,（合同矩阵必为对称矩阵）.-1、-10、0 ,则4与Bo那些矩阵合同。2 -14.设矩阵a= _2-1 -1（A）合同，且相似.（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似.（D）既不合同，又不相似解：九=九3,X =0,特征值不同，不相似，但是有相同的11123正负惯性指数。(1 2)5.设则在实数域上与A合同矩阵为()(2 1丿，-21 3)2-1Ac)p 1、1-2丿、T2,Il 2；解：D有相同的正负惯性指数。1 -2、一2 1丿