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不等关系与不等式（不等关系与不等式（2 2）复习引入复习引入1.比较两实数大小的理论依据是什么比较两实数大小的理论依据是什么?2.“作差法作差法”比较两实数的大小的一般比较两实数的大小的一般 步骤步骤?如果如果ab ab0;如果如果ab ab0;如果如果ab ab0探究（一）：不等式的基本性质探究（一）：不等式的基本性质 思考思考1 1：若甲的身：若甲的身高高比乙高，则乙的身材比甲比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然矮，反之亦然.从从数学的观点分析，这里反映数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，了一个不等式性质，你能用数学符号语言表你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？述这个不等式性质吗？a ab bb ba a（对称性）（对称性）思考思考2 2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？不等式性质如何用数学符号语言表述？a ab b，b bc ac ac c；a ab b，b bc ac ac c（传递性传递性）思考思考3 3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠乙高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？表述？a ab a+cb a+cb+cb+c（可加性可加性）思考思考4 4：还有一个不争的事实：若甲班的：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多则甲班的人数比乙班多.这里反映出的这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？不等式性质如何用数学符号语言表述？a ab b，c cd a+cd a+cb+db+d（同向可加性）（同向可加性）思考思考5 5：如果：如果a ab b，c c0 0，那么，那么acac与与bcbc的的大小关系如何？如果大小关系如何？如果a ab b，c c0 0，那么，那么acac与与bcbc的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？思考思考6 6：如果：如果a ab b0 0，c cd d0 0，那么，那么acac与与bdbd的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？a ab b，c c0 ac0 acbcbc；a ab b，c c0 ac0 acbcbc a ab b0 0，c cd d0 ac0 acbd bd(可乘性可乘性)(正数同向不等式的可乘性正数同向不等式的可乘性)思考思考7 7：如果：如果a ab b0 0，nNnN*，那么，那么a an n与与b bn n的大小关系如何？的大小关系如何？nanb a ab b0 a0 an nb bn n(nN(nN*)(可乘方性可乘方性)(可开方性可开方性)2n2n思考思考8 8：如果：如果a ab b0 0，nNnN，那那么么 与与 的大小关系如何？的大小关系如何？a ab b0 0 (nN(nN )2nnanb探究（二）：探究（二）：不等式的拓展性质不等式的拓展性质 思考思考1 1：在等式中有移项法则，即：在等式中有移项法则，即a ab bc ac ac cb b，那么移项法则在不等式，那么移项法则在不等式中成立吗？中成立吗？a ab bc ac ac cb b思考思考2 2：如果：如果a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)，a a1 1a a2 2a an n与与b b1 1b b2 2b bn n的的大小关系如何？大小关系如何？a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)a a1 1a a2 2a an nb b1 1b b2 2b bn n 思考思考3 3：如果：如果a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)，那么，那么a a1 1a a2 2aan nb b1 1b b2 2bbn n吗？吗？aibi0(i1，2，3，n)a1a2anb1b2bn思考思考4 4：如果：如果a ab b，那么，那么a an n与与b bn n的大小关的大小关系确定吗？系确定吗？a ab b，n n为正奇数为正奇数 a an nb bn n思考思考5 5：如果：如果a ab b，c cd d，那么，那么a ac c与与b bd d的大小关系确定吗？的大小关系确定吗？a ac c与与b bd d的大的大小关系确定吗？小关系确定吗？a ab b，c cd ad ac cb bd d思考思考6 6：若若a ab b，abab0 0，那么，那么 的大小关系如何？的大小关系如何？11ab与 a ab b，abab0 011ab不等式的性质不等式的性质对称性对称性 ab传递性传递性 ab，bc可加性可加性 ab推推 论论移项法则移项法则 a+cb同向可加同向可加 ab，cd可乘性可乘性 ab,推推 论论同向同向正正可乘可乘ab0，cd0可乘方可乘方 ab0可开方可开方 ab0bb+cab-ca+cb+dacacbcc0c0acbnnnba acbd1,nNn2,nNn例例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知）已知ab，ab0，求证：，求证：；11ab证明：证明：（1）因为）因为ab0，所以，所以10ab又因为又因为ab，所以，所以 11ababab即即 11ba因此因此 11ab（2）已知）已知ab，cbd；证明：（证明：（2）因为）因为ab，cb，cd，根据性质根据性质3的推论的推论2，得，得a+(c)b+(d)，即，即acbd.（3）已知）已知ab0，0cd，求证：，求证：abcd证明：（证明：（3）因为）因为0cb0，所以，所以 11abcd即即 abcd例例2.已知已知ab，不等式，不等式:（1）a2b2；（2）；（；（3）成立的个数是（成立的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）311ab11abaA例例3设设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，则，则A，B的大小关系是的大小关系是 。AB（2）若若3ab1，2c1，求求(ab)c2的取值范围。的取值范围。因为因为4ab0，1c24，所以所以16(ab)c20例例4（1）如果）如果30 x36，2y6，求，求x2y及及 的取值范围。的取值范围。xy18x2yb，那么，那么 ba；如果；如果aa 性质、如果性质、如果ab且且bc，那么，那么ac推论：如果推论：如果ab且且bc，那么，那么ab，那么，那么acbc；推论、如果推论、如果a b c，那么，那么a c b；性质、性质、ab0,且且cd0，那么，那么acbd性质性质4、如果、如果ab且且c0，那么，那么acbc；如果如果ab且且c0，那么，那么acb,且且cd，那么，那么acbd性质、性质、ab0,那么那么anbn性质性质8、ab0,那么那么nnab性质性质1：如果如果ab，那么，那么ba；如果；如果bb.性质性质1表明，把不等式的左边和右边交表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的们把这种性质称为不等式的对称性对称性。常用的基本不等式的性质常用的基本不等式的性质(对称性对称性)性质性质2：如果如果ab，bc，那么，那么ac.证明：根据两个正数之和仍为正数，得证明：根据两个正数之和仍为正数，得00ababbcbc(ab)+(bc)0 ac0 ac.这个性质也可以表示为这个性质也可以表示为cb，ba，则，则cb，则，则a+cb+c.证明：因为证明：因为ab，所以，所以ab0，因此因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，即即 a+cb+c.性质性质3表明，不等式的表明，不等式的两边都加上同一两边都加上同一个实数个实数，所得的不等式与原不等式同向，所得的不等式与原不等式同向.(可加性可加性)a+bc a+b+(b)c+(b)acb.由性质由性质3可以得出可以得出推论推论1：不等式中的任意一项都可以把它不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。一边移到另一边。（移项法则移项法则）推论推论2：如果如果ab，cd，则，则a+cb+d.证明：因为证明：因为ab，所以，所以a+cb+c，又因为又因为cd，所以，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 a+cb+d.几个几个同向不等式同向不等式的两边分别的两边分别相加相加，所，所得的不等式与原不等式得的不等式与原不等式同向同向。同向不等式可相加性同向不等式可相加性 性质性质5：推论推论1：如果如果ab0，cd0，则，则acbd.性质性质4：如果如果ab，c0，则，则acbc；如果；如果ab，c0，则，则acb，c0，所以，所以acbc，又因为又因为cd，b0，所以，所以bcbd，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 acbd。几个两边都是正数的几个两边都是正数的同向不等式同向不等式的两边的两边分别分别相乘相乘，所得的不等式与原不等式，所得的不等式与原不等式同向同向。(可乘性可乘性)性质性质6：推论推论2：如果如果ab0，则，则anbn，(nN+，n1).证明：因为证明：因为 000ababnab 个，个，根据性质根据性质4的推论的推论1，得，得anbn.(可乘方性可乘方性)性质性质7：推论推论3：如果如果ab0，则，则，(nN+，n1).nnab证明：用反证法，假定证明：用反证法，假定 ，即，即 或或 ，nnabnnabnnab 根据性质根据性质4的推论的推论2和根式性质，得和根式性质，得ab矛盾，因此矛盾，因此nnab(可开方性可开方性)性质性质8：
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