三角形的外心及其性质59

三角形的外心及其性質三角形的外心及其性質自我評量自我評量四邊形的外接圓四邊形的外接圓外心的應用外心的應用三角形的外心及其性質三角形的外心及其性質 給定一線段 ，如圖3-1，如何利用尺規作圖，作一個圓通過A、B 兩端點？如圖3-2，最簡單的方法是直接以 為直徑畫圓。ABAB AB圖3-1圖3-2在上一冊曾經學過：1.一線段的垂直平分線上任一點到此線段兩端點等距離。2.與一線段兩端點等距離的點必在該線段的垂直平分線上。所以利用此觀念，只要圓心在 的垂直平分線上，就可以作出通過A、B 兩端點的圓。如圖3-3，作 的垂直平分線L，並在L上取一點O當圓心，如果O點在 上，則此圓就是以 為直徑的圓。如果O點不在 上，以 為半徑畫圓，此圓必通過B 點。當O離 愈遠，則半徑 愈長，此圓也會愈大。AB AB AB AB AB AB OA OA圖3-3 給定一個ABC，可以找到一個圓通過A、B、C 三頂點嗎？圖圖3-5 如圖3-4，ABC 為直角三角形，以 為直徑作圓，剛好通過A、B、C 三點。圖圖3-4 AB 如圖3-5，ABC 為銳角三角形，以 為直徑作圓，C點會落在圓外。若要使圓通過C點，則圓心O要沿著 的垂直平分線L靠近C點，使圓逐漸變大，可以得到一個圓剛好通過A、B、C三點。AB AB圖圖3-7圖圖3-6 如圖3-6，ABC為鈍角三角形，其中C為鈍角，以 為直徑作圓，C點會落在圓內。若要使圓通過C點，則圓心O要沿著 的垂直平分線L遠離C點，使圓逐漸變大，也可以得到一個圓剛好通過A、B、C 三點。AB AB 如圖3-7，當A、B、C三頂點都落在圓周上時，圓心O點到A、B、C三頂點的距離都會相等。此時 和 的垂直平分線L1和L2都會通過O點。AB AC從上面的討論可以發現：任意三角形一定存在一個圓同時通過此三角形的三個頂點。同時通過三角形三個頂點的圓稱為此三角形的外外接圓接圓，圓心稱為此三角形的外心外心，並可由尺規作圖作出此外接圓，而三角形稱為此圓的內接三角形內接三角形。如圖3-8，三種ABC中，L1為 的垂直平分線，L2為 的垂直平分線，L1與L2交於O點，連接 、，AB OB OC BC OAL1是 的垂直平分線，。又L2是 的垂直平分線，。故 ，O點在 的垂直平分線上，即 的垂直平分線通過O點。OB OC OA OB AB BC OA OB OC AC AC圖圖3-8銳角三角形鈍角三角形直角三角形由上面的說明可知：任意三角形三邊的垂直平分線交於同一點（外心），且此點到三頂點的距離相等。外心會落在三角形的內部、三角形的邊上或三角形的外部？我們用圓周角的觀點說明如下：如圖3-9，ABC為鈍角三角形，ABD為直角三角形，ABE為銳角三角形，且ABC、ABD與ABE皆為圓O的圓內接三邊形，所以圖圖3-9(1)鈍角三角形ABC 的外心（圓心O）會落在三角形外。(2)直角三角形ABD 的外心（圓心O）剛好落在三角形的斜邊中點。(3)銳角三角形ABE 的外心（圓心O）會落在三角形內。1.如右圖，ABC為銳角三角形，請利 用尺規作圖作出ABC的外心。2.如下圖，某主題樂園有歐式花園、餐廳和親水區三個 地點，要建一條圓形遊樂軌道連接起來，請在下圖畫 出這條圓形軌道。1直角三角形外接圓半徑直角三角形外接圓半徑直角三角形ABC 中，A90，6，8，試求ABC外接圓的半徑長。AB ACABC 為直角三角形，斜邊 ，且 中點O 即為外心，故外接圓半徑 10 25。BC10 8 6 22 BC OB1.直角三角形ABC中，A90，5，12，試求ABC外接圓的半徑長。AB ACABC為直角三角形斜邊 且 中點O為外心故外接圓半徑 132 BC13 5 12 22 BC OB213 2.ABC 中，8，15，17，試求 ABC外接圓的半徑長。AB AC BC17215282ABC 為直角三角形故外接圓半徑 斜邊長 21 217 2 直角三角形的外心直角三角形的外心有一個等腰直角三角形，其外心到三頂點的距離總和為15，試求此三角形的面積。如右圖，外心O在斜邊中點上，且 15又 5，10三角形的面積 10525 OC OA OB OA OB OC OA BC BC OA21 21 有一個直角三角形，其外心到三頂點的距離和為30，若有一股長為12，試求此三角形的面積。由題意知：斜邊長2(30 3)20另一股長故三角形面積 12169621 16 12 20 22 圓內接三角形的三內角為其外接圓的圓周角，在第二章學過圓周角圓心角的一半，故可利用此關係求解相關問題。如右圖，畫出ABC 的外接圓。A BOC（圓周角 圓心角）BOC2A 267 13421 21 3 外接圓的應用外接圓的應用如右圖，ABC中，A67，O為ABC外心，試求BOC。搭配習作P.46基礎題5承例題3，若ABC79，試求AOB 與AOC。AOC2ABC279158ACB180AABC34AOB2ACB23468如右圖，畫出PQR 的外接圓。在優弧QR上任取一點A，則ARPQ為圓內接四邊形，PA180A18012852又QOR2A QOR2521044 外接圓的應用外接圓的應用如右圖，鈍角三角形PQR 中，P128，若O為PQR 外心，試求QOR。搭配習作P.47基礎題6如右圖，畫出PQR 的外接圓。在優弧QR 上任取一點A，P128QAR2128256 QPR360QAR 360256104故QOR104。如右圖，若O為鈍角三角形ABC 外心，且AOC146，試求B。如右圖畫出ABC 的外接圓ABCAOC146ADC360ABC360146214B ADC10721 四邊形的外接圓四邊形的外接圓 任意三角形都有外接圓，是不是所有的四邊形都有外接圓呢？若給定的四邊形ABCD有外接圓，則此圓必通過A、B、C三點，即必為ABC的外接圓，所以四邊形ABCD是否有外接圓的問題就變成D點是否在ABC的外接圓上的問題，因此先作ABC的外接圓，如圖3-10，則D點可能落在圓內、圓上或圓外。接下來，我們來討論這三種情形：D 點在圓內D 點在圓上D 點在圓外圖圖3-101.D 點在圓內：點在圓內：如圖3-11，延長 ，交圓於E 點，並連接 ，則BE180，又ADCE（外角大於任一內對角）ADCBEB即ADCB180。圖圖3-11 AD CE2.D 點在圓上：點在圓上：如圖3-12，四邊形ABCD為圓內接四邊形，BD180。圖圖3-123.D 點在圓外：點在圓外：如圖3-13，設 交圓於E 點，並連接 ，則BAEC180，又DAEC（外角大於任一內對角）DBAECB即ADCB180。AD CE圖圖3-13由上面的討論可知，在四邊形ABCD中：1.若BD180，則與上述 、的結論不合，因此D點只會落在 ABC的外接圓內。既然D點不會落在ABC的外 接圓上，那麼四邊形ABCD就沒有外接圓。2.若BD180，則與上述 、的結論不合，因此D點只會落在 ABC的外接圓上，即四邊形ABCD有外接圓。2.3.3.1.3.若BD180，則與上述 、的結論不合，因此 D 點只會落在 ABC 的外接圓外。既然D點不會落在ABC的外 接圓上，那麼四邊形ABCD就沒有外接圓。2.1.因此可得：若四邊形的對角互補，則此四邊形有外接圓。一般而言，若我們說A、B、C、D四點在同一圓上或A、B、C、D四點共圓，意思是有一個圓會同時通過A、B、C、D這四個點，也就是四邊形ABCD有外接圓。1.如右圖，四邊形ABCD中，AC180，請利 用尺規作圖，作出一圓通過A、B、C、D四點。2.如右圖，四邊形ABCD 中，1為 BCD的外角，且A1，試 證A、B、C、D四點在同一圓上。1BCD180，A1ABCD180 故A、B、C、D 四點在同一圓上5 四邊形外接圓四邊形外接圓如右圖，圓O通過平行四邊形ABCD的兩頂點A、B，且分別與 、交於E、F兩點，試證C、D、E、F 四點在同一圓上。AD BC(1)如右圖，連接 。(2)A、B、F、E 四點在同一圓上，四邊形ABFE為圓內接四邊形，故A1。EF(3)ABCD為平行四邊形，AD180。(4)由(2)、(3)知 1D180，四邊形CDEF的對角互補，因此四邊形CDEF有外接圓，故C、D、E、F 四點在同一圓上。如右圖，梯形ABCD 中，/，若有一圓通過此梯形的兩頂點C、D，且分別與 、交於E、F 兩點，試證A、B、F、E四點在同一圓上。AB DC AD BC連接 ，C、D、E、F 四點共圓CAEF又 /，BC180故BAEF180即A、B、F、E 四點共圓 EF AB DC(1)為切線，12 AC，同理34 AD。PC21 21 6 四邊形外接圓的應用四邊形外接圓的應用如右圖，兩圓交於A、B兩點，過A點作直線分別交兩圓於C、D兩點，分別過C、D兩點作切線交於P點，連接 、，試證P、C、B、D 四點共圓。BC BD搭配習作P.47基礎題7(2)PCD 中，P13180，P24180，PCBD180，P、C、B、D 四點共圓如右圖，ABCADC 180，試證12。ABCADC180A、B、C、D 四點共圓故12 AB21 外心的應用外心的應用 前面我們已知道直角三角形的外心在斜邊中點上，利用此特性可以來推算306090直角三角形的三邊長比。7 30 60 90 三角形三邊長比三角形三邊長比如右圖，ABC 中，已知ACB90，B60，A30，a，試求 、。BC AB AC搭配習作P.47基礎題8如右圖，作斜邊中點O，ACB90，O 為外心，又OCBB60，則BOC60，故OBC 為正三角形，a，2a OA OB OC BC AB AC OC OB OA OB 22BCABaaa3 )2 (22如右圖，以 為對稱軸，將圖形翻轉，使B 點為B 點的對稱點，則 垂直平分 ，BB60，故ABB為正三角形，2 2a AC AC BB AB BB BC AC 22BCABaaa3 )2 (22如圖3-14，ABC 中，c，a，b，A30，B60，C90，則ABC 三邊長的比為a：b：c1：2。AB BC AC圖圖3-143 1.如右圖，ABC 中，A30，C 60，若 6，試求 。AB BC BC3 2 ：=：1 AB BC3 6：=：1 BC3 2.如右圖，鳶形ABCD 中，BAD120，BCD 60，若 4，試求其 外接圓的半徑。AB連接 ，BD90 ：2：1 8半徑4 AC AC AC AB8 正三角形的高與面積公式正三角形的高與面積公式如右圖，正三角形ABC 中，a，且 ，試求ABC的面積。ABBCAD 為正三角形ABC的高，ABD中，B60，ADB90，BAD30 ：2：1 故 a正三角形ABC 的面積 a a a2 AD AB AD BD3 AD21 BC AD21 2 3 4 3 由例題8知道：邊長為a 的正三角形，其高為 a，面積為 a2。2 3 4 3 1.若某正三角形的周長為12，試求此三角形的面積。面積 邊長2 （12）2 4 3 4 3 3 2 2.有一個正三角形面積是 ，試求此三角形的邊長。3 16 面積 邊長2 ，邊長83 16 4 3 1.外心：任何三角形三邊的垂直平分線交於同一點（外心），且此點到三頂點的距離相等。2.三角形外心的位置：(1)銳角三角形的外心會落在三角形內部。(2)鈍角三角形的外心會落在三角形外部。(3)直角三角形的外心剛好落在斜邊中點上。3.四邊形的外接圓：若四邊形對角互補，則此四邊形有外接圓。4.直角三角形的三邊比：ABC 中，c，a，b，A30，B60，C90，則ABC 三邊長的比為 a：b：c1：2。AB BC AC 3 5.正三角形的高與面積公式：邊長為a 的正三角形，其高為 a，面積為 a2。2 3 4 3 3-1 自我評量自我評量1.如下圖，有A、B、C 三村，想蓋一所公園和三村的距 離要相等，請用尺規作圖找出公園的位置。2.若直角三角形的兩股長分別為2、6，試求其外心到 三個頂點的距離和。斜邊長 外心到三頂點的距離和3（）102 6 2 22211021033.ABC中，已知A60，B40，若O為ABC 的外心，試求BOC。如右圖，圓O為ABC的外接圓。O 為外心BOCBC2A120 4.ABC中，若A為鈍角，O為外心，且BOC162，試求A。如右圖，圓O 為ABC 的外接圓。BACBOC162BDC360BAC198A BDC995.如右圖，ABC 中，且 /，試證 B、C、E、D 四點共圓。AB CD DE BC ，BC又 /，CDEC180故BDEC180因此B、C、E、D 四點共圓。AB AC DE BC6.ABC 中，A60，B90，若O為外心，且 18，試求ABC 的面積。OA OB OCO 為外心，6 12ABC中，A60，B90，C30 ：1：2 ：61：2 3，ABC OA OB OC AC AB BC AC AB BC AB BC21 AB BC239 3 3 33 在天才與勤奮之間，我毫不遲疑的選擇了勤奮，因為它是世間一切成就的催生者。愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）3G:Cyv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Byv)r&n#kWgTcP9M5I2E;Bx=t(q$mZiVfSbO8K4H0D.zw-s*o!lYhUeQaN6J3F:Czw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Czv-s&o!kXhTdQaM6J2F:Bzv-r&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M5I2F;Byv)r&n#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZjVfSbO8K4H0D.zw-s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I1E;Bx=t(q$mZiVfRbO7K4G0D.zw-s*o!lXhUdQaM6J3F:Czv-s&o!kXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdQ9M6I2F;Byv)r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I2E;Bx=t(q$mZiVfRbO8K4H0D.zw-s*o!lXhUdQaN6J3F:Czv-s*o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6J2F:Bzv-r&o#kXhTdQ9M6I2F;Byv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H1D.Aw+s*pXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Byv)r&n#kWgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZiVfSbO8K4H0D.zw-s*o!lYhUeQaN6J3F:Czw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Czv-s&o!kXhTdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M6I2F;Byv)r&n#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw-s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I1E;Bx=t(q$mZiVfRbO7K4H0D.zw-s*o!lXhUdQaN6J3F:Czv-s&o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F:Bzv-r&o#kXgTdQ9M6I2F;Byv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H0D.Aw+s*p!lYhUeQaN6J3G:Cyv)r&n#kWgTcP9M5I2E;Bx=t(q$mZiVfRbO8K4H0D.zw-s*o!lXhUeQaN6J3F:Czv-s*o!lXhUdQaM6J2F:Byu)r%n#jWgScP4H0D.zw-s*o!lXhUeQaN6J3F:Czw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQaM6J2F:Bzv-r&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M5I2F;Byv)r&n#kWgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZjVfSbO8K4H0D.zw-s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyu)r&n#kWgTcP9L5I1E;Ax=t(q$mZiVfRbO7K4G0D.zw-s*o!lXhUdQaM6J3F:Czv-s&o!kXhUdQaM6J2F:By=u)q%n#jWgScP8L5H1E.Aw+t*p$mYiVeRbN7K3Gzv-s&o!kXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M6I2F;Byv)r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I2E;Bx=t(q$mZiVfRbO8K4H0D.zw-s*XgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H0D.Aw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I2E;Bx=t(q$mZiVfRbO8K4H0D.zw-s*o!lXhUeQaN6J3F:Czv-s*o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6J2F:Bzv-r&o#kXhTdQ9M6I2F;Byv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Byv)r&n#kWgTcP9M5I2E;Bx=t(q$mZiVfSbO8K4Hzv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Byv)r&n#kWgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZiVfSbO8K4H0D.zw-s*o!lYhUeQaN6J3F:Czw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Czv-s&o!kXhTdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-s&o!kXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M6I2F;Byv)r&n#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I1E;Bx=t(q$mZiVfRbO7K4H0D.zw-s*o!lXhUdQaN2E;Bx=t(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I2E;Bx=t(q$mZiVfRbO7K4H0D.zw-s*o!lXhUdQaN6J3F:Czv-s&o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F:Bzv-r&o#kXhTdQ9M6I2F;Byv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4Hzv-r&o#kXhTdQ9M6I2F;Bx=u(