平面向量空间向量知识点

平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零 向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.一3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义1 、 三角形加法法则和 平行四边形加法法则.2、a + b a + 円.2.2.2、向量减法运算及其几何意义FF-1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2.2.3、向量数乘运算及其几何意义fe-*1、规定：实数九与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：九a，它的长度和方向规定如下九 a = |X| a ,*fc-ff当九0时，九a的方向与a的方向相同；当九V 0时，九a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量ah丰07与b共线，当且仅当有唯一一个实数九，使b二九a.2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数九，九，使a =九e +1 e .1 2 1 1 2 2 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示()a=xi+yj= x，y .1、2.3.3、平面向量的坐标运算设 a = (x , y ) b = (x , y )，贝 y： 1 1 2 2(1) a + b = (x + x , y + y ),1212a-b = (x -x ,y - y )，1212 1 a = (1x , 1y ),111、2、 a / b o x y = x y .1 2 2 1设 A(x ， y )， B (x ， y )，贝1 1 2 2AB = (x - x , y - y ).2 1 2 12.3.4、平面向量共线的坐标表示 设 A(x ， y )， B(x ， y )， C(x ， y )，贝1122331、(1)线段AB中点坐标为(去,沪旨I22EABC的重心坐标为 J3，十)241、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 a - b = a b cos0 .2、a在b方向上的投影为：和cos0 .C_2_ 一 23、a a .4、 5、 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设a - (x , y )b - (x , y )，贝y：1 1 2 2(1) a - b - x x + y y1 2 1 2(2) a = px： + y2(3)a 丄b o a-b - 0o xx + y y - 01 2 1 2(4) a / /b o a A b o x y - x y - 01 2 2 12、3、设 A(xy )/(x j )，则:1 1 2 2|AB| = ;(x 2 - x1)2 + (y 2 - y1)2两向量的夹角公式小a - bc o = I ii ja b4、x x + y y12 12x 2 + y 2 -ii点的平移公式平移前的点为P(x,y)(原坐标)，平移后的对应点为P(X,y)(新坐标)，平移向量为PP = (h, k),则函数y - f (x)的图像按向量a =(h，k)平移后的图像的解析式为y - k - f (x - h).251、平面几何中的向量方法_2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求 值的应用进行总结归纳.1、 直线的方向向量和平面的法向量1直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面a ,则称这个向量垂直于平面a ,记作n丄a ,如果n丄a ,那么向量n叫做平面a的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法） 建立适当的坐标系. 设平面a的法向量为n二（x, y, z）求出平面内两个不共线向量的坐标a = （ai, a2,叮b = S b2,少n - a = 0 根据法向量定义建立方程组n - b = 0 解方程组，取其中一组解，艮帀得平面a的法向量.（如图）1、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线l ,l的方向向量分别是a、,则要证明/ / ,1 2 1 2 即：两直线平行或重合O两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线l的方向向量是a ,平面a的法向量是u ,则要证明l a ,只需证明a丄u ,即 a - u = 0.一一-即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方 向向量是共线向量即可.面面平行若平面a的法向量为u ,平面卩的法向量为v ,要证a 卩，只需证u v ,即证u = Xv . 即：两平面平行或重合o两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直设直线l, l的方向向量分别是a、，则要证明l丄l，只需证明a丄b，即a - b = 0.1 2 1 2即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线l的方向向量是a，平面a的法向量是u，则要证明l丄幺，只需证明a u，（法二）设直线l的方向向量是a，平面a内的两个相交向量分别为m、n，若a - m = 0 一 _ = a丄PA a ua,a 丄 OA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也 和这条斜线的射影垂直PO 丄a,0 ea推理模式： PA p|a A n a 丄 AOa ua,a 丄 AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面a内的任一条直线，AD是a的一条斜线AB在a内的射影，且BD丄AD,垂足为D.设AB与a （AD）所成的角为0， AD与AC所成的角为0， AB与AC所成的角为 0 .则 cos 0 cos 0 cos 01212B4D8、面积射影定理已知平面卩内一个多边形的面积为S（S原），它在平面a内的射影图形的面积为S（S射）, 平面a与平面卩所成的二面角的大小为锐二面角0，则S Sc o 0 =射 .S S原9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为1、1、l，夹角分别为1230、0、0，则有12 12 +12 +12。coS20 + coS20 + coS20 11 2 3 1 2 3 1 2 3o sin 0 + si20 + S2101 . 2123 （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.