椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质

第四章第四章 地球椭球及其地球椭球及其数学投影变换的基本理论数学投影变换的基本理论第四章 第一讲主要内容一、地球椭球的几何、物理参数二、地球椭球参数间的相互关系三、旋转椭球面上的几种坐标系四、各坐标系间的关系上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容1、垂线偏差公式、垂线偏差公式和和拉普拉斯方程拉普拉斯方程2、测定垂线偏差的方法测定垂线偏差的方法 天文大地测量方法、天文大地测量方法、重力测量方法重力测量方法、天文重力测、天文重力测量方法量方法 、GPSGPS测量方法测量方法 (维宁.曼尼兹公式)3、测定大地水准面差距的方法、测定大地水准面差距的方法 地球重力场模型法、地球重力场模型法、斯托克司方法斯托克司方法、卫星无线电、卫星无线电测高方法、测高方法、GPSGPS高程拟合法、高程拟合法、最小二乘配置法最小二乘配置法等等 ()cosBLsin)(LA上一讲应掌握的内容（续）上一讲应掌握的内容（续）4.4.实现椭球定位的方法实现椭球定位的方法 一点定位一点定位 多点定位多点定位5.5.确定地球形状的基本概念确定地球形状的基本概念 天文大地测量方法：天文大地测量方法：弧线法；面积法弧线法；面积法 重力测量方法重力测量方法 222minminN新新新 或0,00KKKN KKKKKKKKHHABL正,00022222coscoscossinsin (1sin)(1sin)sin1BLXBLYBZNMeBaeBBa 旧旧旧旧旧新旧旧旧旧22abeb一、一、旋转椭球基本几何参数旋转椭球基本几何参数旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素)表示:长半轴长半轴 a 短半轴短半轴 b 椭圆的扁率椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率b平平行行圈圈赤赤道道K.午午子子圈圈OXYZANSaaaba abae22eee和和e是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比。是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比。它们之间的几个关系式：它们之间的几个关系式：222222221 11 1 1eeeeeeeeb平平行行圈圈赤赤道道K.午午子子圈圈OXYZANSaa2222e21eba21 eab用两个几何元素即可椭球的形状和大小，但至少一个长度元素。通常用:a,或e旋转椭球的直角坐标方程旋转椭球的直角坐标方程2222221XYZ aab黑板画图二、地球椭球（正常椭球）二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特征。根据4个基本参数可求得椭球扁率：近似公式：精密公式：式中：2,(),aJfM GM23122298.257qJ2232232222223193112799392281456169878498JqJJ qqJJ qJ qq23aqGM三、旋转椭球计算常用符号及互相关系三、旋转椭球计算常用符号及互相关系为简化书写，在旋转椭球计算中常引入以下符号2222,tan,cosactBeBb22221sin1cosWeBVeB221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221()1()1sin(1)1(1)bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 将：a、b、c、e、e、t、2、W、V写在黑板21 cae极点曲率半径WbVa四、经线和纬线的曲线方程四、经线和纬线的曲线方程 起始子午线的曲线方程：起始子午线的曲线方程：经度为经度为L的经线方程：的经线方程：两个面的截线 纬度为纬度为B的纬线方程：的纬线方程：222210XZabY 222222:1:tanXYZaabY=L X椭球面子午面22222210XYZaabZ=Z222XYr是一个圆五、经线、纬线、法线的特性五、经线、纬线、法线的特性BM 经线与纬线互相垂直 除赤道、两极上的法线外，法线不通过椭球中心 纬度较高的点，其法线与旋转轴的交点就较低 同一点的经线切线经线切线与纬线切线纬线切线垂直，也与法线法线垂直，三者可构成三维直角坐标系 平行圈的主法线主法线、副法线副法线及切切线线亦可构成三维直角坐标系RSTPONZ六、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系六、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系1.1.子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设椭球面上P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。(L,x,y)2.2.地心纬度坐标系地心纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为原点，以地心纬度地心纬度，向经为参数建立的坐标系。点的位置用（L L，）表示。3.3.归化纬度坐标系归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长与辅助圆相交点，则OP与X轴夹角称为P点的归化纬度归化纬度u，以归化纬度u 为参数建立的坐标系。点的位置用（L L，u）表示。图图4.4.大地极坐标系大地极坐标系yxoPP2xyyxoPPP1P2yxouNPMAS七、各坐标系间的关系七、各坐标系间的关系（一）（一）子午平面坐标系与大地坐标系的关系 22221xy abyxabdxdy22222c(1)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(0N子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)221sinWeBWBaBeBaxcossin1cos22cosxNBWaNBeNysin)1(2BPQysin)1(2eNPQ2NeQn cosxNBL（二）空间直角坐标与子午面直角坐标系的关系cos,sin,XxL YxL Zyyxx（三）空间直角坐标系与大地坐标系的关系 2coscoscossincossin(1)sinXxLNBLYxLNBLZyNeB2()coscos()cossin(1)sinXNHBLYNHBLZNeHB在椭球面上的点：在椭球面上的点：不在椭球面上的点：不在椭球面上的点：由空间直角坐标计算相应大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标arctanYLX222sintanYXBNeZB2(1)sinZHNeB 书上错xy（四）（四）空间直角坐标系与归化纬度坐标系的关系00cossin00 x=auybuzBcoscoscossinsinX=auLYauLZbu始子午线的参数方程始子午线的参数方程空间直角坐标系空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系同归化纬度坐标系的关系对于经度为任意值的椭球面上有cosB0r=xaubayM0 xO（五）（五）空间直角坐标系与地心纬度坐标系的关系2022202201cos1cos1sin1cos0exaeeyaez2221:1cos由椭圆方程可导出eae2222222221coscos1cos1cossin1cos1sin1coseXaLeeYaLeeZae00cossin00 x=yz（六）（六）B、u、之间的关系之间的关系 在赤道圈上：B=u=0 在两极处:B=u=90 在其他处:B u uVBsinsinu BBetan)1(tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuBn 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当过计算，当B=45时时八、旋转椭球面的几何性质八、旋转椭球面的几何性质 对称性对称性：对于三个坐标面、三个坐标轴、坐标原点都是对称的。有界性有界性：正则性正则性：旋转椭球面是一个连续、封闭的正则曲面，即每个曲面点都有唯一确定的非零的法向量。不可展性不可展性：（柱面、锥面是可展曲面）地图投影须顾及旋转椭球面不可展性。,XaYaZb结束 谢谢谢谢!天文大地测量方法天文大地测量方法弧线法：弧线法：按子午圈弧长或平行圈弧长的弧度测量法。按子午圈弧长或平行圈弧长的弧度测量法。在子午圈上测量纬度差，在平行圈上测量经度差。在子午圈上测量纬度差，在平行圈上测量经度差。面积法：面积法：现代推求新的椭球元素是在原有旧的椭球现代推求新的椭球元素是在原有旧的椭球元素基础上，综合利用天文、大地、重力及空间测元素基础上，综合利用天文、大地、重力及空间测量等资料，同椭球定向、定位等一起实现的。量等资料，同椭球定向、定位等一起实现的。43222111,(),(BBafSBBafS000sinsincoscoscos)(cos)(sinsin)(cossin0)(cos)(sinZYXBLBLBHMBHMLBHMLBHNLHNLN旧新新新222sin cossin sincossincos0sincos sinsin cos cos0 xyzBLBLBLLNeBBLNeBBL 旧广义弧度测量方程式广义弧度测量方程式广义弧度测量方程式广义弧度测量方程式()cosLBaBN旧2222222222000(2sin)sincossincossincos()()(1)(1sin)(1sin)(1sin)sin1NNMeBeBBmeBBBBMMH aMHNeBNMeBeBBa 旧旧其未知数是三个平移参数：其未知数是三个平移参数：X0，Y0，Z0，三个旋转参数：，三个旋转参数：x，y，z，一个尺度比参数，一个尺度比参数m，及椭球大小和，及椭球大小和形状参数形状参数a，。通常，在实用上。通常，在实用上舍去旋转和尺度比参数。舍去旋转和尺度比参数。在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程式，依据式，依据条件下求出椭球元素、定位元素、定向元素等条件下求出椭球元素、定位元素、定向元素等222minminN新新新 或 多点定位的方法过程多点定位的方法过程（对于我国）（对于我国）1)由由广义弧度测量方程广义弧度测量方程采用最小二乘法求椭球定位参数采用最小二乘法求椭球定位参数采用采用IUGG 75椭球参数。椭球参数。2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的:大地原点处大地原点处80椭球的垂线偏差椭球的垂线偏差K=-1.9及及 K=-1.6，高程异，高程异常值差常值差K=-14.2m。忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影响。忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影响。3)再由大地原点上测得的再由大地原点上测得的 ，按垂线偏差公，按垂线偏差公式与拉普拉斯方程计算大地原点的起算数据。式与拉普拉斯方程计算大地原点的起算数据。000(,)XYZ,KKKKLBHA,KKK利用拉普拉斯点的成果和以有椭球参数求解,kkKkH常重力测量方法重力测量方法应用克莱罗定理确定椭球大小和形状参数。在地面上至少测定二个点的重力，并把它们归算到平均海水面上，并用天文方法测定这两点大地纬度及地球自转角速度，用几何方法确定椭球长半轴a，就可用克莱罗定理求解椭球扁率。211222(1sin)(1sin)eegBgB q252eaq