87立体几何中的向量方法一证明平行与垂直

第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）8.7立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(一一)证明平行与垂直证明平行与垂直1直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一直线的方向向量：在直线上任取一_向量作为它的方向量作为它的方向向量向向量非零非零第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思考辨析】【思考辨析】判断下列结论是否正确判断下列结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”)(1)平面的单位法向量是唯一确定的平面的单位法向量是唯一确定的()(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行若两平面的法向量平行，则两平面平行()(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(4)若若ab，则，则a所在直线与所在直线与b所在直线平行所在直线平行()【答案】【答案】(1)(2)(3)(4)第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）2直线直线l的方向向量的方向向量a(1，3，5)，平面，平面的法向量的法向量n(1，3，5)，则有，则有()Al BlCl与与斜交斜交 Dl 或或l【解析】【解析】由由an知，知，na，则有，则有l，故选，故选B.【答案】【答案】B 第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）3平面平面的法向量为的法向量为(1，2，2)，平面，平面的法向量为的法向量为(2，4，k)，若，若，则，则k等于等于()A2 B4C4 D2第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）4如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O是底面正是底面正方形方形ABCD的中心，的中心，M是是D1D的中点，的中点，N是是A1B1的中点，则的中点，则直线直线ON，AM的位置关系是的位置关系是_第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）ON与与AM垂直垂直【答案】【答案】垂直垂直 第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）题型一利用空间向量证明平行问题题型一利用空间向量证明平行问题【例【例1】(2018重庆模拟重庆模拟)如图所示，平面如图所示，平面PAD平面平面ABCD，ABCD为正方形，为正方形，PAD是直角三角形，且是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段分别是线段PA，PD，CD的中点求证的中点求证：PB平面平面EFG.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【证明】【证明】平面平面PAD平面平面ABCD，ABCD为正方形，为正方形，PAD是直角三角形，且是直角三角形，且PAAD，第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思维升华】【思维升华】(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算样就把几何的证明问题转化为向量运算第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）跟踪训练跟踪训练1(2018海淀模拟海淀模拟)正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别是分别是C1C，B1C1的中点求证：的中点求证：MN平面平面A1BD.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【证明】【证明】如图所示，以如图所示，以D为坐标原点，为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）题型二利用空间向量证明垂直问题题型二利用空间向量证明垂直问题角度一证线面垂直角度一证线面垂直【例【例2】如图所示，正三棱柱如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱底面为正三角形的直三棱柱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为的所有棱长都为2，D为为CC1的中点求证：的中点求证：AB1平面平面A1BD.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）方法二方法二 取取BC的中点的中点O，连接，连接AO.因为因为ABC为正三角形，为正三角形，所以所以AOBC.因为在正三棱柱因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，中，平面平面ABC平面平面BCC1B1，所以所以AO平面平面BCC1B1.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(1)求证：求证：EF平面平面PAD；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PDC.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【证明】【证明】(1)如图，取如图，取AD的中点的中点O，连接，连接OP，OF.因为因为PAPD，所以，所以POAD.因为侧面因为侧面PAD底面底面ABCD，平面，平面PAD平面平面ABCDAD，所以所以PO平面平面ABCD.又又O，F分别为分别为AD，BD的中点，所以的中点，所以OFAB.又又ABCD是正方形，所以是正方形，所以OFAD.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思维升华】【思维升华】证明垂直问题的方法证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可一个平面的法向量即可第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(1)A1B1平面平面AA1C；(2)AB1平面平面A1C1C.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）建立如图所示的空间直角坐标系，点建立如图所示的空间直角坐标系，点A为坐标原点，为坐标原点，设设AB2，则，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【解析】【解析】(1)证明证明 平面平面PAD平面平面ABCD，平面，平面PAD平面平面ABCDAD，ABAD，AB 平面平面ABCD，AB平面平面PAD.PD 平面平面PAD，ABPD.又又PAPD，PAABA，且，且PA，PB 平面平面PAB，PD平面平面PAB.第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(2)取取AD中点中点O，连接，连接CO，PO，第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）PAPD，POAD.又又PO 平面平面PAD，平面平面PAD平面平面ABCD，PO平面平面ABCD，CO 平面平面ABCD，POCO，ACCD，COAD.以以O为原点建立如图所示空间直角坐标系易知为原点建立如图所示空间直角坐标系易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，1，0)，C(2，0，0)第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【思维升华】【思维升华】对于对于“是否存在是否存在”型问题的探索方式有两型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到的坐标，即找到“存在点存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定盾，则判定“不存在不存在”第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）跟踪训练跟踪训练3(2018广东五校联考广东五校联考)如图所示，四边形如图所示，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，MD平面平面ABCD，NB平面平面ABCD，且且MDNB1，E为为BC的中点的中点第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）(1)求异面直线求异面直线NE与与AM所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)在线段在线段AN上是否存在点上是否存在点S，使得，使得ES平面平面AMN？若？若存在，求线段存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）【解析】【解析】(1)如图，以如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐为坐标原点，建立空间直角坐标系标系Dxyz，第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）第八章第八章 立体几何与空间向量立体几何与空间向量高考总复习高考总复习 数学理科数学理科（RJRJ）