人教版高中数学知识点总结新

x x x(2)(3) 若 且 ，则AA B-高中数学 必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或 N+表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法： | 具有的性质，其中 为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集 . 含有无限个元素的集合叫做无限集 . 不含有任何元素的集合 叫做空集( ).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B(1)A A子集真子集（或B A)A B（或 B A）A 中的任一元素都属 于 BA B ，且 B 中至少有一元素不属于 A AA B B C A C (4) 若 A B 且 B A ，则 A =B（1） （A 为非空子集） (2) 若 且 B C ，则 A CA(B)或B AB A 集合相等A =BA 中的任一元素都属 于 B，B 中的任一元素 都属于 A(1) A B(2) B AA(B)（7）已知集合A 有 n( n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2 n 1个真子集，它有2n-1个非空子集，它有2n-2非空真子集.AU A =UA I ( A) =【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集并集A I BA U Bx | x A,x Bx | x A,x B且或（1）（2）（3）（1）（2）（3）A I A =A A I = A I B A A I B B A U A =A A U =A A U B A A U B BA BA B补集 AUx | x U , 且x A1 2 ( )U U 痧( A I B ) =( A) U (? B )U U U痧( A U B ) =( A) I (? B ) U U U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x |0) x | -a x a ( a 0)x | x a把ax +b看 成 一 个 整 体 ， 化 成| x |a，| ax +b |c ( c 0)| x |a ( a 0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式D=b2-4 acD0D=0D0)的图象Oax2一元二次方程 +bx +c =0( a 0)x =1,2-b b 2 -4ac2 ax =x =- 1 2b2 a无实根的根（其中 x10( a 0)的解集x | x x 2bx | x - 2 aRax2+bx +c 0)x | x x x 1 2 的解集1.2函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数 x ，在集合B中都有唯一确定的数f ( x)和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合A 到 B 的一个函数，记作f : A B 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法设 a , b 是两个实数，且 a b ，满足 a 的实数 的集合叫做闭区间，记做a , b ；满足a x b 的实数 x 的集合叫做开区间，记做( a , b )；满足a x b ，或 a a , x b , x b 的实数 x 的集合分别记做a , +),( a , +),( -,b,( -,b)注意： 对于集合 a bx | ax x IM1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性 定义及判定方法函数的性 质定义如果对于属于定义域 I 内某个图象判定方法（1）利用定义区间上的任意两个自变量的yy=f(X)（2 ）利用已知函数的值 x 、x ,当 x x 时，都有 1 2 12 f(x )f(x ) ，那么就说 f(x) 在 1 2 这个区间上是增函数 oxf(x )1f(x )2xx单调性（3）利用函数图象（在 某个区间图象上升为增）函数的单调性12（4）利用复合函数 （1）利用定义如果对于属于定义域 I 内某个yy=f(X)（2 ）利用已知函数的区间上的任意两个自变量的 值 x 、x ，当 x f(x ) ，那么就说 f(x) 在 1 2 这个区间上是减函数 of(x )1x1f(x )2x2x单调性（3）利用函数图象（在 某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数y = f g ( x ) ， 令 u =g ( x )， 若y = f (u )为 增 ，u =g ( x )为 增 ， 则y = f g ( x )为增；若y = f (u ) 为减， u =g ( x )为减，则y = f g ( x )为增；若y = f (u )为增 ，u=g ( x)为减 ，则y = f g ( x )为 减； 若y = f (u )为 减 ，u =g ( x )为 增， 则yy = f g ( x )（2）打“”函数为减( ) ( 0)x的图象与性质f ( x) 分别在 ( -,- a 、 a , +)上为增函数，分别在ox- a , 0) 、 (0, a 上为减函数 （3）最大（小）值定义一般地，设函数y = f ( x )的定义域为I，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 ，都有f ( x) M；（2 ）存在x I0，使得f ( x ) =M 0那么，我们称 是函数f ( x )的最大值，记作mx =0h 0, 左移 h个单位k 0, 上移 k个单位fmax( x ) =M一般地，设函数y = f ( x)的定义域为I，如果存在实数 满足：（1）对于任意的x I，都有f ( x ) m；（2）存在x I0，使得f ( x ) =m 那么，我们称 m 0是函数f ( x )的最小值，记作fmax( x ) =m【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性 定义及判定方法函数的性 质函数的奇偶性若函数定义如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x，都有 f( x)=f(x), 那么函数 f(x) 叫做 奇函 数 如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x，都有 f( x)=f(x),那么函数 f(x) 叫做偶函数f ( x)为奇函数，且在 处有定义，则图象f (0) =0判定方法（1） 利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称）（2） 利用图象（图象 关于原点对称）（1） 利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称）（2） 利用图象（图象 关于 y 轴对称）奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或 奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象平移变换y = f ( x ) y = f ( x +h )h 0, 右移 |h|个单位y = f ( x ) y = f ( x ) +kk 0,下移 |k |个单位伸缩变换0w1,伸0A1,缩y = f ( x ) y =Af ( x )A1,伸对称变换y = f ( x) y=-f( x )y = f x y = f -xy = f ( x ) y =-f ( -x) y = f ( x ) y = f -1( x)y = f ( x) y = f (| x |)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象y = f ( x) y =| f ( x) |将x轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果 xn=a a R x R n ，且 n N+，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 -na表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根式子na叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数当 n 为奇数时， a 为任意实数；当n为偶数时， a 0 根 式 的 性 质 ：( n )n=a； 当n为 奇 数 时 ，nan=a； 当n为 偶 数 时 ，n a =|a |=a (a 0) -a (a m n N 且 n 1) 0 的正分数指数+正数的负分数指数幂的意义是：a-mn1 1 =( ) n =n ( )a am( a 0, m, n N ,+且 n 1) 0( 0, ,( )( 0, 0, )( 0( 0, 1)a= N xa =N a a N 的负分数指数幂没有意义 （3）分数指数幂的运算性质注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数 aras=ar +sa r s R)( ar)s=ars( a 0, r, s R ) abr=a r br a b r R【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数y =axa 且 a 1) 叫做指数函数a 1 0 a 1 ( x 0) =1 ( x =0)aaxx0) =1 ( x =0)a变化对图象的影响a x 1 ( x 1 ( x 且a ，则 x 叫做以 a 为底 N的对数，记作x=log N ，其中 a 叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化： xlog ( 0, 1, 0) alog log ( )log ( )alogM b n Rlog ( 0(1,0)（2）几个重要的对数恒等式log 1 =0 ， log a =1 ， log a a a ab=b（3）常用对数与自然对数 常用对数： lg N ，即 log10N ；自然对数： ln N ，即 log N （其中 e =2.71828 ）e（4）对数的运算性质如果a0, a 1, M 0, N 0，那么加法：logaM + N = MN a a减法：logaM -log N =logaaMN数乘： nlogaM = M n n R aalog N=N M n =abnblog ( 0, )a换底公式：log N =alog Nb (b 0, 且 b 1) log ab【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数 函数名称定义函数对数函数y = x a 且 a 1) 叫做对数函数 aa 1 0 a 0 ( x 1) alog x =0 ( x =1) alog x 0 (0 x 1) alog x 1) alog x =0 ( x =1) alog x 0 (0 x 0，则幂函数的图象过原点，并且在 0, +)上为增函数如果 a 1 时，若 0 x 1，其图象在直线 y =x 上方，当 a 1时，若 0 x 1 ，其图象在直线y =x下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f ( x ) =ax2+bx +c ( a 0)顶点式：f ( x ) =a ( x -h )2+k ( a 0)两根式：f ( x ) =a ( x -x )( x -x )( a 0)1 2（2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 （3）二次函数图象的性质f ( x)更方便二次函数f ( x ) =ax 2 +bx +c ( a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x =-b2 a,顶点坐标是( ,Db 4 ac -b 2 ( - , )2a 4 a当a0时，抛物线开口向上，函数在 -b b上递减，在 - , +) 2 a 2 a上递增，当x =-b2a时，fmin( x) =4ac -b4a2；当 a 0时，图象与 x 轴有两个交点M (x ,0),M (x ,0),|M M |=|x -x |= 1 1 2 2 1 2 1 2D| a |（4）一元二次方程 ax2+bx +c =0( a 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不 够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程 ax2+bx +c =0( a 0)的两实根为x , x12，且x1x2令f ( x ) =ax 2 +bx +c，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：x=-b2a判别式： 端点函数值符号kx x 1 2f ( k ) 0 y ya 0x =-b2 akx1Ox2xkx1Ox2xx =-b2 af ( k ) 0a 0y yf ( k ) 0x =-b2 ax1Ox2kxx1Ox2kxx =-b2 aa 0f ( k ) 0k0x kx 1 2af(k)0yya 0f ( k ) 0x1Okx2xx1Okx2xf ( k ) 0a 0 1a 0f ( k ) 0 2yx =-b2 aO k1x1x2k2xOk1x1x2k2xx =-b2af ( k ) 01a 0f ( k ) 0yf ( k ) 0 1f ( k ) 0 1O k1x1k2x2xOx1k1x2k2xf ( k ) 0 2k x k p x p1 1 2 1 2 2此结论可直接由推出a 0f ( k ) 0 2（5）二次函数f ( x) =ax2+bx +c ( a 0) 在闭区间 p , q 上的最值设f ( x) 在区间 p , q M m （）当 时（开口向上）0=12( p +q )若 -b b b q，则m = f ( q )(p)b2 aa =-=-=-(q)f(p)f(q)f(p)f若 -b2 aOff ( - )x ，则2Ma = f ( q ) 0x-b2 aObf (- )x ，则0xM = f ( p )(q)fOf ( -b2 a)x=-()当 时(开口向下) 若 - =-f(p)b x bgq，则 M = f ( - ) 若 - 2 a O 2 a xbf (- )(q)b2aq，则bf ( - )2 a(p)f(p)fbf (- )2 ax ，则 m = f ( p ) 0(p)fObf (-2 axg)=-(q)x0gxf第三章 函数的应用 L A A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。LA B C 公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系PL1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线异面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb=ac强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两 直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )；2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1） 直线在平面内 有无数个公共点（2） 直线与平面相交 有且只有一个公共点（3） 直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种：（1） 用定义；（2） 判定定理；（3） 垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L，直线 L叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。Lp2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l B2、 二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与