数据的处理最小二乘法.ppt

误差与实验数据的处理 方法 误 差 系统误差：由一些固定的原因所产生，其大小、正负 有重现性，也叫可测误差。 方法误差 ： 分析方法本身所造成的误差。 随机误差 ： 由偶然因素引起的误差，所以又称偶然误 差。如，同一坩埚称重 (同一天平，砝码 )，得到以下克 数： 29.3465， 29.3463， 29.3464， 29.3466 过失误差 ： 由操作人员的主观原因、 操作不当 造成的 误差。 系统误差的性质可归纳为如下三点： 重现性 单向性 数值基本恒定 系统误差可以校正。 可用一定的方法消除。 偶然误差的性质： 误差的大小、正负都是不固定的。 偶然误差 不可测误差。 在 消除系统误差 后，在同样条件下多次测定，可 发现偶然误差服从 统计规律 。 偶然误差（随机误差）原因 ： 由难以控制、无法避免的因素（环境的温度，湿 度，气压的微小波动，仪器性能的微小变化）所 引起的。故又称不可测误差。 误差的产生和消除 方法误差：（比较严重的）原因： 分析与操作方 法本身造成的。 例：重量分析中的沉淀的溶解或吸附杂质。 仪器的操作不当等。 消除方法： 作 对照试验 ，用已知的标准 试样进行多次测定。 通过 校正系数 校正试样的分析结果。 标 准 试样测 定 值 标 准 试样标 准 值 校正系数 校正系数试样测 定 值分析 结 果 系统误差 可校正 偶然误差 可控制 过失误差 可避免 实验必然要采集大量数据，实验人员 需要对实验数据进行记录、整理、计算与 分析，从而寻找出测量对象的内在规律， 正确地给出实验结果。所以说，实验数据 处理是实验工作不可缺少的一部分。下面 介绍实验数据处理常用的四种方法。 1、列表法 列表法没有统一的格式 ， 但在设计 表格时要求能充分反映上述优点 ， 初学 者要注意以下各点： (1)各栏目都要注明名称和单位 。 (2)栏目的顺序应充分注意数据间的联系 和计算顺序 ， 力求简明 、 齐全 、 有条理 。 (3)反映测量值函数关系的数据表格，应 按自变量由小到大或由大到小的顺序排 列。 2、图解法 （ 1）作图必须用坐标纸 ： 当决定了作图的参量以后，根据情况选 择用直角坐标纸 (即毫米方格纸 )，对数坐标纸， 半对数坐标纸或其它坐标纸。 （ 2）坐标比例的选取与标度 ： 作图时通常以自变量作横坐标（ x轴）， 以因变量作纵坐标 (y轴 )，并标明坐标轴所代表 的物理量 (或相应的符号 )和单位。坐标比例的 选取，原则上做到数据中的可靠数字在图上应 是可靠的。坐标比例选得不适当时，若过小会 损害数据的准确度；若过大会夸大数据的准确 度，并且使实验点过于分散，对确定图线的位 置造成困难。 （ 3） 数据点的标出 ： 实验数据点用 “ +”符号标出 ， 符号 的交点正是数据点的位置 。 同一张图上 如有几条实验曲线 ， 各条曲线的数据点 可用不同的符号 (如 ， 等 )标出 ， 以示 区别 。 （ 4） 曲线的描绘 ： 由实验数据点描绘出平滑的实验曲 线 ， 连线要用透明直尺或三角板 、 曲线 板等连接 。 要尽可能使所描绘的曲线通 过较多的测量点 。 （ 5） 注解和说明 ： 在图纸上要写明 图线的 名称 、 作图 者姓名 、 日期以及必要的简单说明 (如实验 条件：温度 、 压力等 )。 直线图解法 首先是求出斜率和截距，进 而得出完整的线性方程。其步骤如下： 选点 求斜率 求截距 1. 标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴， 用箭头标轴方向，标坐标 轴的名称或符号、单位 , 再按顺序标出坐标轴整分 格上的量值。 P(KN) f(mm) 8.00 4.00 20.00 16.00 12.00 18.00 14.00 10.00 6.00 2.00 0 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 3. 连成图线： 用直尺、曲线板等把 点连成直线、光滑曲线。 一般不强求直线或曲线通 过每个实验点，应使图线 线正穿过实验点时可以在 两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图 点处断开。 2.标实验点 ： 实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标 出（同一坐标系下不同曲 线用不同的符号 ）。 4.标出图线特征： 在图上空白位置标明 实验条件或从图上得出的 某些参数。如利用所绘直 线可给出被测电阻 R大小： 从 所绘 直线 上读取两点 A、 B 的坐标就可求出 R 值。 I (mA) U (V) 8.00 4.00 20.00 16.00 12.00 18.00 14.00 10.00 6.00 2.00 0 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 电阻伏安特性曲线 5.标出图名： 在图线下方或空白位 置写出图线的名称及某些 必要的说明。 A(1.00,2.76) B(7.00,18.58) 由图上 A、 B两点可得被测电阻 R为： )k(379.0 76.258.18 00.100.7 AB AB II UUR 至此一张图才算完成 不当图例展示 ： n (nm) 1.6500 500.0 700.0 1.6700 1.6600 1.7000 1.6900 1.6800 600.0 400.0 玻璃材料色散曲线图 图 1 曲线太粗，不 均匀，不光滑 。 应该用直尺、曲 线板等工具把实 验点连成光滑、 均匀的细实线。 n (nm) 1.6500 500.0 700.0 1.6700 1.6600 1.7000 1.6900 1.6800 600.0 400.0 玻璃材料色散曲线图 改正为 ： 图 2 I (mA) U (V) 0 2.00 8.00 4.00 20.00 16.00 12.00 18.00 14.00 10.00 6.00 2.00 1.00 3.00 电学元件伏安特性曲线 横轴坐标分度选取 不当。 横轴以 3 cm 代 表 1 V， 使作图和读图都 很困难。实际在选择坐标 分度值时，应既满足有效 数字的要求又便于作图和 读图， 一般以 1 mm 代 表的量值是 10的整数 次幂或是其 2倍或 5倍。 I (mA) U (V) o 1.00 2.00 3.00 4.00 8.00 4.00 20.00 16.00 12.00 18.00 14.00 10.00 6.00 2.00 电学元件伏安特性曲线 改正为： 定容气体压强温度曲线 1.2000 1.6000 0.8000 0.4000 图 3 P( 105Pa) t( ) 60.00 140.00 100.00 o 120.00 80.00 40.00 20.00 图纸使用不当 。 实际作图时， 坐标原点的读 数可以不从零 开始 。 定容气体压强温度曲线 1.0000 1.1500 1.2000 1.1000 1.0500 P( 105Pa) 50.00 90.00 70.00 20.00 80.00 60.00 40.00 30.00 t( ) 改正为： 3、 逐差法 当自变量与因变量之间成线性关系， 自变量按等间隔变化，且自变量的误差 远小于因变量的误差时，可使用逐差法 计算因变量变化的平均值。它既能充分 利用实验数据，又具有减小误差的效 果具体做法是将测量得到的偶数组数 据分成前后两组，将对应项分别相减， 然后再求平均值 。 4、 最小二乘法 （ 线性回归 ） 作图法虽然在数据处理中是一个很 便利的方法，但在图线的绘制上往往带 有较大的任意性，所得的结果也常常因 人而异，而且很难对它作进一步的误差 分析，为了克服这些缺点，在数理统计 中研究了直线拟合问题 (或称一元线性回 归问题 )，常用一种以最小二乘法为基础 的实验数据处理方法。由于某些曲线型 的函数可以通过适当的数学变换而改写 成直线方程，这一方法也适用于某些曲 线型的规律。 在很多物理实验中， x和 y这两个物 理量中总有一个物理量的测量精度要比另 一个高很多，其测量误差可以忽略。通常 把它作为自变量 x，其测量值 xi可以看作 是准确值。对应于某个 xi值，另一个 y的 测量值 yi是随机变量。设 x和 y的函数关系 由理论公式 y=(x;c1,c2,cm) 给出，其中 c1,c2,cm 是需要通过拟合 确定的参数。 4、 数据的直线拟合 (最小二乘法 ) 4、 数据的直线拟合 (最小二乘法 ) 用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。 最小二乘法的理论基础、最佳经验公式 y = a+bx 中 a、 b的 求解 : 通过实验，等精度地测得一组实验数据（ xi， yi， i =1， 2 n）， 设此两物理量 x、 y 满足线性关系 ， 且假定实验误差主要出现在 yi上 ， 设拟合直线公式为 y =f(x)=a+bx， 当所测各 yi值与拟合直线上各估计值 f (xi)= a+bxi 之间偏差的平方和最小 ， 即 时 ， 所得拟合公式即为 最佳经验公式 。 据此有 解得 m i n)()( 22 iiii bxayxfys 0)(2 ii bxayas 0)(2 ii xbxaybs 22 2 )( ii iiiii xnx xyxyxa 22)( ii iii xnx yxnyb 补充： 数据的直线拟合 (最小二乘法 ) 相关系数 r ： 最小二乘法处理数据除给出 a、 b 外 ， 还应给出相关系数 r ， r 定义为 r 表示两变量之间的函数关系与线性的符合程度 ， r-1， 1。 |r|1， x、 y 间线性关系好 ， |r|0 ， x、 y 间无线性关系 ， 拟合 无意义 。 物理实验中一般要求 r 绝对值达到 0.999以上 (3个 9以上 ) 。 22 )()( )()( yyxx yyxxr ii ii n xx i n yy i其中