微分中值定理与导数应用内容提要典型例题.ppt

返回 后页 前页 8 微分中值定理与导数的 应用 二、典型例题 一、内容提要 习题课 返回 后页 前页 一、内容提要 1. 理解罗尔 (Rolle) 定理和拉格朗日 (Lagrange)定理 . 2. 了解柯西 (Cauchy)定理和泰勒 (Taylor)定理 . 3. 理解函数的极值概念 ,掌握用导数判断函数 的单调 性和求极值的方法 . 5. 会用洛必达 (L,Hospital)法则求不定式的极限 . 4. 会用导数判断函数图形的凹凸性 ,会求拐点 ; 会求解最大值和最小值的应用问题 . 会描绘函数的图形 (包括水平 ,铅直和斜渐近线 ); 返回 后页 前页 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值 定理 常用的 泰勒公式 型00 ,1,0 型 型0型0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 xxF )( )()( bfaf 0n gfgf 1 fg fggf 11 11 取对数 令 gfy 单调性 ,极值与最值 , 凹凸性 ,拐点 ,函数 图形的描绘 ;求根方 法 . 导数的应用 返回 后页 前页 )()( bfaf 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)( f )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 拉格朗日中值定理 )()( )( bfaf xxF 1 0 )1( )( )!1( 1 nn xxf n 柯西中值定理 xxF )( 泰勒中值定理 nn xxxf n )(! 1 00 )( ) )( ( ) ( ) ( 0 0 0 x x x f x f x f a b a f b f f ) ( ) ( ) ( 0 n 返回 后页 前页 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (3) 证明恒等式或不等式 (4) 证明有关中值问题的结论 (2) 证明方程根的存在性 返回 后页 前页 利用 一般解题方法 : 证明含一个中值的等式或根的存在 , 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,可考虑用 若已知条件中含高阶导数 , 若结论中含两个或两个以上的中值 , 3.有关中值问题的解题方法 (1) 可用原函数法找辅助函数 . (2) 柯西中值定理 . 中值定理 . (3) (4) 有时也可考虑 多考虑用 泰勒公式 , 逆向思维 , 设 辅助函数 . 多用 罗尔定理 , 必须 多次应用 对导数用中值定理 . 返回 后页 前页 (1) 研究函数的性态 : 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , (2) 解决最值问题 目标函数的建立 最值的判别问题 (3)其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等 . 4.导数应用 返回 后页 前页 二、典型例题 例 证明方程 cbacxbxax 234 23 在 (0,1)内至少有一实根 分析 如令 )(234)( 23 cbacxbxaxxf )1(),0( ff则 的符号不易判别 不便使用介值定理 , 用 Rolle 定理来证 证 令 xcbacxbxaxxf )()( 234 则 内可导上连续，在 )1,0(1,0)( xf 且 0)1()0( ff 故由 Rolle 定理知 0)()1,0( f使 即 cbacxbxax 234 23 在 (0,1)内有一实根 返回 后页 前页 例 Rolle 定理的推广形式 0)(),( )(lim)(lim),()( fba xfxfbaxf bxax ，使则 内可微，且在若 证 baxxfxf baxxf xF bxax ,)(lim)(lim ),()( )(令 内可微上连续在则 ),(,)( babaxF )()( bFaF 且 由 Rolle 定理知 0)(),( fba 返回 后页 前页 0)(),( )(lim)(lim),()( f xfxfxf xx ，使则 内可微，且在若 证一 ) 2,2()( t an)( ttftF记 则由题设知 AxftF xt )(lim)(lim 02 AxftF xt )(lim)(lim 02 存在且 ttftF 2s e c)( t a n)( 故由知 0s e c)( t an)(),2,2( 2 ttfF 使 返回 后页 前页 而 0sec 2 t ),(ta n0)( f 证二 若 Axf )( 则结论显然成立 下设 Axf )( 不妨设有 Axfx )(),( 00 使 Axf )( 00记 知由 Axfxf xx )(lim)(lim 时，有当 XxxX |,| 0 0)( Axf )( 0 xf 返回 后页 前页 上连续在又 ,)( XXxf 必存在最大值 M 即 MfXX )(, 使 )()()(| 0 fMxfxfXx 时，有又当 上的最大值在也是 ),()()( xfMf 故由 Fermat 定理 知 0)( f 0)(),( )(lim)(lim),()( fa xfxfaxf xax ，使则 内可微，且在若 证一 类似于证一，作变换 )2,0(t an ttax 返回 后页 前页 证二 作变换 1 1 axt 1 1 a tx 证三 若 Axf )( 则结论显然成立 下设 Axf )( 不妨设有 Axfax )(),( 00 使 知由 Axfxf xax )(lim)(lim )( 00 xfA 对 时，有当 ),(,|,|,| 00 aaxXxaxxX AxfAxf )()( 0 )()( 0 xfxf 返回 后页 前页 上连续在又 ,)( Xaxf 必存在最小值 m 即 mfXa )(, 使 )()()( ),(,| 0 fmxfxf aaxXx 都有 时，又当 上的最小值在也是 ),()()( xfmf 故由 Fermat 定理 知 0)( f 0)(),( )(lim)(lim),()( fb xfxfbxf bxx ，使则 内可微，且在若 证明与类似 返回 后页 前页 在 内可导 ,且 证明 : 在 内有界 . 证 ,),(0 bax 再取异于 0 x 的点 ,),( bax 在以 xx ,0 为端点的区间上用 )()()( 00 xxfxfxf )( 0 之间与介于 xx )()( 0 abMxf K 定数 对任意 ,),( bax ,)( Kxf 即证 . 例 取点 拉氏定理 , )()()( 00 xxfxfxf 00 )()( xxfxf 返回 后页 前页 例 且 试证存在 证 欲证 ,2 )()( fbaf 因 f(x)在 a ,b上满足拉氏中值定理条件 , 故有 ),(,)()()( baabfafbf ,)( 2 上满足柯西定理条件在及又因 baxxf 将 代入 ,化简得 故有 ),(2)( fbaf ),(, ba 即要证 .2 )()( 22 fab abf 返回 后页 前页 . )()( ,)1,0( ,:,1)1(,0)0( ,)1,0(,1,0)( ba f b f a baff xf 使内存在不同的在 对任意给定的正数试证 且内可导在上连续在设 例 证 ,均为正数与 ba 10 ba a ,1,0)( 上连续在又 xf 由介值定理 , ,)( ba af 使得 ),1,0(存在 有上分别用拉氏中值定理在 ,1,0)( xf 返回 后页 前页 ),0(),()0()0()( fff )1,(),()1()()1( fff （ 1） （ 2） ,1)1(,0)0( ff注意到 由（ 1） , （ 2）有 )()(1 baf b baf a )(f ba a （ 3） （ 4） )( )(11 f f )(f ba b （ 3） + （ 4） , 得 )( )( f f .)()( baf bf a 返回 后页 前页 例 ).0(,1 1)11l n( xxx 证 法一 用单调性 设 xxxf 1 1)11l n ()( 即 xxxxf 1 1ln)1l n ()( 由 2)1( 111 1)( xxxxf 2)1( 1xx ,0 ,0时当 x )(xf 证明不等式 xx xf xx 1 111lnlim)(lim 0 11 ( 0, )x x 返回 后页 前页 ,0时当 x可知 , ,0)( xf 即 ).0(,1 1)11l n ( xxx 法二 用 Lagrange定理 ).0(,1 1)11l n ( xxx证明 设 ,ln)( xxg 1, xx Lagrange定理 xx ln)1l n ( 1 xx ),1(1 xx ,1 11 x 由 得 ).0(,1 1)11l n ( xxx 即 xx ln)1l n ( x1 1 返回 后页 前页 例 问方程 )0(ln aaxx 有几个实根 解 )0(ln)( xaxxxf记 axxf 1)( axxf 10)( 得令 时当 ax 1 0)( xf 时当 ax 1 0)( xf 11ln)1(ma x aaff 同时也是最大值 分三种情况讨论 返回 后页 前页 011ln)1( aaf ea 由于 )(l i m xfx )(lim 0 xfx 方程有两个实根，分别位于 ),1(),1,0( aa 011ln)1( aaf ea 1 方程仅有一个实根，即 ax 1 011ln)1( aaf 方程无实根 返回 后页 前页 例 证明不等式 002ln ln ( ) ln , ( , ) .xyx x y y x y x y+ + 证 ),0(ln)( ttttf令 ,1ln)( ttf则 ,01)( ttf .0,0),(),(ln)( 是凹的或在 yxxyyxtttf )2()()(21 yxfyfxf 于是 ,2ln2lnln21 yxyxyyxx 即 .2ln)(lnln yxyxyyxx 即 返回 后页 前页 ( ) 0 , ( 0 ) 0f x f 设 证明对任意 120 , 0 xx有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x 证一 120 xx 1 2 2 1( ) ( ) ( )f x x f x f x 21()fx 1 2 1( ) ( ) 0 xf 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x 2 2 1 2(,x x x 例 不妨设 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( 0 )f x x f x f x f 12() 110)x 证二 12( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x f x x f x f x F x 返回 后页 前页 解 法一 用三次洛必达法则可求得 . 法二 结合其它方法用三次洛必达法则可求得 . 法三 xex x 1,0 时 x x e e x x x sin lim sin 0 求极限 x x e e x x x x sin 1 lim sin sin 0 原式 x x e e x x x x x sin 1 lim lim sin 0 sin 0 1 1 1 例 返回 后页 前页 法四 )20(,0 xx设 .sin xx 用 Lagrange中值定理 ;, s i n 上连续在 xxe x(1) (2) ,),( s i n 内可导在 xxe x .)( xx ee ,),( s i n 内在 xx 使至少有一点 , O xxsin 同理 , 有对 ,0 x 所以 , x x e e x x x sin lim sin 0 求极限 e x x e e x x sin sin x x e e x x x sin lim sin 0 1 lim 0 e 1 sin lim sin 0 x x e e x x x 1 sin lim sin 0 x x e e x x x 返回 后页 前页 例 cpcx x xx px ,0 1 1lna r c t a n2 lim 0 求设 解 p x x x xx 1 1lna r c t a n2 lim 0 px x xxx )1l n()1l n(a r c t a n2lim 0 )00( 1 2 0 1 1 1 1 1 2 lim px px xxx 1 22 0 1 1 1 1 lim2 px x xx p 340 )1( 1lim4 px xxp 0 c 3 p 3 4 c 返回 后页 前页 例 .)1(51lim 5 2 0 xx x x 求极限 解 .2的次数为分子关于 x 5 1 5 )51(51 xx )()5()151(51!21)5(511 22 xoxx )(21 22 xoxx )1()(21lim 22 2 0 xxoxx x x 原式 .21 返回 后页 前页 例 设 f(x) 在 0， 1上有二阶导数， bxfaxf |)(|,|)(| 其中 a,b为非负数 )1,0(c 求证 bacf 212|)(| 证 将 f(0) ， f(1) 在在 x=c处作一阶 Taylor展开，有 21 )0( !2 )()0)()()0( cfccfcff 22 )1( !2 )()1)()()1( cfccfcff 两式相减，得 )()1)(21)()1()0( 2122 cfcfcfff 返回 后页 前页 )()1)(21)1()0()( 2122 cfcfffcf |)(|)1(|)(|21|)1()0(|)(| 2122 cfcfffcf )1(22 22 ccba 2221)( cccg 记 得令 042)( ccg 21c 1)1()0( gg 21)21( g 1)(m ax 1,0 xgx bacf 212|)(| 返回 后页 前页 ., , 12 并作函数的图形渐近线拐点区间 凹凸极值的单调区间求函数 x x xy 例 解 :)1( 定义域 ,1x ),1()1,1()1,( 即 1)( 2 x xxxf ),( xf 奇函数 y)2( 22 2 )1( 11 x x , )1( )3( 22 22 x xx ,0y令 .3,0,3x得 返回 后页 前页 y 22 2 )1( )3(2 x xx , )1( 1 )1( 1 33 xx ,0y令 .0 x得可能拐点的横坐标 ,l i m)3( yx ;没有水平渐近线 ,lim 01 yx又 ,l i m 01 yx ;1 的铅直渐近线为曲线 yx ,l i m 01 yx ,lim 01 yx ;1 的铅直渐近线为曲线 yx 返回 后页 前页 x ya x lim )1(1l i m 2 x xx xx ,1 )(l i m axyb x )(l i m xyx 1lim 2 x xx ,0 .的斜渐近线为曲线直线 yxy ,)3,0 ,3(),1()4( 分点和可能拐点的横坐标为 驻点以函数的不连续点 xx xx 列表如下 : 返回 后页 前页 x )3,( )1,0()1,3( 3 )0,1( y y y 1 0 极大值 0 拐点 0 0 x 31 y y y 极小值 0 )3,1( ),3( 3xy极大值 ,323 3xy极小值 ,323 ).0,0(拐点为 返回 后页 前页 x y o xy 1 1 作图 返回 后页 前页 一、 选择题： 1 、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个 共同点，即（ ） （ A ） 它们都给出了 点的求法 . （ B ） 它们都肯定了 点一定存在，且给出了求 的 方法 . （ C ） 它们都先肯定了 点一定存在，而且如果满足定 理条件，就都可以用定理给出的公式计算 的值 . （ D ） 它们只肯定了 的存在，却没有说出 的值是 什么，也没有给出求 的方法 . 测 验 题 返回 后页 前页 2 、 若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf , 则 （ ） （ A ） 至少存在一点 ),( ba ，使 0)( f ； （ B ） 一定不存在点 ),( ba ，使 0)( f ； （ C ） 恰存在一点 ),( ba ，使 0)( f ； （ D ） 对任意的 ),( ba ，不一定能使 0)( f . 3 已知 )( xf 在 , ba 可导，且方程 f(x) =0 在 ),( ba 有 两个不同的根 与 ，那么在 ),( ba （ ） 0)( xf . （ A ） 必有； （ B ） 可能有； （ C ） 没有； （ D ） 无法确定 . 返回 后页 前页 4 、如果 )( xf 在 , ba 连续，在 ),( ba 可导， c 为介于 ba , 之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点 12 , xx ，使 )()()()( 1212 cfxxxfxf 成立 . （ A ）必能； （ B ）可能； （ C ）不能； （ D ）无法确定能 . 5 、若 )( xf 在 , ba 上连续，在 ),( ba 内可导，且 ),( bax 时， 0)( xf ，又 0)( af , 则 （ ） . （ A ） )( xf 在 , ba 上单调增加，且 0)( bf ； （ B ） )( xf 在 , ba 上单调增加，且 0)( bf ； （ C ） )( xf 在 , ba 上单调减少，且 0)( bf ； （ D ） )( xf 在 , ba 上单调增加，但 )( bf 的 正负号无法确定 . 返回 后页 前页 6 、 0)( 0 xf 是可导函数 )( xf 在 0 x 点 处有极值的 （ ） . （ A ） 充分条件； （ B ） 必要条件 （ C ） 充要条件； （ D ） 既非必要又非充 分 条件 . 7 、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则 （ ） . （ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值； （ D ）极大值必大于极小值 . 返回 后页 前页 8 、若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( xf ， 二阶导数 0)( xf , 则函数 )( xf 在此区间内 ( ). （ A ） 单调减少，曲线是凹的； （ B ） 单调减少，曲线是凸的； （ C ） 单调增加，曲线是凹的； （ D ） 单调增加，曲线是凸的 . 9 、设 0)(l i m)(l i m xFxf axax ，且在点 a 的某 邻域中 （点 a 可除外）， )( xf 及 )( xF 都存在， 且 0)( xF , 则 )( )( lim xF xf ax 存在是 )( )( lim xF xf ax 存在的 （ ） . （ A ）充分条件； （ B ）必要条件； （ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件 . 返回 后页 前页 10 、 x x x c os1 1c os h l i m 0 （ ） . （ A ） 0 ； （ B ） 2 1 ； （ C ） 1 ； （ D ） 2 1 . 二、求极限： 1 、 22 lim ax axax ax （ 0a ）； 2 、 3 1 0 ) s i n1 t an1 (li m x x x x ； 3 、 ) 1 1l n (l i m 2 x xx x ； 4 、 x x x cos1 s i n l i m 0 ； 返回 后页 前页 三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥 体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？ 四、若 0 x , 试证 xx x x )1l n ( 1 . 五、设 dcxbxaxxf 23 )( 有拐点（ 1 ， 2 ）， 并在该点有水平切线， )( xf 交 x 轴于点（ 3 ， 0 ）， 求 )( xf . 六、 绘出函数 )1l n ()( 2 xxf 的图形 . 返回 后页 前页 一、 1 、 D ； 2 、 D ； 3 、 A ； 4 、 B ； 5 、 D ； 6 、 B ； 7 、 C ； 8 、 D ； 9 、 B ； 1 0 、 C. 二、 1 、 a2 1 ； 2 、 2 1 e ； 3 、 2 1 ； 4 、不存在 . 三、 1:2 . 五、 4 9 4 3 4 3 4 1 )( 23 xxxxf . 测验题答案 六、 x y 1 1o 2ln