课堂教学的特色、创新与点评

课堂教学的特色、创新与点评 在“第二届初中数学名师创新型课堂研修会”上的发言 罗增儒（陕西师范大学数学与信息科学学院） 老师们：下午好很荣幸，两天来我们马不停蹄地欣赏了六位老师关于“立体图形与平面图形”（概念教学，女）、“整式的乘法”（法则教学，男）的“同课异构”，聆听了六位老师关于课堂特色、课堂创新的“主题演讲”首先，让我们对来自浙江（郑瑄）、北京（张苏）、安徽（章 昀、董建功）、山东（刘乃志）、上海（孙琪斌）、江苏（庞彦福）七位老师的精心准备和流畅展示表示由衷的感谢；对三位主持老师（董建功、王俊和孔琳）的辛勤劳动表示崇高的敬意我看到了，本次活动是以大家风范的“同课异构”为载体的；是以名师引领的“课堂研修”为主题的；是在“特色”和“智慧”的旗帜之下打造优效教学的所以，我的发言也就环绕同课异构、教学特色、教学创新、教学智慧和数学案例五个主题词来展开先谈理论认识（铺以故事来作说明），再从实践与理论的结合上谈本次活动中的课例和演讲 1 理论认识数学课堂上存在着各种各样的教学，有的精雕细刻，面面俱到；有的大刀阔斧，突出重点、难点和观点；有的任性热闹、但数学浅薄得一无所有；有的质朴无华、却内容揭示得入木三分；有的工于抽象思维，有的富于形象直观；有的是教师的独角戏，有的是师生的二重唱；有的是课堂的催眠曲，有的是心灵的净化剂；听有的课是受罪、听有的课是享受，不同的教学有不同的效果，我们追求有特色、有创新、有智慧、从而是高效率、优效果、强效益的教学1-1同课异构 （1）同课异构的界定“同课异构”中的“课”指教学内容，“构”指教学设计“同课异构”这一名称借鉴了化学学科中的同分异构，化学上，同分异构体是一种有相同化学式、有同样的化学键却有着不同原子排列的化合物有些同分异构体有相似的性质，但也有的相差很大同样，“同课异构”有的风格迥然不同，有的只是“同课异人” （2）同课异构的方式同课异构有两种方式：一种方式是同一教学内容由不同教师作不同的处理、组织为不同的课堂教学；另一种方式是同一教师对同一教学内容在不同教学班级作不同的处理，组织为不同的课堂教学通常所说的同课异构大多指第一种（本活动），也就是不同的教师选用同一教学内容，根据学生实际、现有的教学条件和教师自身的特点，对教学内容进行合理的教学安排和不同的教学设计 （3）同课异构的作用不同教师的教学风格，教师对课程资源的组合能力以及教师对教材的处理艺术，在“同课异构”中均能得到充分的展示对不同教师执教同一教学内容的教学案例进行充分比较、多方探讨， 是提高教师专业水平、提升校本教研实效性的一条有效而便捷的途径； 也是促进教学创新的一条有效而便捷的途径 （4）同课异构的特点“同课异构”作为校本教研的新方式，具有四个特点：由以教材教法为中心的文本教研转向以师生共同发展为中心的人本教研由以接受为主的指导性教研转向以互动探究为主的反思性教研由过去学与习脱节、研与训分离向学与习结合、研与训一体化转变由单一封闭的个人研究模式转向多维互动的群体研究模式，授课教师与听课教师都在比较中互相学习（5）同课异构的实施“同课异构”的教研形式主要分为以下四个步骤：确定课题，自主备课首先，由相关方面确定进行“同课异构”的授课教师及教学内容（这一步，主要由主办方统筹了）然后，由授课教师面对同一课题，各自备课备课时，要求教师认真钻研教材，查阅资料，挖掘各种可用的教学资源，深入了解学生的学习基础，广泛收集相关课题的资料，再根据自己对教材的个性解读和本人教学优势制订教学目标，预设教学过程，提出具有教学特色的设计（这一步，六节课都努力做了）说课交流，修改教案 在自主备课的基础上，请各位授课教师根据各自的教学设计情况进行说课把自己对同一课题的教学目标的设置、采用的教学方法、教学过程的预设以及设计理念进行阐述，重点说明教学流程和希望产生的效果，也可提出自己的困惑供大家讨论（本活动难以做到）上课展示，点评研讨由各位授课教师分别进行课堂教学的展示全体教师深入课堂听课，体验教学设计在课堂中的实施情况及实际效果，并随着课堂的进程，将自己的思考记录下来教师们既要听出“同课”的“同”来，更要听出“异构”的“异”来课后，授课教师和听课教师进行坦诚的交流，展开思维的碰撞授课教师应就本课的设计意图和上完课后的得失进行剖析，交流教后感悟和体验；听课教师应进行会诊式研讨，详细剖析教学中的行为，分析各位授课教师教学方法的特色、闪光点与商榷之处，通过集体的智慧进行再次比对，找出同一教材内容的不同处理方式，挖掘教学的亮点，找出需要完善的地方（这一步，现在正在做）反思总结，共同提高根据大家的讨论，授课教师修改原来的教学设计，写出教学反思，作为教研组活动的资料积累起来反思文本可以围绕以下三个方面来展开：教学过程，记录本次课堂教学的教学流程；精彩回眸，记录自己认为教学过程中最精彩的片断，并进行剖析；病历记载，揭示本次教学存在的问题（这一步，下来认真做，投寄到“中数参”发表）故事1：两节“同课异构”课我在一所中学听过两节课，都是讲“向量在几何中的应用”（高中），一节是年轻教师上，教案很完整，讲解很规范，一类一类的题目，一步一步的方法，与发到手上的教（学）案非常一致另一节是特级教师上，他只带了一个脑袋和作为引子的一道题目来，我向他要教（学）案时，他说要等上完课之后才有，他介绍了上课的基本思路（腹稿）：先给出一道题目，让学生做，然后提问题，由此展开，学生有什么问题就环绕“向量在几何中的应用”解决什么问题，学生提不出问题时，教师提两节课都上得挺成功，都演绎了“向量在几何中的应用”，但教学风格迥然不同（同课异构）： 一个更体现教学的共性，一个更体现教学的个性一个以教定学，一个以学定教一个更重视教学的预设，一个更重视教学的生成一个是认认真真地执行教学规范，一个是洒洒脱脱地展示教学智慧（不是教师没有备课，而是“以学定教”备了很多课）1-2 教学特色（1）教学特色的含义界定：教学特色是一个教师区别于其他教师的教学活动方式（特色设计参见案例1-2、案例3）理解：它是教师的教学思想、教学风格、个性特点、教学技术等在教学过程中独特的、和谐的结合与经常性的表现教学特色的形成是一个教师在教学艺术上趋于成熟的重要标志（2）教学特色形成的三个途径途径并不唯一，主要有如下三个、并可以交叉：摸爬滚打型：教师在教学实践中不断积累、并在教师群体内部自主交流，逐步形成个人的教学特色（我是） 理论指导型: 教师自觉地运用先进的教育思想于各个教学环节，整体构建、并最终形成自己独特鲜明的教学特色博采众长型: 教师博采众长，先部分地移植大家的长处，利用综合优势，再蜕变出本人的教学特色（3）教学特色形成的四个阶段一般来说，教学特色的形成通常要经历“模仿、选择、定向、创新”四个阶段模仿通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似行为的过程，叫做模仿学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈从模仿开始，学数学解题等也都从模仿开始数学教师亦是参照成熟教师的教学行为，学会“教什么，怎么教”的，这是形成教学特色的第一步但模仿不是目的，而是对不同教学特色的广泛了解、不断熟悉、为创新打好基础选择在熟悉众多的教学特色后，根据个人的兴趣、爱好、特长、心理、生理条件等选择适合自身个性发展的恰当模式定向在选择了某种教学模式之后，对自己的教学风格的发展方向进行设计，并在教学中努力实践 创新在确定方向并努力实践的过程中，形成独特的风格和经常性的表现，创造出自己的特色（4）教学特色的特征教学特色一旦形成，会有四个方面的特征 教学的艺术性指教师在教学过程中技能技巧的运用恰到好处，充满着艺术感染力风格的创造性教师在教学内容的处理、教学方法的选择和教学过程的组织上具有独特性，人无我有、人有我新 效果的良好性教学突出了重点、突破了难点，学生原有的知识经验与新输入的知识之间建立起非人为的、实质性的联系，教学效果良好表现的稳定性教师的教学艺术、教学创造和良好效果不是偶尔的、临时的个别表现，而是一贯的、全方位的经常表现，已成为教师一种良好的、鲜明的、稳定的个性特征故事2：一个中国教师在世纪之交，借鉴国外“小组学习、合作交流”的教学模式，先是观察、模仿、学习；经过一段时间的熟悉之后，根据自身的启发式教学积累，逐渐形成以学生为主体、以教师为主导、关注数学本质的自我风格；这种风格在教学实践中不断磨练、稳步发展，形成新课程理念与数学教育中国道路相结合的教学模式这里就有非常明显的四个阶段：模仿、选择、定向、创新 教学特色直接与教学创新相联系，并落脚于创新1-3 教学创新（1）教学创新的含义教学创新是教师对教学再创造的教学行为，它经历从模仿的量变积累到升华的质变过程，表现为对模仿的超越和对常规的突破，核心是“新”新的结构、新的方式、新的良好效果等（上面说过：人无我有、人有我新）教学创新是推进优效教学、实现高效课堂的永恒动力！（2）教学创新需要艰苦的努力这是因为： 创新意味着质变推陈出新有一个量变的积累过程，才能达到更本质、更深刻的飞跃，这个过程常常是漫长而艰苦的创新意味着付出因为惯性的作用，超越和突破需要强大的力量，这个力量就是创新者艰苦而巨大的付出、稳定而健康的心理；有时，还需要社会的支撑与扶持创新意味着风险任何新的东西、新的做法都存在失败的可能，需要我们敢为人先，标新立异，勇于提出问题，善于探索调整 （3）课堂教学中创新精神的培养：关键是激发好奇，培养兴趣，激励质疑、引导探索：好奇是创新意识的萌芽，是唤起创新意识的起点；兴趣是创新思维的营养，是支撑创新思维的感情；质疑是创新行为的举措，是开启创新行为的力量； 探索是创新学习的进程，是进行创新学习的行动 故事3：反思“曹冲称象” （1）故事简介这是一个传颂千古的故事：曹操获得一头大象，与大家一边看一边议论，“大象到底有多重呢?”由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪器，这就成了一个问题，一个非常规应用问题存在不同水平的“问题解决”有人提议把大象宰了，一块一块地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大象却不复存在了曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，在船舷上画一条线然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有多重了理解曹冲方案需要物理知识（没有阿基米德定律不能保证石头与大象等重，难保不会出现“刻舟求剑”的错误），下面的分析不涉及物理定律，纯粹数学教育的视角 （2）问题解决分析我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤：第1步，把“整体”的大象对应为等价物：“零散”的石头(映射化整为零)；第2步，称一小块一小块石头得出：大象的重量(逆映射集零为整)一头大象一堆石块? 大象重量称出石块总重量 图 请注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹冲的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象他的思维亮点：通过物理知识找出等价物 （3）反思曹冲方案曹冲方案在实施等价物的时候，有一个大前提就是“大象自己上船、自己下船”，这当中若有一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难几乎是类似的大象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢? 就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话（微型实验）教师：假如我们这块地方是个平原，一马平川全是黄土，没有石头，你怎么办? （把等价物从“石头”的传统认识中突破出来不是唯一的）学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄土的重量 教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法?（寻找更方便的等价物）学生：用电子秤直接称大象 教师：这不行，不能改变当时的技术条件学生：组织围观的人代替黄土，让人自己走上船、自己走下船过秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以（4）反思的启示这个办法确实比曹冲的强，由此，可以得出3个结论：即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解题智慧来 找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径在曹冲方案中，“大象自己上船、下船”本已存在，只不过是在使用石头等价物时被浪费了，“小学二年级学生”无非是“找回被浪费的重要信息”（创造性：“人无我有、人有我新”曹冲是人家没有“等价物”他有，小学二年级学生是突破已有的“等价物”，找出新的等价物）我们现在讲这个故事是想导出这样一个话题：一个小学二年级学生都能想出来的办法，我们作为成年人、作为教师为什么没有想过？多少年来我们是不是存在一种认识的自我封闭、缺少自我反思的敏感？类似地，我们天天进行教学，是不是也缺少一种对教学反思的强烈敏感？是不是也缺少一种教学创新或教学再创造的自觉意识？应该看到，教学处处有创新的空间！再说一个小学生也有创新的例子：圆的面积一般方法是把圆转化为长方形： 图2新方法：如图3，作同心圆，然后沿虚线剪开、一层一层拉直，开始是一个一个小梯形（近似），最后一个是等腰三角形，最终把圆变形为等腰三角形（近似），其底为圆的周长、高为圆的半径，面积为，故圆的面积为 图3 这个设计是可以操作的：取一个由布料或塑料带子缠绕而成的圆盆，其纵截面为一个圆面如图3，沿虚线将带子剪开、一层一层拉直，可把圆面变形为等腰三角形（同时也把一个圆柱变为一个三棱柱），这个三角形的底为圆的周长、高为圆的半径，面积为圆的，故圆的面积为（圆柱的体积也等于三棱柱的体积）这里已经有微积分的思想了还要指出，当学生创新行为出现的时候，我们老师不能叶公好龙举个很简单的例子（继续参见案例2-1）：故事4 看图写数（如图4），一年级时，两串苹果、每串2个，学生写2或4（小学数学教师2011第78期刊文“2还是4”P174） 图4 图5 到三年级时（如图5），三串葡萄、每串10个，看图写数，学生全写30，因为写3老师会判错 解释：这里有一个量与数的关系问题，凡是可以测量、计数、计算的东西，都叫做量图4、图5的东西可以计数，当然是量凡是量，都可以用同类的量做单位，来度量它的大小，度量的结果就得到数可见，量与数既有联系又有区别，数与单位有关，同一个量使用不同的单位，得出的数是不同的（数可以不唯一、但实质相同）因而，上述题目是开放的，只要能说出理由来都可以作为答案如图4 2是指“串”，4是指“个”（4是怎么得出来的？其理由可能也是开放的：1+1+1+1？2+2？22？）；如果合为一个整体也可以是1“堆”苹果；如果2指“个”，4指“串”，那全都是错的 如果作发散思考： 有学生写22时（两个2并列，并不比2+2别扭，可能比22更自然），你会认可吗？你会叶公好龙吗？ 有学生写220时（两个2并列苹果后面再没有苹果了），你会认可吗？你会叶公好龙吗？ 有学生写202时（两串苹果之间没有苹果），你会认可吗？你会叶公好龙吗？ 有学生写2020时（两串苹果之间没有苹果，两串之后也没有苹果），你会认可吗？你会叶公好龙吗？总之，题目是开放的，不要当作结构良好的收敛题来处理，限制学生的思维所出现的情况，对教师的数学功底和教学智慧都是挑战，要珍惜学生的思维闪光点如果教师要作为收敛题，应注明单位还要指出，除了实际问题涉及单位换算之外，数学只关心“数”，52=10可以是5米的2倍等于10米，也可以是人的2只手共有10个手指头，这两件不同的事在数学上的抽象是一样的当然，有些量的单位是天然的，如42个人，3所学校，8本书，对这些量，教师也要向学生交代，特别是在第一次出现的时候，不要“潜在假设” 1-4 教学智慧（1）教学智慧的含义教学智慧是教师面临复杂教学情境所表现出来的一种准确判断和敏捷反应能力常常出现在随机应变、灵活创造、成功处理教学意外事件的过程中，它是观察的敏锐性、思维的灵活性和意志的果断性三位一体的独特结合是教师在千变万化的教学实际情景中，处理“预设”与“生成”关系所表现出来的一种实践智慧我们知道，教学活动既是一种科学活动（必须符合教学活动的客观规律），又是一种艺术活动（蕴藏着丰富的人文性）前者就会形成和发展我们所说的教学理论，并组成以严密的理性分析和逻辑推理为基础的内容体系，反映的是教学的必然性后者就会形成和发展教师的教学智慧，即教师在教育情境中对个别的、特殊的教学现象的理解与处理，并成为教育实践性知识的重要内容，反映的是教学的偶然性（2）教学智慧的特征（参见案例1）教学智慧的情境性教师的教学智慧是教学经验与教学艺术长期积累基础上的创造性呈现，但在积累与呈现之间，需要复杂教学情境的激发，常常是在教师与学生之间互动合作的特定情境中才被激发出来这个复杂的教学情境，不仅指教师对于教学的理解与把握来说是复杂的，而且还指教师养成教学智慧的过程与方法也是在复杂的情境中生成、又在复杂的情境中智慧的教学智慧的生成性教学智慧常常不是预设的，而是在真实的情境中生成智慧、并在短暂的时间内选择最为恰当与艺术的一种解决办法是教师在处理问题时的急中生智、大胆创新，可以体现教师的自制能力、应变能力和教学预见能力教学智慧的实践性教学智慧是一种教学行动的形式，是教师与学生交往的方式是在教学的实践中产生了教学智慧，同时，教学智慧又在教学的实践中发挥作用 案例1:在“三角形内角和定理”的课堂上案例1-1：体现教学智慧的生成第1、案例的呈现解说：“三角形内角和定理”的教学设计，人们已经谈了很多（还可参见案例1-2），但这并不影响教学的创造，有出息的教师依然在数学教育中国道路的推动下探索新的可能性，如图6，展示了教师对定理教学的精心设计，殊不料“突发事件”屡屡发生 图6 教师：如图6，用橡皮筋构成，其中顶点为定点，为动点，放松皮筋后，点收缩，产生一系列的三角形：，请观察内角和会发生怎样的变化？ 解说：教师的主观意图是让学生看到：，这既孕育着极限的思想，又诱发出，但是，学生发言了 学生1：内角和等于教师：好，说说你是怎样观察出来的？学生1：我不用观察，以前已经知道这个结论解说：老师有点失落，但立即又根据已经发生的情况，舍去“结论发现”的启发，马上转入“结论证明”的发现教师：那我们探究一下三角形的内角和为什么是？学生1：不用探究，这是定理，记住结论就可以了 教师：（教师随手在黑板上分别画了一个钝角三角形和一个直角三角形，问学生1）那么，这两个三角形的内角和是否相等？学生1：这不好说解说：这些学生只关心结论性知识，其实并未真正理解定理当初直观呈现或直接接受的知识，因为未加证明，所以并没有与原有的知识建立起非人为的、实质性的联系，这需要教师的引导（我把它叫做“僵尸数学”，谈不上智慧，谈不上特色，谈不上创新） 教师：是的，以前介绍过三角形的内角和等于，但没有证明，由于实验可能会有误差，无穷个三角形也不能逐一检验，所以，我们要给出一个严格的证明学生2：通过图6，我看到当点趋向于时，趋向于，而趋向于；合起来，三角形内角和趋向于；同时，这个图形还告诉我们，这个结论怎样证明教师：（很高兴）你说说证明学生2：设三角形的内角和为度，在上取一点（相当于点的运动终点），联结（如图7），有 ，（在中） ，（在中）相加 但 ， ，（平角） 图7代入有 ， 得 受学生2的启发，也有同学在三角形内取一点，联结分成三个三角形（如图8），然后求内角和来证明 图8 解说：这完全出乎教师的意料之外，一时间自己也弄不清正误，既无法立即表态，又不能表示出犹豫，教学在师生互动中出现“复杂教学情境”，教师的选择是“推迟判断” 教师：证明出来了，同学们好好看一看，做得对不对？解说：教师肯定了学生的行为，但没有肯定行为的性质，“推迟判断”是一种教学智慧学生沉默片刻之后，大多表示认可，确实，一旦承认“三角形内角和为定值”，整个证明就无懈可击，但初中课本没有这样的定理，教师利用这段甩给学生的宝贵时间想通了，原来图6的设计给学生造成了这样的印象：，的内角和为常数，所以，学生认为图7中的，内角和均为，其实，图6中变量的极限为时，其变化过程可以单调上升，也可以单调下降，还可以是摆动的，更危险的是，可能变量根本就不取值，但这怎能向初中生讲清楚？还有本课的教学任务怎么完成？ 教师：是的，仔细审核每一步都推理有据，计算准确，但是（如图7），为什么，的内角和都是呢？课本中没有这样的定理因此，还要先证“三角形的内角和为定值”才行不过，这个方法向我们提供了一个思路，通过图中三角形的关系，并且利用平角等于来证对此，我们暂且按下不议现在，让我们重新回到，看看拉紧皮筋（与放松相反），让点沿方向运动的情况如图9，当点变为延长线上的，变化时，变小，变大；当点奔向太阳，即 的一瞬间，产生出平行线，由同旁内角之和等于知， ，这时可以猜想 并且，除了点外，对变化过程中的任一点，都有 图9同学们，在这个变化过程中，你们看到了什么？ 学生3：看到了三角形内角和为常数，这个常数就是，因为 （两线平行，内错角相等） （两线平行，同旁内角互补）第2、初步的认识（1）整个课例可以分解为6个片断： 教师的原有认识； 突发事件1（源于学生1）反思、步骤调整； 突发事件2（源于学生2、3）可爱的错误； 突发事件的策略处理推迟判断； 省悟循环论证，调整情景设计； 推出新设计，完成再认识在这个一波三折的过程中，有两次突发事件，两次调节反思，一次比一次深刻，一次比一次更能激起人的感情，这有助于说明，学习活动不仅仅是对学习材料的识别、加工和理解的认知过程，而且还有对该过程进行积极的监控、调节的再认知过程在这个认知与再认知过程中，我们感受到教学特色、教学创新和教学智慧的存在（2）这个课例，呈现了教学智慧的生成过程和基本特征 教学智慧的情境性正是师生的合作互动引发了两次突发事件，正是突发事件的“意外”和“可爱错误”的挑战为教师创造了一个需要展示教学智慧的空间教师既在这意外的情境中表现智慧、又在这复杂的情境中发展智慧 教学智慧的生成性因为教师缺乏对图7、图8中证法的思想准备（不是预设的），所以形成了“不知如何是好”的教学困境面对学生提出的问题，教师的思维定势是“责无旁贷”要去回答，因此当无法回答时，教师常常因自责而显得不安，并会陷入一种教学过程中断的窘迫状态这时，教师需要走出自己的思维定势，需要一种教学智慧来艺术地化解这一窘境任课教师凭借着自己的经验将问题“推迟判断”，抛给了学生这样，任课教师不仅避开了自己的尴尬局面，而且为进一步思考赢得了时间，还可以调动学生回答问题的积极性任课教师的新设计很可能就是面对复杂的教学情境，被“逼”出来的，体现为“生成”，也体现教师的自制能力、应变能力和教学预见能力 教学智慧的实践性正是在教学的实践中产生了教学智慧，教学智慧又在教学的实践中发挥了作用 案例1-2：体现教学特色的设计 除了案例1-1的设计之外，三角形内角和定理还有以下方案可供选择选哪一个进行教学更适合你的风格呢？方案1 ：（测量）让学生测量各种各样的三角形，他们发现有惊人的相同结论，有的小声说，有的大声说，有的疑惑说，有的肯定说这时教师发问：这是偶然的巧合还是必然的规律？进而作出正明方案2 ：（剪拼）如图10，剪下三角形的三个内角，再拼成一个平角 标准型 非标准型 图10方案3：（折纸）如图11，让同学们将沿折痕对折，则重合于，组成一个矩形 ，三角形的三个内角拼接成一个平角其中分别是的中点，均垂直于（提示，这个图还包括了三角形面积公式与中位线定理） 图11 方案4：（猜三角形）如图12，上课伊始，教师分别投影出示被遮住一部分的三角形，让同学们猜这是个什么三角形，为什么? （1） （2） （3）图12 学生1：图12（1）是直角三角形，因为有一个角是直角的三角形叫直角三角形(教师揭去盖着的纸片，一看，果真猜对了) 学生2：图12（2）是钝角三角形，因为有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形(教师揭去盖着的纸片，一看，果真是个钝角三角形) 学生众：(异口同声)图12（3）是锐角三角形(教师揭去盖着的纸片，一看，不对了这时有三个三角形重叠在一起（其中一个锐角相等），一个是直角三角形，另一个是钝角三角形，还有一个是锐角三角形（学生感到惊异)教师：刚才大家看到一个直角或者一个钝角，就可以断定三角形是直角三角形或钝角三角形，为什么看到一个锐角却不能断定是锐角三角形?启发大家思考三角形的内角和方案5：（演示）如图13，一支铅笔分别以三角形的三个顶点为旋转中心旋转 ，结果为一次反射 图13方案6：（问题）如图14，两条平行线被第三条直线所截，有同旁内角互补（如图14（1）旋转直线，将分成与，有（如图14（2）再擦去原来的位置（如图14（3），提问：跑到哪里去了呢？让学生找出，并暗示在原先的位置是辅助线（如图14（4） （1） （2） （3） （4） 图14这些方案，哪一个更适合学生的知识水平、思维能力和心理特征，就选用哪一个来进行教学不同的学校、不同的班级应该有所区别这样，同一个课题就会出现不同的教学设计和不同的教学风格在“百家齐放、百家争鸣”和集体智慧的氛围中就会出现教学创新 案例2:勾股定理的“发现”设计勾股定理是与平行公理、三角形内角和定理均等价的重要命题，在平面几何里具有十分基础的地位它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中一个角是直角），转化成数量关系：三边之间满足等式但在勾股定理那数以百计的证明中（传说有400多种），选一个出来给初中生讲并不容易，因为精巧的构思太多，有些还添上了神话般的传说勾股定理的教学有难点，首先是定理发现难（就是说，让学生独立“再发现”勾股定理是困难的）；其次是定理证明难（就是说，让学生比较“自然地”想到证明方法是困难的）下面是教师的一些处理案例2-1：虚假性的情景发现教师设计：测量两个直角三角形的三边长度，并将各边的长度填入下表：请同学们根据已经得到的数据，猜想三边长度之间的关系讲解：这个活动的设计值得商榷，一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数让学生猜想三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形三边的关系，就已经不是容易的事，比如，学生可以由和，猜想，更何况要猜想三个非整数之间的平方关系这样处理，容易导致学生盲目的猜想和虚假的探究，在这“盲目”和“虚假”中知识夹生、变相填鸭和浪费时间如果你是现场教师，你会怎么处理？（讨论）有的说，量纲就不对，一边是二次的、另一边是一次的有的说，这是特殊情况，换一个直角三角形就不成立（反例？） 请注意，由，取可知，有无穷个直角三角形，其三边满足，（反例是） 为正整数这是一个良性突发事件，对教师的数学功底和教学智慧都是挑战，要珍惜学生的思维闪光点案例2-2：浅层次的情景发现勾股定理证明的一个“程序教学法”设计是这样的：出示图15，请回答7个问题：图中有几个正方形？答： 图中有几个直角三角形？答： 正方形的面积公式是什么？答： 图15直角三角形面积公式是什么？答： 图中的正方形面积与直角三角形面积之间有什么样的等量关系？答： 把面积公式代入等量关系答： 化简答： 当年毕达哥拉斯对勾股定理的发现欣喜若狂，杀100头牛以酬谢神的启示而今，学生做7个填空小题就解决了评析：这种做法的好处主要有三条：将学习内容分成小步子的问题，让学生自己动手、动脑完成定理的证明，有利于调动学生主动学习的积极性有利于面向全体学生学生在练习时，教师的巡视可以接触到每一个人，特别是中下水平的学生将有机会获得更多的指导又由于教学内容已被分解为一系列的小问题，每个问题都不难完成，所以，学生的学习很容易得到成功，并始终处于一种积极学习的状态，从而，也有利于把教师的主导作用和学生的主体参与地位充分体现在教学中教师能根据学生的及时反馈而及时纠错、及时强化，有利于巩固学习成果，并使学生不断感受到成功的喜悦这种做法也有局限性，需要教师明智地“扬长避短”其缺点主要有两条：这种教学方法总是把学生的活动约束在一个既定的程序框架内，不利于很好地培养学生的创造性思维能力，也妨碍了对知识的整体结构的认识相信有一部分学生是“知其然，而不知其所以然”，比如，怎么想出图15的？图15中为什么是两个正方形？为什么要找图中的正方形与直角三角形？为什么要计算它们的面积？证明的基本思想是什么？证明的基本方法是什么？勾股定理的本质是什么？我们认为回答这些问题比“正确地完成填空”更重要、更本质!这种教学方法也使学生很少有机会能生动地观察所学的现象和听取教师那入木三分、一针见血的讲解相信，没有教师的点拨，学生很难感悟到勾股定理是直角三角形的代数描述，也很难感悟到定理背后的数形结合的数学思想、化归与转化的数学思想、不变量的数学思想、分解与组合的数学思想、特殊与一般的数学思想、函数与方程的数学思想等设计填空题不是一件坏事，但既不能代替定理被发现的过程，也不能代替定理证明的被发现过程，更不能代替教师的讲解否则，就是“把学生塞进公共汽车，并美其名曰学生自己来到了目的地”其实，学生的被动接受状态和附属地位一点也未改变现在7道题目一做，解题思路和盘托出了，难点也化为乌有了，这有点像教师提前在小黑板上画出辅助线，是避开难点，而不是突破难点 案例3:解释数学实质的特色设计 体验“两点确定一条直线” 第1、活动体验活动1：请一个学生（甲）站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与甲同学共线的就站起来 （教师可问站起来的学生：你是怎么确定你该不该站起来的？你和他们不在一条直线上，你为什么也站起来了？） 小结：过一点的直线是不唯一的，所以每个同学都可以与甲同学共线（教师画出图16，解释经过一点有无数条直线） 图16活动2：请两个学生站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这两个同学共线的就站起来（教师可问站起来的学生：你是怎么确定你该不该站起来的？是直吗？说明叫直？）小结：两点确定一条直线，所以有且只有一斜排学生与这两个同学共线（教师画出图17，解释经过两点有且只有一条直线） 图17 活动3：请三个学生站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这三个同学共线的就站起来情况1：当三个学生共线时；（图17）情况2：当三个学生不共线时（图18） 小结：经过三点可能有一条直线，也可能没有直线（教师画出图18，解释不共线三 图18 点不能确定直线，注意不是“不共线三点确定三条直线”！） 第2、数学感悟感悟1：由上述活动你能感悟到什么数学结论：总结1：（直线公理）经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）感悟2：由上述活动和直线公理，你能感悟到直线有些什么样的本质特征？总结2：直线是无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直，但不能严格定义描述它们的一个办法是用公理来刻画，本节课中的“直线公理”：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），正是直线本质特征的一个刻画试想，如果“直线”不是很直很直的，那么，经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那么，经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线所以，“经过两点有且只有一条直线”表明：直线是由无穷多个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直案例4-1：揭示数轴的数形对应第1、设计要点（1）初一的学生学了有理数也学了直线，感觉两者没有什么共同的地方今天给大家一个任务，怎样把“数”与“直线”融合为一体？这可以理解为（如图19），如何把无限个“有理数”放到直线的无限个点上？（或如何把有理数用一条直线上的点表示出来，类似于将一大批货物放进一个空库房里） 图19（2）因为有理数的组成是：负有理数、零、正有理数，所以，可先在直线上取任意一个点，用点表示有理数零（如图20）点就将直线分成了三个部分，其一就是 图20点，它表示有理数0，我们称之为“原点”，其余两个部分：负有理数与正有理数就该由两条射线（除了端点）上的点来表示了，那么，怎样用一条射线表示负有理数、用另一条射线表示正有理数呢？（这里，先在直线上表示独一无二的“零”这个有理数，是明智的选择，在这一过程中用了“分类”和“类比”：“类比”有理数的构成将直线分成三类） 设想1：将两条射线染色，如染成黑色的射线表示正有理数，染上红色的射线表示负有理数我国古代直到今天还是用黑数字表示进账，用红数字表示出账设想2：规定点的右边表示负有理数，左边表示正有理数，但是如果直线并非水平放置怎么区分左右呢？设想3：在直线的一端加箭头，或其他一些各种各样的记号总体而言，都是想找一个标记，用以区分除去端点的与的这两条射线 比较而言，更简单、更实用、更方便的是用箭头！如图21，我们在直线上，画一个指向一方的箭头并且规定，在原点的具有箭头的那一条射线上表示正有理数，那么，在原点的没有箭头的那一条射线就表示负有理数了这个箭头称之为“正方向” 图21表示数还需要一个度量长度的“单位”，称之为“单位长度”这样，直线就有了三个新的元素：如图22，原点、正方向和单位长度 图22 （3）无限个“有理数”可以分两步放到“新直线”上，第一步，把数0放在“原点”上后，把整数“放”在格点上；第二步，把两整数之间的分数“放”在相应两格点之间，这就可以用一条直线上的点来表示所有的有理数了 （4）直线有了新的内容，这就不是一条普通的直线了我们应该给它起一个名字数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴第2、数学感悟（1）有人认为，上课的前半部分是讲概念、定理，后半部分做的才是题，其实，如何构建概念、如何论证定理也是题！上面，如何构造有理数（无穷数集）与直线（无穷点集）的对应，从而建立数轴的概念，就是一道题根据有理数的组成（负有理数、零、正有理数），改造直线（主要是加上三要素：原点、单位和方向），然后，把整数“放”在格点上，把两整数之间的分数“放”在相应两格点之间，建立起数轴，就是解了一道数学题；学生在这个数学活动中，学到了数轴的概念，感悟了“集合与对应的思想”、体验了“数形结合的思想”，经历了数学化的提炼过程等，就是在学习解题在这里，如何构建概念是一道题，构建出概念就是解了一道题，并且构建的方法可以不唯一，而“怎样进行概念教学”的方法其实就是一个宏观解题程序（2）数轴作为桥梁就把看上去似乎无关的两个无穷集合建立起联系，一方面数的性质可以直观地表示在图形上，另一方面在图形上又可以形象而具体地研究数的性质这时候，在原先各自孤立而空旷的画面上，既增加了内容，又增加了联系，产生出新的认知结构在新认知结构中，一方面是知识量的增加，另一方面是结构的优化（3）这个体现数学实质的特色设计与下面的处理形成鲜明的对照：案例4-2：同学们，今天我们来学习一个新的概念，什么概念？数轴！什么是数轴呢？就像什么是老师一样？老师是人，数轴是直线任何一个人都是老师吗？不是！任何一条直线都是数轴吗？不是！只有一个人和其它人建立起教与学的关系时，这个人才是老师，同样，只有规定了原点、正方向和单位长度的直线才叫做数轴，注意，原点、正方向和单位长度是组成数轴的三要素，缺一不可下来，就是背诵数轴的定义和巩固定义的正反两方面练习试问，这样的教学能感悟到“集合与对应的思想”吗？能体验到“数形结合的思想”吗？能经历“数学化”的提炼过程吗？ 案例5：由图编故事 例1 如图23，表示某人从家出发任一时刻到家的距离与时间之间的关系，请根据图象编两个故事 讨论 图23 讲解1 在新疆的一次听课中（2004年），同学们说的故事很多，也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是： 在上匀速直线运动；在上静止；在上匀速直线运动课后与教师交流时，我问为什么“在上静止？”，教师认为，到家的距离不变，所以是静止我说，到家的距离不变就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定点吗？教师立即反应过来这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周运动，空间为球），数与形的双向流动不够通畅从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动（封闭1）值得注意的是，当进一步问会有多少种运动方式时，对“静止或运动”也存在认识封闭现象，普遍没有考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回（封闭2）情况是普遍的如 例1-1 （2003年，陕西中考）星期天晚饭后，小红从家里出去散步， 如图2描述了她散步过程中离家的距离（米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ） （A）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报，就回家了（B）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了（C）从家出发，一直散步（没有停留）， 然后回家（D）从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回 图24这类试题源于课标与教材，设计了生活情景，考察了数学的核心知识函数，题目的预设答案为（B），然而怎样否定（C）和（A）呢？ 如图25，前4分钟沿直路匀速向前散步，然后拐弯沿圆弧走6分钟，再转弯沿向前走2分钟，最后沿走6分钟直路匀速回到家这个散步过程是“没有停留”的可见（C）不能否定 图25 如果散步不是按原路返回，那么从“公共阅读栏”出来，还可以走2分钟到另一条弯路上，然后沿另一条路6分钟回到家这样一来，（A）也否定不了！可见这道考题是道病题，与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾（不能肯定其余三个选项是错的），但当年数以万计的师生却没有提出异议（也许有深入思考的学生反而被判为扣分）这又一次说明这是“一个很普遍的认识封闭现象”讲解2 这是一个体现问题解决的“好问题”，接受性，障碍性，探究性，情景性，开放性全都体现了，有利于培养学生的创新精神：（1）自然涉及“圆”的概念和逻辑“或”，触及“明确知识的认识封闭现象”，并且有明显的3个层次一种情况：在上静止有静无动，能背熟圆的定义，面临圆的情景时看不见圆两种情况：看到静止时全静止，看到运动时全运动有进无退，逻辑“或”对的全程无数种情况：看到静止或圆周运动，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退；逻辑“或”对的每一点（2）考察了数学的核心知识函数，广泛涉及： 函数的概念，包括定义域、值域、对应关系 函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法 一次函数的增减性与图象形状的关系通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数可考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力（3）设计为开放题需要将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的 每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次只看到静止没有错误但缺少创新，指出在圆周上运动能体现教学智慧和风格特色2 课例研讨2-1 总体看法六位老师扎实的教学功底，饱满的教学热情，可人的教学风度，流畅的教学组织，活跃的课堂气氛等都给我留下深刻的印象，先说共同点与不同点：（1）共同点六位老师都重视情景的创设，主要是现实情景也可以数学情景（第4、第6节课），努力发挥情景在数学发现、数学抽象、数学理解中的积极作用 六位老师都重视学生的参与，努力体现学生在数学学习中的主体地位每堂课都有十几人次至几十人次的学生发言发言，还有更多的集体发言和小组发言其中男老师比女老师更放得开，下午的第5、第6节课达到学生调动和参与的高潮（当然还有些死角需要消除，前三排，左右均衡） 六位老师都重视合作学习，努力体现学习共同体对学生学习的推动作用其中小组合作和课堂讨论更热闹的是后四节，第5节的小组合作引进了评比机制、评价机制并放开了“以学定教”（与我辩论） 六位老师都重视积极评价，努力发挥过程性评价在学生学习中的激励作用六位老师都努力体现“同课异构”，确实在教学设计、教学风格上有宝贵的差异六位老师都通过“变式教学”经历知识的生成过程首先是概念性变式，即对概念的形成提供直观材料和多角度的理解（正面理解、反面理解、直观理解、字面理解、抽象理解等），形成几何概念和概念的多角度理解；形成代数法则和法则应用的实质性理解 其次是过程性变式，即在教学活动过程中，通过有层次的推进形成数学概念、数学法则的科学认识，积累数学活动经验从实际物体抽象出几何图形、进而认识几何图形的结构，直观感悟几何概貌；（几何感悟）从特殊到一般提炼出代数法则，从简单到复杂推进到熟练应用的程度（代数掌握）这两个表现，实际上是新课程理念与启发式优良传统的有机结合，是变式教学、数学思想方法的教学、关注课堂教学中的数学本质等中国特色的现代发展作为共同点，没有克服公开课拖堂的惯性，有的5、6分钟，有的10多分钟可供选择的解决办法有：非重点内容可以减少，延伸性的练习可以推迟出现（如同底数幂的乘法中“底”为代数式是已涉及多项式乘多项式），课本没有给出的图形定义限于描述（如要给出参阅高中课本）（数学解题学引论第323页）顺便问一下：纸片剪出来的是平面图形，木板锯出来的是立体图形，对不对？（2）不同点教学风格有不同 有的是学者型，有的是激情型的，有的是理智型的，有的是自然型的，有的是幽默型的，有的是技巧型的，不同教师的不同风格可以、更应该并存（有的是磁性的播音语言、有的是严谨的教学语言、有的是科学的数学语言、有的是活泼的生活语言）内容侧重有不同 郑、章老师重在几何概念的一般感受(包括数学史的熏陶)，张老师重在立体图形与平面图形的关系；刘、庞老师重在数学内部的逻辑结构，孙老师重在生活情景到数学模式的提炼对比：郑 几何世界、奇妙无穷 WHAT ? 几何是什么？ 数形结合 HOW ? 几何学的研究？几何学角度、数学家眼光 几何图形的再认识点、线、面、体回顾与感受 神奇的几何世界 严谨的逻辑论证 有趣的几何作图张：（大家说.提出几个思考？）学生说懂是不是真懂？（有的没做、有的没有做出来；板演就不会了）对于回