第23周 分解质因数(一)

五年级思维培训 ：第一讲 数的整除性基础知识：1. 整除的定义、性质.定义：如果a、b、c是整数并且 ，则称a能被b整除或者b能整除a，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做. 性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除. 性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a. 性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a. 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a. 性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.2. 被2（5）整除特征：个位上的数是2,4,6,8,0（5或0）的数。3. 被3，9整除特征：数字之和是3,9的倍数.4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5. 被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6. 被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除. 7. 整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.例题：例1、如果六位数能够被105整除，那么后两位数是多少？ 解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3a+b-1，b=0或5, 7(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b=5.故后两位为85.例2、求所有的x，y满足使得，72. 解：72=89，根据整除9性质易得x+y=8或17，根据整除4 的性质y=2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费元，其中处字迹已经模糊不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价. 解：设两个处的数字分别是a、b，则有143，根据11，有a+b=8，再根据13，所以13(100a+67-90-b)，再根据a+b=8得到13（10a-5）解得a=7 b=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3.乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？ 解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于123中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除. 解：，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.例6、 要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？ 解：. 考虑能被7整除，于是有7(100b+10c+6-100-a)，整理得7(2b+3c-a+4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c=2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a=0. 此时，易验证b=0, b=1无解，而在b=2时，有解c=9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.例7、 所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？ 解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？ 解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？ 解：因为连续11个数是343的倍数，而，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.作业题： 1. 已知六位数能够被720整除，请问这个六位数是多少？（答案=213840或者293040）2是7的倍数，求空格中的数字.（答案：3）3. 一个三位数，它的百位数字是4，加9能被7整除，请问这个数是多少？ （答案=439）4. 请证明六位数 一定能被7、11、13整除.（证明略）5已知自然数A的各个数位上的数码之和与3A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除. （3A数字和是3的倍数，A的也是，所以A能被3整除，所以3A能被9整除，所以数字和是9的倍数，所以A的也是，所以A能被9整除.）课堂练习题： 班级_姓名_ 得分_1、 如果一个数能被72整除，求a+b.答案：a+b=6.整除8的性质可以推出b=2，整除9的性质可以推出a=4.2、 请根据7、11整除判断方法的推导和证明，类比推出对于17的整除判定（提示1759=1003）答案：末三位与末三位之前的数的三倍之差能被7、11、13整除3、 用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？ 解：1+4=2+3，所以1，4在偶数位，2和3在奇数位或者1和4在奇数位，2和3在偶数位，共有222=8个.4、已知四个整数，他们两两的和都能被两两的差整除，请问其中最大的两个数的和最小是多少？ 解：10. 思想：差越小越容易整除. 任意连续的3个数，只要其中有两个偶数都满足要求，所以可以找到2，3，4，6. 容易验证没有更小的符合题目要求的解.5、15位同学分别编号1-15，1号同学写下了一个不少于6位的数，后面每个人都说这个数能被自己的编号整除，经验证，只有连续两个编号相连的人说错了，请问这个数至少是多少？ 答案：2,3,4,5,6,7都必须能整除五位数，否则不能满足题意，所以10,12,14,15也能整除这个五位数，因此这个数不能被8、9整除.所以这个数至少整除4571113=60060. 因为这个数至少是六位而又不能被8、9整除，所以这个数至少是600605=300300.6、请问是否存在一个数以7结尾的数，把7挪放到第一位之后得到的数恰巧等于原来的数的7倍. 若存在，请答出这个数的位数，若不存在，请证明.答案：22位，竖式乘法即可得出答案.五年级奥数：第一讲分解质因数专题简析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2223，75=355。我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公因数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？分析 先把18分解质因数：18=233，可以看出：18的因数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个因数，所以，一共有4种不同的分法。练习一1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？分析 先把168分解质因数，168=22237，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有223=12颗，27=14颗，37=21颗，2223=24颗，237=42颗，共有5种分法。练习二1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、24、27、55、56、99分析 14=27 55=51124=2223 56=222727=333 99=3311可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。练习三1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。=12882，有三个自然数a、b、c，已知ab=30，bc=35，ca=42，求abc的积是多少？3，把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。例题4 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？分析 根据每人植树棵数人数=539棵，把539分解质因数。539=7711，如果每人植7棵，这个班就有7111=76人；如果每人植树11棵，这个班共有771=48人。练习四1，3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。小青买的电影票是几排几座？3，把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920。这篮苹果共有多少个？